“探究式”教学在高中数学课堂的应用案例

汪所

摘要：一般性的规律探究与发现不仅可以保持知识的连续性、完整性及系统性，而且还可以为解决新情境问题提供多种不同的思考角度和方法.同时，还可以用“高观点”分析解决数学问题.基于此，借助教材的例习题，通过特殊到一般的探究式教学方式，结合几何画板这一现代化教学工具，落实学生探究意识，提高学习数学的兴趣，养成良好的数学学习习惯，发展自主学习的能力，培养逻辑推理核心素养.

关键词：解析几何；几何画板；斜率公式

“探究式”教学法又称为发现法、研究法，是指学生在学习过程中，教师只是一个引路人，给出某个具体问题，学生通过查阅资料、观察实践、思考辨析、讨论讲解等途径去主动探究，获得相应规律和结论的一种方法.其核心思想是在教师的指导下，发挥学生的主观能动性，调动学生积极性，让学生自觉地探索解决问题的方法，并从中找出规律，形成结论，建立自己的认知模型和知识框架.在高中数学课堂中，应该充分重视学生的主体地位，利用“探究式”教学方法提高课堂效率［1］.

1 典例分析

例1（普通高中教科书人教A版选择性必修一第108页例3）如图1，设A，B两点的坐标分别为（－5，0），（5，0）.直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是－49.求点M的轨迹方程，并判断其轨迹形状.

解析：设点M坐标为（x，y），则

kAM=yx+5（x≠－5），kBM=yx－5（x≠5）.由已知，得yx+5×yx－5=－49，

化简，得点M的轨迹方程为x225+y21009=1（x≠±5）.

故点M的轨迹是除去（－5，0），（5，0）两点的椭圆.

点评：在该问题的条件中出现了对称的两点和非常明显的几何关系“斜率之积是－49”，因此可直接采用“建系、寻找几何关系、代数化、运算解答”的一般性步骤求出轨迹方程，但是要注意到斜率不存在的情况.同时，也可以利用几何画板的直观展示，判断出动点M的运动轨迹，体会数形结合的重要思想.

2 问题探究

探究一：（普通高中教科书人教A版选择性必修一第121页）将例1中的斜率之积改为49，其他条件均不变，求点M的轨迹方程，并判断其轨迹形状.

解析：设点M的坐标为（x，y），则

kAM=yx+5（x≠－5），kBM=yx－5（x≠5）.由已知，得yx+5×yx－5=49（x≠±5），

化简，得点M的轨迹方程为x225－y21009=1（x≠±5）.

故点M的轨迹是除去（－5，0），（5，0）两点的双曲线（如图2）.

点评：探究一与例1均满足斜率之积是常数这一条件，不同的是改变了定值的符号，从而导致结果由椭圆变成了双曲线.

由此不难想到，能否将该常数一般化，通过对一般规律的探究又能得出哪些结论呢？

探究二：（普通高中教科书人教A版选择性必修一第146页复习参考题第11题）已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为（－5，0），（5，0），且边AC，BC所在直线的斜率之积是m（m≠0），求顶点C的轨迹方程，并判断其轨迹形状.

解析：设点C坐标为（x，y），则

kAC=yx+5（x≠－5），kBC=yx－5（x≠5）.由已知，得yx+5×yx－5=m，

化简，得点C的轨迹方程为x225－y225m=1（x≠±5）.

所以，当m>0时，点C的轨迹是除去（－5，0），（5，0）两点的双曲线；

当m<0，且m≠－1时，点C的轨迹是除去点（－5，0），（5，0）的椭圆；

当m=－1时，点C的轨迹是除去点（－5，0），（5，0）的圆.

点评：探究二是把斜率之积用常数m（m≠0）替代，可以通过几何画板对m取不同值时的动态演示，得出不同形状的曲线，不仅体现了直观性的教学效果，还体现了从特殊到一般的探究性思维方式.尤其是当m=－1时，呈现出了圆的“直径所对圆周角是直角”的性质，展现出几何与代数的统一性.

如果将两个定点一般化又会得到怎样的结论呢？

探究三：将探究二中的点A，B的坐标分别改为为（－a，0），（a，0），求顶点C的轨迹方程，并判断轨迹形状，进一步说明常数m的意义.

解析：设点C的坐标为（x，y），则

kAC=yx+a（x≠－a），kBC=yx－a（x≠a）.由已知，可得yx+a×yx－a=m，

化简，得点C的轨迹方程为x2a2－y2ma2=1（x≠±a）.

所以，当m>0时，点C的轨迹是除去点（－a，0），（a，0）的双曲线；

当m<0，且m≠－1时，点C的轨迹是除去点（－a，0），（a，0）的椭圆；

当m=－1时，点C的轨迹是除去点（－a，0），（a，0）的圆.

进一步，当m>0时，令b2=ma2，则m=b2a2=e2－1（e为双曲线的离心率）；

当m<0，且m≠－1时，令b2=－ma2，则m=－b2a2=e2－1（e为椭圆的离心率）；

当m=－1时，若认为圆的离心率e=0，则也满足m=e2－1.

点评：该探究是上述几个探究问题的进一步推广.把两点坐标和常数都一般化.不仅获得了常见的几种曲线轨迹方程，而且得出m=e2－1的结论.通过上述一般化的探究过程不难发现，从“特殊到一般”的探究对于学习数学知识、培养解决数学问题能力、提升数学素养的重要性.另外，对一般性结论“k1k2=e2－1”的总结归纳，还可以让学生获得快速解决此类问题的基本技能.

3 知识应用

例2已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a>b>0）的左、右焦点为F1，F2，左、右顶点为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点（异于M，N），△AF1B的周长为43，且直线AM与AN的斜率之积为-23，求椭圆C的方程.

解析：利用椭圆定义，可得△AF1B的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=43，

所以a=3.

结合上述探究结论，可知k1k2=e2－1=－23，则b2=2.

故椭圆C的方程为x23+y22=1.

点评：通过本题不难发现，在解决一些圆锥曲线问题中利用好一些常用结论可以起到事半功倍的作用.当然，若本题作为解答题，则应该对该二级结论进行推导，以达到思维的严谨性.

总之，教师在教学过程中应该充分利用好教材中的一些碎片化资源，并对其重组、融合和拓展，再结合多种多样的现代教育技术逐步培养与渗透从特殊到一般的探究意识.在平时的教学过程中，还要在落实“四基”的同時培养“四能”，重视学生思维的形成和核心素养的培养，要让学生学会分析、学会思考并养成归纳的好习惯，最终完成立德树人的任务［2］.

参考文献：

[1]陈寅文，借助高考真题，落实探究意识[J].中学数学，2022（3）：25-26.

[2]李建瑞，叶重元，平几背景，解几设置，多解思维——一道八省联考题的探究[J].中学数学，2021（19）：48-49.