巧用数学思想解决初中数学函数问题

摘  要：函数问题是初中数学教学中的重要内容，也是学生学习的难点内容.从学生的学习效果来看，大多数学生无法充分掌握相关内容.基于此，初中数学教师需注重数学思想的巧用，准确把握函数问题的解题技巧，帮助学生更好地应对中考中的函数问题，切实提升学生的学业成绩.

关键词：数学思想；初中数学；函数问题；几何问题；综合性问题

中图分类号：G632    文献标识码：A    文章编号：1008-0333（2024）02-0056-03

收稿日期：2023-10-15

作者简介：徐建明（1977.11-），男，福建省长泰人，本科，一级教师，从事初中数学教学研究.

函数与几何的综合性问题是近几年中考数学的重点、热点问题，通常以压轴题的形式出现，这类问题主要以函数的性质为基础，注重考查运动过程中几何图形的变化情况.解决这类问题，不仅可以使学生准确把握函數的相关知识，而且还能通过多种数学思想巧妙应用，帮助学生充分掌握相关解题思路与技巧，从而更加有效地解决函数与几何的综合性问题，提升学生分析问题和解决问题的能力，进而提升学生的数学核心素养.

1 巧用数形结合法解决函数问题

例1  如图1，已知抛物线C：y=ax2-2ax+c过C点（1，2），且与x轴相交点A（-1，0）与点B.

（1）求取抛物线C的解析式；

（2）直线y=34x与抛物线相交于点S，T，点M位于抛物线C上的动点A与T之间，过点M作ME⊥x轴且交于E点，MF⊥ST相交于F点，求ME+MF最大值；

（3）如图2，将抛物线C的顶点平移至原点，得到抛物线C1，直线l：y=kx-2k-4与抛物线C1相交在P、Q两点，且抛物线C1上存在定点D，使∠PDQ=90°，求D点的坐标.

解  （1）依据待定系数法，可得出抛物线的解析式为y=-12x2+x+32.

（2）如图1，设直线OT与ME相交点G，设M的坐标为（t，-12t2+t+32），则ME=-12t2+t+32，点G的坐标为（t，34t），OG=54t，MG=-12t2+14t+32，即sin∠OGE=sin∠MGF=45，MF=45MG=-25t2+15t+65，所以，ME+MF=-910t2+65t+2710=-910（t-23）2+3110，依据y=34xy=x22+x+32，计算可得x1=-32x2=3，也就是，xS=-32，xT=3，同时，-32＜32＜3，a＜0，当t=32的时候，ME+MF取最大值，最大值是3110.

（3）如图2，过D点作E'F'∥x轴，作PE'⊥E'F'相交E'点，且QF'⊥E'F'相交于F'点.设D、P、Q三点的坐标分别是D（a，b），P（x1，y1），Q（x2，y2），列出方程组为y=kx-2k-4，y=-12x2.从而易得x2+2kx-4k-8=0，并得出x1+x2=-2k，x1x2=-4k-8，依据题意可推导出△PE'D∽△DF'Q，并得到DE'·DF'＝PE'·QF'，也就是（a-x1）（a-x2）=（b-y1）（b-y2），因此，b=-12a2，y1=-12x21，y2=-12x22，由此可得（a+2）（a-2）-2k（a+2）=0，由于k是任意的实数，因此，a+2=0，a=-2，b=-2，即D点的坐标为（-2，-2）［1］.

2 巧用换元法解决函数问题

例2  如果x，y，z都是非负数，且符合x-1=y+12=z-23，此时，x2+y2+z2的最小值是（   ）［2］

A.3  B.592  C.0  D.292

解析  可考虑利用换元法求解.令x-1=y+12=z-23=t，则x=t+1，y=2t-1，z=3t+2，那么x2+y2+z2=（t+1）2+（2t-1）2+（3t+2）2=14t2+10t+6.令T=14t2+10t+6，依据题目的条件x，y，z都是非负数可以得t+1≥02t-1≥03t+2≥0，解得t≥12.即当t≥12时，得出的二次函数T=14t2+10t+6为增函数，那么，t =12时，函数可取得最小值，也就是14×（12）2+10（12）+ 6=292，故本题的正确选项是D.

3 巧用分类讨论法解决函数问题

例3   如图3，已知抛物线y=ax2-5ax+4与坐标轴分别交于A，C两点，过C点作BC∥x轴，与抛物线相交于C点，AC=BC.若点P是抛物线对称轴上一动点，且处于x轴的下方.请问，是否存有P点，使△PAB是等腰三角形？如果存在，请求出P点的坐标，如果不存在，请说明理由［3］.

分析  本题可通过分类讨论的思想加以解题，可将其分成两种情况，也就是AB为底或腰.当AB为腰时，则需注意顶角的位置，也就是∠A或∠B是顶角属于两种情况，此时可找出两个△PAB.当AB是底边时，△PAB的顶角必然是∠P，此时，也能找出对应的△PAB.

解  如图4所示，依据P点的不同位置，将其分为三种情况进行探讨.

第一种情况：当AB为腰，∠A作为顶角时，标记三角形的第三个顶点为P1.过B点作出x轴的垂线，与x轴相交于点Q，直角三角形AQB中，依据勾股定理，得AB2=AQ2+BQ2=80.由此可知，Rt△ANP1中，AN2=AP12-P1N2，将相应的数据代入，可得P1N=1992，因此，P1（2.5，-1992）.

第二种情况：当AB为腰，∠B作为顶角时，将点P标记成P2.如图2，在Rt△BMP2中，依据勾股定理可得BM2=BP22-P2M2，将对应数据代入式子，可得P2M=2952，那么，P2点的坐标是（2.5，4-2952）.

第三种情况：当AB作为底，∠P是頂角时，此时的P点记作P3.如图2，作出AB的垂直平分线，依据△ABC是等腰三角形，可得垂直平分线经过C点，与直线MN相交于P3点，过P3点作y轴的垂线，垂足是K，此时，△CKP3∽△AQB，因此P3KCK=BQAQ=12，P3K=2.5，则能求解得到CK=5，OK=1.由此可知，对应的P3点的坐标是（2.5，-1）.

综上所述，满足要求的P点共有三个，即P1（2.5，-1992），P2（2.5，4-2952），P3（2.5，-1）.

4 巧用待定系数法解决函数问题

例4  已知抛物线y=x2-mx+m22与抛物线y=x2+mx-34m2的图象如图5所示，其中的一条抛物线与x轴相交于点A，B.

（1）试着判断哪条抛物线过A，B两点，并说出理由；

（2）如果A，B两点到原点的距离OA，OB符合条件1OB-1AO=23，求经过A，B两点的抛物线解析式.

解  （1）由于抛物线没有经过原点，故m≠0，令x2-mx+m22=0，Δ1=（-m）2-4×m22=-m2<0，因此，抛物线y=x2-mx+m22和x轴不存在交点；

令x2+mx-34m2=0，Δ2=m2-4（-34m2）=4m2>0，故过A，B点.

（2）设点A（x1，0），B（x2，0），那么x1，x2为方程x2+mx-34m2=0的实数根，因此x1+x2=－mx1x2=-34m2，由于A点位于原点左边，B点位于原点右边，因此，AO=-x1，OB=x2，依据1OB-1AO=23，可得1x2-1-x1=23，则有x1+x2x1x2=23，-m-34m2=23，求解得m=2.经检验，m＝2是方程的解，故过A，B两点的抛物线解析式为y=x2+2x-3.

5 结束语

综上所述，数形结合法、换元法、分类讨论法、待定系数法是解决初中数学函数问题常用的数学思想.因此，在函数问题的解题教学过程中，教师需选择典型的例题，帮助学生理解与掌握数学思想在函数问题解决中的运用方法，以提高学生分析问题和解决问题的能力，使学生能够从容应对函数问题，切实提升学生的数学核心素养.

参考文献：［1］ 张园园，姜金平.初中函数教学中数学思想的渗透［J］.成才，2022（13）：47-48.

［2］ 张海涛.借助函数思想  指导初中数学解题研究［J］.数理化解题研究，2022（8）：56-58.

［3］ 柴丽佳.数学思想在初中数学函数教学中的应用研究［J］.数学学习与研究，2020（22）：40-41.

［责任编辑：李  璟］