数形结合思想在初中数学解题中的应用

摘  要：数形结合思想在初中数学解题中具有重要的作用，它是将数学问题与几何图形或函数图象相融合，通过图形化的方式理解和解决数学问题.“二次函数与几何图形”问题往往要求将数学建模、函数图象分析及几何图形等多个方面的知识进行综合运用，因而利用数形结合思想能够较好地解决这类问题.文章以“二次函数与几何”问题为例，旨在探讨数形结合思想在解决这类问题中的应用，帮助学生掌握这类问题的求解方法，提升学生的数学核心素养.

关键词：初中数学；数形结合思想；二次函数与几何图形；解题策略

中图分类号：G632    文献标识码：A    文章编号：1008-0333（2024）02-0038-03

收稿日期：2023-10-15

作者简介：王丽（1981.9-），女，江苏省南通人，本科，中小学一级教师，从事初中数学教学研究.

数形结合思想是一种综合性的思维方式，是解决数学问题的重要思想方法.数形结合思想能够使数学问题形象化、直观化，借助几何图形或函数图象理解和解决数学问题［1］.研究数形结合思想在初中数学解题中的应用，并为教师提供有价值的教学策略和方法，从而促进学生的数学思维能力和解决问题能力的提升，这对于初中数学教学具有重要的现实意义［2-3］.因此，本文以“二次函数与几何图形”问题为例，通过实例分析，验证了数形结合思想在解决这类问题上的有效性和实用性，对提高学生的解题能力和思维能力具有重要意义.

1 数形结合思想在解题中的体现及运用

数形结合思想将数学问题与几何图形或函数图象相结合，运用数学概念和方法分析解决与几何有关的问题.它强调数学与几何之间的相互关系，通过数学的抽象和逻辑推理方法理解和解释几何现象［4］.数形结合思想的体现和运用主要表现在下面几个方面.

1.1 几何对象的数学表示

数形结合思想可以将几何对象抽象为数学上的符号和表达式，通过数学语言来描述和分析几何性质.例如，将平面上的点用坐标表示，将直线用方程表示，将平面图形用数学公式和方程式表示.

1.2 利用数学方法解决几何问题

数形结合思想可通过运用数学方法和工具解决几何问题.例如，通过代数方法和方程的求解求取几何图形的参数，通过向量和矩阵的运算来研究几何变换和平面曲线，等等.

1.3 几何问题的数学证明

数形结合思想可将几何问题转化为数学问题，并通过数学的逻辑推理和证明方法解决几何问题.例如，通过利用数学定理和推理方法证明几何性質，如平行线的性质、三角形的相似性质等.

1.4 几何模型的数学建模

数形结合思想可以将实际问题抽象为几何模型，并通过数学建模和计算方法分析解决实际问题.例如，在工程和科学领域中，可以利用数形结合思想将物体的形状和结构抽象为几何模型，通过数学建模和模拟计算研究其性质和行为.

2 “二次函数与几何图形”问题的求解策略

“二次函数与几何图形”问题在试题中有多种形式，包括求顶点、方程求解、图像分析等.本文将详细介绍该类题型的解题思路和方法，讨论如何运用数形结合思想解决二次函数与几何图形问题，具体求解策略如图1所示.

2.1 理清问题信息和给定条件

在解决“二次函数与几何图形”综合题之前，首先需要仔细阅读题目并理清其中的关键信息.例如，了解已知条件、待求量以及所给图形的特点等.通过整理和归纳这些信息，可以为后续的解题过程提供指导，提高解题效率.

2.2 绘制几何图形

根据题目中给出的信息，绘制相应的几何图形是解决问题的重要一步.几何图形可以直观地展示问题的情境和关系，帮助学生更好地理解问题.在绘制几何图形时，可以借助数学工具或手绘，确保图形的准确性，为问题解决创造条件.

2.3 建立二次函数模型

在解决“二次函数与几何图形”综合题时，往往需要建立一个适当的二次函数模型来描述问题.根据已知条件和问题的要求，可以利用二次函数的性质建立相应的函数模型.这个函数模型将数学概念与几何图形联系起来，为解题提供了一个框架.

2.4 分析函数图象与几何图形的关系

通过分析函数图象与几何图形的关系，可以揭示二者之间的数学规律和联系.观察函数图象的形状、开口方向、定点位置等特点，并将其与几何图形进行对比和推理.这样的分析有助于理解问题背后的数学原理，并为问题的解答提供线索.

2.5 运用数形结合解决问题

在掌握了函数图象与几何图形的关系后，可以运用数形结合的方法来解决问题.通过将函数模型中的变量与几何图形相对应，可以建立数学方程或等式，进而求解待求量.同时，结合几何图形的性质和特点，可以得出问题的解答.

2.6 检查与解释结果

在完成解题过程后，应当对结果进行检查，确保解答符合问题的要求.同时，还可以对解答结果进行解释和分析，说明解题的思路和方法，并给出可能存在的其他解决方案.

3 “二次函数与几何图形”问题的案例分析

例题  如图2，在平面直角坐标系中，抛物线开口向下，且与x轴交于点A（5，0）和点B（-1，0），与y轴的正半轴交于点C（0，2.5）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线上是否存在一个点P，使得能够与点A和点C为顶点构成一个直角三角形，且点A为直角顶点；

（3）若在抛物线上有一个动点G，作GE⊥y轴，与直线AC相交于点D，作DF⊥x轴，连接EF，当线段EF最短时，求点G的坐标.

3.1 求解二次函数解析式

熟练掌握二次函数解析式是解决问题的关键.其解析式有一般式、顶点式、交点式三种基本形式，特殊情况下还有对称点式.求取二次函数解析式一般采用待定系数法，依据题目中给出的已知条件的特征和二次函数三种基本形式，设出恰当的解析式可以提高解题效率.根据已知条件可知，抛物线与x轴相交于A，B两点，可以判断交点式是求取该抛物线解析式的首选方法.

根据“待定系数法”的解题步骤，设二次函数的解析式为y=a（x-xA）（x-xB），将A（5，0）和点B（-1，0）两点坐标代入二次函数的解析式，可得y=a（x-5）（x+1）.又因为抛物线与y轴的正半轴交于点C（0，2.5），所以a（0-5）（0+1）=2.5，解之得a=-12.从而可得抛物线的解析式为y=-12（x-5）（x+1），即y=-12x2+2x+52.

3.2 存在性问题

在初中数学中，存在性问题是指对于某个条件或要求，判断是否存在满足条件的对象或解.这类问题常常出现在各个数学分支中，如代数、几何、逻辑等领域.一般可通过推理证明或构造法判断是否存在满足要求的图形或几何关系，存在性问题对于学生深入理解数学概念和发展数学思维能力非常重要.

以上述“抛物线上是否存在一个点P，使其能够与点A和点C为顶点构成一个直角三角形，且点A为直角顶点”为例，说明解决这类问题的基本策略.一般情况下，解决这类存在性问题时，先假设存在点P，使得其能够与点A和点C为顶点构成一个直角三角形，且点A为直角顶点，然后利用直角三角形的基本性质进行推理求解.

如图2所示，假设P点存在，通过证明△OAC∽△OHA，然后利用相似三角形的基本性质即可得到OA2=OC·OH，从而可得到线段OH=10，即可得到点H的坐标为（0，－10），然后利用“待定系数法”即可得到直线AP的解析式为y=2x－10，将其与抛物线的解析式联立方程组，得y=-12x2+2x+52，y=2x-10.解之得x1=5，y1=0;x1=-5，y1=-20.从而可知点P的坐标为（-5，-20）.

3.3 动点问题

在中考试题中，二次函数与几何动点问题涉及确定动点的坐标，通常被认为是较难的部分.在解决“二次函数与几何图形”有关的动点问题时，常常需要结合几何法和代数法，并根据具体情况选择最合适的方法求解动点的坐标.这要求学生既要熟练掌握二次函数的性质和几何图形的特点，又要具备使用代数方法进行方程求解的能力.

3.3.1 代数论证法

根据已知条件求得直线AC的解析式，设出D，E，F三点的坐标，然后运用直角三角形中的勾股定理即可求得线段EF长度，经配方计算即可得到线段EF的最小值及D，E，F三点坐标，从而得到动点G的纵坐标，此后代入抛物线的解析式即可得到G点坐标为（2+5，2）或（2-5，2）.

3.3.2 几何论证方法

根据已知条件和几何图形的基本性质，证明四边形OFDE为矩形，然后利用相似三角形的性质得到OD2=OE·OC，从而得出点G的纵坐标为2，并将其代入抛物线的解析式中，即可得出点G坐标为（2+5，2）或（2-5，2）.

4 结束语

运用数形结合的解题策略可以帮助学生更好地解决中考“二次函数与几何图形”问题的综合题.通过几何图形的观察和分析，结合数学知识的应用及结果的验证与解释，学生能够全面理解问题并找到解决方案.这种解题策略不仅提升了學生的数学能力，也培养了学生的几何思维和数学模型应用能力.

参考文献：［1］ 吴敏燕.以形助数 以数辅形：数形结合在初中数学教学中的应用［J］.理科爱好者，2023（02）：94-96.

［2］ 黄汉财.妙用数形结合 让初中生数学解题思路更清晰［J］.数理化解题研究，2023（2）：8-10.

［3］ 赵俊飞.初中数学教学中数形结合思想的应用［J］.数理天地（初中版），2022（21）：80-82.

［4］ 赵小娟.数形结合在苏教版小学数学教材中的体现及运用研究：以中高年级为例［J］.数学学习与研究，2023（09）：119-121.

［责任编辑：李  璟］