关注知识逻辑结构,促进学习真正发生

[摘  要] 数学知识具有严密的逻辑性和结构性，从整体上把握知识的结构能够挖掘知识之间的联系，使学生进行深度思维，实现深度学习。教师通过厘清知识结构，开展结构化教学，引导学生感受知识发生和发展的过程，深度探究问题的本质与掌握知识的内涵，促进学习真正发生。

[关键词] 逻辑结构;知识内涵;深度学习

在课堂教学中学生的学习是否真正发生，关键在于学生是否真正参与学习活动，是否在教师的引导下去探寻问题的本质，建构知识体系，理解知识的内涵。通过数学学习，学生能学会知识和技能的迁移，从而体会数学学习的价值，感受数学的魅力，获得深刻的情感体验。数学知识具有内在的联系和逻辑结构，因此数学教材的编排也彰显出系统性和逻辑性。在教学中教师要从整体上把握教材的系统和结构，通过知识的关联、方法的迁移、内容的重组以及数学过程的凝聚，开展结构化的教学，使课堂学习真正发生。

一、关联知识结构，建构知识意义

数学知识之间既有纵向联系，又有横向联系。在教学中教师要进行结构化的教学，把握知识之间的联系，建构知识体系，探寻知识本质，从而实现知识意义的深度建构，使学习真正发生。

1. 知识横向联系

教学中知识的横向联系是通过创设情境，将不同的知识点联系在一起，引导学生去发现知识的内涵，学会从多种角度思考和审视数学知识，建构知识体系，从而形成网状的知识结构。在教学中教师要引导学生通过对比将所学知识进行横向联系，发展思维的灵活性，使学习真正发生。

案例1  角的度量和体积单位

在教学“角的度量”这一内容时，教师不仅教学生用量角器测量角的度数，还将刻度尺、时间尺与量角器进行对比。三种工具虽然具体测量的内容不同，但是可以发现这三种工具都有刻度，并且标有刻度的起点，都是标有计量标准刻度的测量工具。

在教学“体积单位”时，教师不能让学生局限于体积单位的学习，要引导学生将体积单位与长度单位、面积单位等进行横向对比，发现它们的共同规律：即先要确定标准单位，然后求出它们所包含的标准单位的个数。

在教学中教师要通过知识的横向关联为学生新知的学习奠定基础，建构起新知与旧知的联系，使学生通过丰富的学习情境感受新知，完善已有的知识结构，拓展自己的认知触角。这样的教学有利于学生进行深刻思考，促进学生思维活动的真正开展。

2. 知识纵向联系

数学教材一般按照学生的认知规律呈螺旋上升的结构进行编排，即将相同的知识点安排在不同的章节、不同的学段进行学习，逐漸提升知识的难度。教师在进行教学设计时要从整体上把握教材的结构和逻辑，理解同一知识点在不同学段的具体要求，把握教学内容之间的内在联系，将知识点进行纵向的比较和联系，从而构建起完善的知识结构，促进学生的深度学习。

案例2  除法

除法包括了整数、小数和分数的计算，教材将这些内容依照顺序安排在不同的学段。它们的算法虽然不尽相同，但是在计算过程中能找到共同之处。教学中教师可以将这些内容进行纵向的比较，使学生能够对除法的计算知识有更加深入的理解。

师：392÷56如何计算？

生1：结果为7，因为39个10不够被56分，因此要将39个10转化成390个1，被56分了之后可以得到7个1，所以7需要写在个位上，而不能写在十位上。

师：很好，我们今天来看一下小数的除法，11.2÷4应该如何计算呢？同样用11被4分，可以得到商为2，余3，而3个1是不够被4分的，那么就需要转化为30个0.1，最后32个0.1再被4分可以得到8个0.1，十分位上应为8，所以最后的答案为2.8。下面哪位同学来说一说分数的除法÷3应该如何计算呢？

生2：这道题同样有一个问题就是2个不够被3分，那么可以把转化成，这样被3分之后可以得到2个，因此这道题的结果为。

师：很好，通过这三种除法计算我们可以发现，除法的本质就是将计数单位的个数进行平分。当出现除数较大，被除数不够平分的时候要将较大的计数单位转化成下一个计数单位再继续平分。

本例通过知识的纵向联系将新旧知识进行比较，使学生认识到除法的本质。只有学生自主构建起知识网络，学习活动才算真正发生。

二、迁移知识技能，提升学习能力

知识迁移是指将已知的知识、技能、方法迁移到新的情境中，能够实现举一反三，建构联系的能力。数学教材的编排有严密的逻辑体系，因此学生具备知识迁移的能力就能够提升自主学习的能力，发展思维的灵活性。

1. 迁移学习方法

创设新的学习情境能够激发学生的好奇心和学习兴趣。因此，具有一定挑战性的学习任务往往更能吸引学生的注意力，激发学生自主探究的学习热情。数学教材将同一知识内容按照不同的难度分布在不同的学段进行学习，呈现螺旋上升的结构。许多知识以及学习方法之间具有相似性，教师可以利用其中的规律引导学生将已知的学习经验和方法迁移到新的学习任务中，从而有利于学生的自主学习探究，建构知识网络。

案例3  两位数乘两位数笔算

例题：幼儿园购进12箱迷你南瓜，每箱24个，一共有多少个？

教师设计学习任务单，引导学生根据任务单的提示完成学习任务。

师：首先将两位数的笔算乘法转化成我们熟悉的口算，可以如何转化？

生1：我们可以将12转化成10+2，这样可以得到24×10=240，24×2=48，再将两者相加可以得到结果为288。

生2：我们可以将12转化成2×6，这样可以转化为24×6×2，得到结果为288。

师：很好，类似的方法我们都可以计算出结果。下面我们在图1点子图上进行操作。

（学生将12进行拆解，在点子图上进行操作演示）

师：既然我们已经学会了两位数乘法的计算，那么现在我们可以通过如下的竖式笔算演示出来。

本例中教师利用学生已有的计算经验进行知识迁移，在不同的算法中采用了“先拆再合”的方法，使学生通过对比发现了这些算法之间共同的算理和内在的联系。借助点子图帮助学生将抽象的计算知识变得更加形象具体，从而能够以直观可视的方式理解运算中的算理。借助点子图使学生将口算中的分步计算与竖式笔算联通起来，打通了由图形演示到分步计算再到竖式计算之间的结构通道（如图2），从而在整体上找到不同算法之间的相同点，实现由算法到算理之间的自然过渡。

在掌握了两位数与两位数相乘的基础上，教师可以进一步引导学生进行思考：当乘数变成三位数应该如何计算？如果是多位数与两位数、三位数的相乘又该如何计算？

从一位数的乘法出发，迁移到两位数、三位数直至多位数的计算，实现乘法笔算知识的纵向联系，建构乘法的计算算理和方法的结构模型，从而使原有的知识结构更加完善，形成更为丰富的网状数学知识关联结构。

2. 迁移知识结构

数学知识具有严密的逻辑结构，许多同类知识在学习中都有相似的结构，教师要把握知识中的相似学习结构，引导学生将这种学习结构迁移到新知的学习中，提升学生自主学习的能力，促进学生思维的深刻性。

案例4  乘法交换律

交换律是数学运算中的一种常用计算方法，对于简便运算有着非常重要的意义。数学加法交换律与乘法交换律具有相似的学习结构，倘若采用相同的教学方法，会导致学生的学习不够积极，无法激发学习兴趣。因此，教师可以采用迁移学习结构的方法引导学生学习。比如，在加法交换律中，学生采用了“提出猜想、到验证猜想、再到提炼概括、最后拓展延伸”的学习结构。在乘法交换律中，教师要求学生迁移这一学习结构，搭建自主学习的“脚手架”，开启深度思维的学习活动。

三、重组教学内容，促进深度学习

数学教学要立足于学生的实际情况和认知特点，不能只依靠教材按部就班，教师要根据实际的教学需要对教材内容进行适当的重组，从而更加符合学生的发展水平，促进学生的学习活动真正发生。

1. 调整内容顺序

教材的知识编排一般按照由易到难的螺旋上升结构进行编排，但在实际教学中受到负迁移的影响，反而导致知识较难同化。教师可以对教材的内容进行合理调整，打破原有的教材顺序和学生的认知平衡，让学生能够更加积极地实现知识的顺应和同化，使思维更加深刻。

案例5  小数的加减法

（1）6.45+4.29，6.45-4.29。

（2）6.45+8.3，6.45-8.3。

教材中按照相同位数的小数加减和不同位数的小数加减进行内容的编排，体现出由易到难的特点，学生在完成第（1）题之后虽然能够较顺利地计算出结果，但是对算理的理解不一定正确，容易产生负迁移。学生会认为小数的加减法与整数的加减法相同，也是采取末位对齐的方法计算，从而产生错误的认识。因此，在教学中教师不妨调整（1）题和（2）题的顺序，让学生先做（2）题，他们在计算时会出现争议和分歧：究竟是按照末位对齐还是按照小数点对齐进行计算，这就打破了学生原有的认知结构，迫使学生学习新知，完善已有的知识结构，从而更好地接受新知，掌握小数加减法的本质。

2. 调整课时分配

深度的学习活动是学生在知识情境中能够自主探究，主动建构知识网络，探寻数学本质的过程。在课时的内容安排中教师可以做相应的整合，将内容相似、学生容易混淆和出现错误的内容整合在一个课时中，从而引导学生结合学习的素材展开深入思考，在激烈争辩中形成新的知识结构。

案例6  正反比例的意义

正比例与反比例的意义在教材中分别安排在两个课时中，教材提供的学习素材较为简单，对于学生的思维训练较少，不利于学生的深度学习。这两项学习内容具有相关性，因此可以将它们整合在一个课时之中，为学生的探究提供充足的时间和空间，促进学生开展深度学习。

在教学中教师可以列举正反比例的具体事例。比如，王奶奶的体重与年龄关系、书籍已读和未读的页数关系、物品销售的数量与总价关系、运送货物每天的运送量和运货的天数关系，引导学生探究这些学习素材中两个变化量之间的关系，并进行正反比例的概念辨析，实现对知识的深度理解。

通过将两个容易混淆的概念进行整合，能够使学生处于更加广阔的学习背景中，增强了思维的挑战性。学生在深刻辨析中体验到两种比例关系的不同变化规律，从而形成更加清晰的概念。兩项内容整合在同一课时能够避免问题的指向过于单一，便于诊断学生对知识的掌握情况，有利于学生在综合的辨析比较中理解正比例和反比例的概念，使学习活动真正发生，锻炼了学生的思维能力。

四、凝聚学习过程，突出学科本质

数学教学要引导学生探寻数学的本质特征。因此，在教学中教师要凝聚学习过程，通过渗透数学思想，突出学科的本质和内涵，体现学科的属性特征。

1. 发展抽象思维

抽象思维是解决数学问题的关键思维，在教学中教师要引导学生从学习的素材出发，抽象出数学知识与数学问题，实现数学本质属性从情境中剥离，让学生产生更加深刻的认识。

案例7  小数的性质

在教学小数时教师常常会借助具体的教学模型让学生理解，比如，2元5角等于2.50元、8.00元等于8元，借助米尺可以直接观察0.1米与0.10米、0.100米相等。在此基础上教师要引导学生从直观的认识到抽象的理解，借助图示理解0.3表示3个，0.30表示30个，即0.3与0.30相等。

当学生根据生活经验和直接观察理解数学知识之后，教师要及时引导学生进行抽象的数学建构，保证其能真正理解知识的本质和内涵。

2. 建构数学模型

数学模型是采用数学语言对现实原型进行的抽象化表达，建构数学模型是提升学生学习能力与学习效率的核心。

案例8  数字的倍数特征

在教学2、3、5的倍数特征之后，教师可以进一步引导学生探究4、8、9的倍数特征，并通过对比辨析2、3、5、4、8、9的倍数特征，抽象出它们的数学模型：即一个数能否被另一个数整除，只要将这个数除了个位上的各个数分别除以另一个数，再将余下的数和个位上的数相加，所得到的和能被另一个数整除，这个数就能被另一个数整除;反之，则不能。用数学的符号可以表示为：判断abc能否被9整除，可以将abc转化为100a+10b+c，通过变式可以得到100a+10b+c=99a+9b+a+b+c，因此只要a、b、c的和能够被9整除，那么abc就能被9整除。通过对比辨析2、3、5、4、8、9的倍数特征，抽象出它们共同的数学模型，由具体到抽象的学习，建构起数学模型，促进学生形成完善的知识结构。

总之，教师在教学中要基于教学目标和学情整体梳理教材的结构和脉络，对知识内容进行有效关联和整合，实现方法和技能的迁移，从而助力学生建构知识体系，使学习真正发生。

作者简介：陈支晶（1989—），本科学历，一级教师，从事小学数学教学工作。