巧用构造法解答数学难题

摘  要：解题教学是初中数学教学中的重要环节，主要檢测学生综合运用所学知识处理问题的能力.在初中数学教学中存在一些较难的问题，对学生的解题水平要求较高.从本质来看，解题过程即为条件向结论转化的过程，只不过面对难度较大的数学问题时，学生无法轻松找到转化方法.教师可指导学生结合条件和结论的特殊性，建构已知条件与所求结论之间的逻辑关系，从而顺利解答数学难题.

关键词：初中数学；构造法；转化；数学难题

中图分类号：G632    文献标识码：A    文章编号：1008-0333（2024）02-0065-03

收稿日期：2023-10-15

作者简介：马沁芳（1979.2-），女，福建省龙岩人，本科，中学一级教师，从事初中数学教学研究.

构造法指的是当采用常规方法、按照定向思维无法处理某些数学问题时，可基于已知条件与所求结论的特殊性，从新角度出发，运用新观点去观察、分析与理解问题，把握已知条件和所求结论之间的内在联系，运用问题的数据、外形、坐标等特征，构造新数学对象，由此达到解题的目的.在初中数学解题训练中，针对一些难题，学生运用常规方法和定向思维很难解决，教师可指引学生巧用构造法，结合题设条件和结论构造新对象，最终解答数学难题［1］.

1 巧妙构造方程，解答数学难题

方程是学生从小学时期就开始学习的一类数学知识，步入初中阶段以后，学生需学习更多有关方程的内容.除一元一次方程以外，还涉及一元二次方程、方程组、分式方程等知识，属于初中数学教学的一项重要内容，在解题中有着广泛应用.在初中数学解题训练中，有的题目难度较大，教师可指引学生结合题干中提供的条件和数量关系构造新方程，获得全新的解题思路，让学生结合方程知识转化问题，难题就迎刃而解［2］.

例1  已知x，y，z是三个互不相等的实数，且x＞y＞z，满足x+y+z＝1，x2+y2+z2＝1，那么x+y的范围是什么？

分析  题目中给出的方程关系较为特殊，是三元一次方程与三元二次方程形式，学生采用常规方法很难进行解题.此时，教师可指导学生运用构造方程的方法，将已知条件与所求结论联系到一起，利用方程知识求得结果.

解  根据x+y+z＝1可得x+y＝1-z，两边同时平方，得x2+2xy+y2=1-2z+z2.又因为x2+y2+z2＝1，所以xy＝z2-z.由一元二次方程的根与系数的关系可以看出，x，y是方程m2+（z-1）m+（z2-z）＝0两个不相等的实数根，再结合Δ＞0可以得到-13＜z＜1，即为-13＜1-（x+y）＜1，则x+y的范围是43＞x+y＞0.

例2  已知实数x，y，z满足x+y＝3，z2＝xy+y-4，求x+3y+2z的值.

分析  这是一道比较特殊的代数式求值类问题.教师可要求学生先对题目中的条件展开变形，

把原式转变成两个式子的求解问题，再观察两个已知式子的形式，通过变形以后构造新方程，然后让学生结合方程的相关知识求解.

解析  根据题意可得（x+1）+y=4，（x+1）y=z2+4，通过观察易发现，x+1，y是一元二次方程t2-4t+z2+4＝0的两个实数根，然后结合一元二次方程根的判别式确定方程根的情况即可解决问题，求解过程从略.

2 巧构造不等式，解答数学难题

不等式是用“＞，＜，≥，≤，≠”等符号表示大小关系的式子，学生在小学阶段也有所接触.在初中数学学习中，学生学习的不等式知识难度更大，深度也有所提升，涉及一元一次不等式、一元一次不等式组等内容，不少问题中都会用到不等式相关知识.在初中数学解题教学中，当遇到部分难题时，教师需提示学生注意题目中“最大”“最小”“不低于”“不高于”等关键词，引导其尝试构造不等式模型，然后利用不等式知识解答难题［3］.

例3  已知某工厂存储有甲、乙两种原料，质量分别为360 kg和290 kg，现在准备利用这两种原料生产A、B两种商品共计50件，其中生产一件A商品需要甲、乙两种原料分别为9 kg、3 kg，利润是700元，生产一件B商品需要甲、乙两种原料分别为4 kg、10 kg，利润是1 200元.

（1）根据条件和要求生产A、B两种商品一共有多少种方案？

（2）设生产A、B两种商品获得的总利润是y（元），生产A商品x件，请写出y与x之间的函数关系式，且利用函数的性质说明哪种生产方案能够获得最大利润？最大利润为多少？

分析  先把题目中的文字语言转变成规范的数学语言，根据已知条件利用构造法建立一个不等式组，再结合不等式知识处理函数问题，然后根据实际生产情况确定方案.

解  （1）设生产A商品x件，则B商品的数量为（50-x）件，根据题意可得不等式组9x+4（50-x）≤360，3x+10（50-x）≤290.解之得30≤x≤32，由于x的值只能是正数，故x只能取30，31，32，也就是A商品的件数，那么根据（50-x）可以求得B商品的件数分别是20，19，18，则一共有3种生产方案，即A商品30件，B商品20件；A商品31件，B商品19件；A商品32件，B商品18件.

（2）根据题意可得y＝700x+1 200（50-x）＝-500x+60 000，根据一次函数的性质可知，该函数中y随x的增大而减小，所以当x＝30时有最大利润，即生产A商品30件、B商品20件获得的利润最大，此时y＝-500×30+60 000＝45 000，最大利润为45 000元.y与x之间的函数关系式y＝-500x+60 000，由此可知，（1）中的方案1获得的利润最大，最大利润是45 000元.

3 巧妙构造函数，解答数学难题

函数在初高中数学课程体系中占据着重要地位，学好函数知识能够为数学学习带来诸多便利.原因在于不少题目都能够借助构造函数的方法解决，即使无法直接求解，也能够打开解题思路［4］.

例4  如图1所示，一位篮球员进行投篮练习，篮球沿着抛物线y=-15x2+72运行，然后顺利命中篮筐，其中篮筐的高度是

3.05 m.图1  篮球的运行路线图

（1）篮球在空中运行的最大高度是多少？

（2）假如该篮球运动员在跳投时，篮球出手距离地面的高度是2.25 m，那么他距离篮筐中心的水平距离是多少？

分析  对于问题（1），应该把整个函数图象构造出来，求出篮球在空中运行过程中距地面的最高点；对于问题（2），要构造平面直角坐标系，结合二次函数知识与图象的性质等求解问题，从而求出运动员与篮筐中心之间的水平距离.

解  （1）根据已知条件可知，篮球沿着抛物线y=-15x2+72运行，该抛物线的顶点坐标是（0，3.5），如图1所示大致画出篮球的运行路线，即为该抛物线的一部分，验证后可知最高点在函数的定义域内，由此可知篮球运行的最大高度是3.5 m.

（2）建立如图1所示的平面直角坐标系，审题后可以发现求出该运动员位置的横坐标就是问题的答案，篮筐处的高度是y＝3.05 m，由此可知x＝1.5 m；再根据该篮球运动员的出手高度y＝2.25 m，此时x＝-2.5（x≤0），则运动员距篮筐中心的水平距离是4 m.

例5  已知分式x-3x2-6x+m，无论x取何值，该分式都有意义，那么m的取值范围是什么？

分析  因为本题中的分式恒有意义，這说明分母x2-6x+m的值永远不会是0.可据此构建一个二次函数y＝x2-6x+m，把分式问题转变为一个二次函数取值问题进行研究，结合二次函数的性质来解题，找出y≠0的情况，以此确定m的取值范围.

解  令y＝x2-6x+m，根据题意可知，y的值永远都不等于0，由于该抛物线的开口方向是向上的，所以该二次函数的图像不会与x轴相交，则Δ＝36-4m＜0，解之得m＜9，即为m的取值范围是m＜9.

4 巧妙构造图形，解答数学难题

初中数学课程主要分为代数与几何两大方面的内容.用构造法解答数学难题时，不仅可以根据题意构造代数方面的式子，还能够构造出相应的几何图形，利用数形结合思想解题.在初中解题教学中，将“数”和“形”结合起来，不少难题就易于解答.

例6  如图2所示，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，而且AC与BD的长度相等，点E，F分别为对角线AB与CD的中点，EF分别同BD，AC相交于点G，H.求证：OG＝OH.

图2  例6题图

分析  在几何图形中出现多个中点，大多数情况下都要利用中位线的性质进行解题，所以本题可以先取BC的中点M，连接ME，MF，因为E，F，M分别是AB，CD，BC的中点，由此可构造中位线EM，MF，然后结合三角形中位线定理解题.先证明△EMF是等腰三角形，根据“等边对等角”，即可证明∠MEF＝∠MFE，利用平行线的性质证明∠OGH＝∠OHG，最后根据“等角对等边”即可解决问题.

解  如图2所示，取BC的中点M，连接ME，MF.因为M，F分别是BC，CD的中点，则MF∥BD，MF＝BD.同理可得ME∥AC，ME＝AC.因为AC＝BD，所以ME＝MF，∠MEF＝∠MFE.又因为MF∥BD，所以∠MFE＝∠OGH.同理可得∠MEF＝∠OHG，所以∠OGH＝∠OHG，所以OG＝OH.

5 结束语

在初中数学解题教学中，有的题目难度比较大，采用常规方法和思路很难解答.面对这些难题，教师可引导学生巧妙运用构造法，重新处理题目中给出的条件和结论.

把问题与熟悉的理论知识联系起来，通过构造方程、不等式、函数、几何图形等数学模型把问题实质清楚地反映出来，架构起结论和条件之间的桥梁，让学生从中寻求解题问题的切入点，确定合适的解题方案，继而准确解答数学难题.

参考文献：［1］

连继莹.例说初中数学的解题方法：以“构造法”为例［J］.中学课程辅导（教师教育），2021（9）：114.

［2］ 吴月红.巧用构造法解初中数学题［J］.语数外学习（初中版），2020（8）：28-29.

［3］ 张梅.构造法在初中数学解题中的有效运用［J］.数学大世界（中旬），2020（4）：80-81.

［4］ 张文贺.初中数学解题技巧的有效运用［J］.数学大世界（下旬），2020（1）：77.

［责任编辑：李  璟］