基于APOS-H理念的中职数学概念教学模式构建与实施

【摘要】本文尝试将APOS理论与HPM有机融合，以APOS理论作为操作形式、以HPM中的数学史作为操作内容，构建APOS-H概念教学模式，以教学函数这一抽象的数学概念为例展示该教学模式在中职数学教学中的应用，旨在帮助基础薄弱、缺乏优良学习习惯的中职生顺利理解数学概念。

【关键词】APOS理论 HPM 函数的概念

中职数学

【中图分类号】G63 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2023）29-0136-05

数学概念是数学知识的基础，概念教学在数学教学中发挥了基础性的作用。《中等职业学校数学课程标准（2020年版）》（以下简称《课程标准》）强调，要通过数学学习培养学生的科学精神，加深学生对数学文化价值的认识。中职生的数学基础普遍薄弱，对数学知识缺乏情感上的认同，面对抽象的数学概念时显得手足无措。近年来，在新教学理念的影响下，“填鸭式”“满堂灌”的概念教学方式已逐渐被教师抛弃，“学生主体、教师主导”的理念成为主流。然而，在具体的概念教学实践过程中，大多教师只能空守着新理念而无从下手，原因是缺乏具體的操作方式。因此，探索出更加真实有效、具有可操作性的概念教学模式，帮助学生顺利地进行概念学习，成为当前亟待解决的问题。一切行之有效的教学模式都需要以教学理论作为基础和引领，因为只有在理论的指导下所设计出的模式才具有科学性。有时单一的教学理论无法满足复杂的现实教学需要，因此，把多种教学理论进行恰当融合，发挥各教学理论的优点，并在此基础上探索出新的概念教学模式，就成为教师教学的一条新途径。

一、APOS-H理念的内涵

（一）APOS理论概述

APOS理论是由美国著名教育学家杜宾斯基提出的关于数学概念学习的理论。该理论以皮亚杰的建构主义学习理论为基础，将数学概念的学习分为四个阶段，即操作（Action）、过程（Process）、对象（Object）、图示（Scheme）。

操作阶段是指学生通过接受外部刺激，对感知到的对象进行转换。过程阶段是指在多次重复操作之后，学生经过反思提升，从不同情境中发现共性，进行抽象概括，得到一般的数学概念，并将这个过程形成一种模式。对象阶段是指学生能够把概念的抽象过程视为整体，并对其进行更深入的探究，理解概念的要素和其他特性。此时，学生已经把概念看成普通意义上的数学对象，完成了概念建构过程。学生把在前述三个阶段获得的知识与自身已有的知识结构融合，从而形成新的认知图式，此时便达到图式阶段，这一阶段学生的思维水平和认知状况已经达到一个更高的层次，形成全新的知识体系。

（二）HPM研究简述

HPM主要指国际数学教育大会成立的数学史与数学教学关系国际研究小组，随着时代发展，如今HPM也经常用来表示数学史与数学教育研究。该研究主要探讨如何把数学史恰当地融进数学教学，从而充分发挥数学学科的育人功能，落实立德树人根本任务。

华东师范大学汪晓勤教授长期致力HPM领域的研究。他提出，如果要让数学史真正地走进数学教学，需要满足融入的自然性、体现价值的深刻性。比如，可以在教学中通过适时地向学生讲授概念、定义、法则中所涉及的数学家及他们在探索数学知识时发生的故事，激发学生的学习兴趣；在讲解定理证明、公式推导的过程中采用古代数学家的巧妙方法，展现数学家的思想智慧和思维方式；在概念教学过程中不要只是将数学概念强硬地“灌输”给学生，而要把数学概念的发展形成过程再现给学生，使学生了解知识发生发展的过程；在教学中根据简单、主观原则改编数学史中的部分内容，使其更能满足教学过程的实际需要，方便学生感受其中蕴含的数学思想方法，实现学科核心素养的养成。

（三）融合APOS理论与HPM研究的APOS-H理念

近年来，数学教师对数学史的应用方式更趋向于在对相关历史材料进行深入研究的基础上，找出数学家在数学知识发展的关键时间节点所产生的困惑及不断努力后取得的突破，并将这一素材进行以学生为中心的适当加工，最终成为学生在课堂上自主探究的素材。因为从本质上说，学生认识新知的过程与人类对自然科学知识探索的过程是相似的。这种HPM的应用方式能弥补传统讲授式教学法枯燥无味的缺陷，更重要的是坚持以问题为导向，符合学生的认知规律，创造了一个以学生为主体的课堂环境。这就使学生在追寻数学史实、进行问题探究的过程中，激发了学习兴趣，完成了知识的自主建构，培养了数学学科核心素养。另外，APOS理论同样强调学生学习概念的过程不应是被动接受的过程，而应该是主动建构的过程，即学生需要通过操作、过程、对象三个阶段的思维活动，最终自主形成综合心理图式，完成知识的自主建构。在上述过程中，教师只可以发挥引导者的作用，而不能直接以“灌输”等方式去替代学生完成一系列探究活动。

从上述分析不难发现，APOS理论和HPM研究都以强调动态的建构主义为基础，这使得二者的融合不仅可行，而且是相辅相成的。一方面，APOS理论虽然提供了概念教学过程中学生建构新知所需的活动形式，但教师在具体的实践过程中会面临“巧妇难为无米之炊”的困境，即只知道引导学生的方式，却缺乏相关素材，而HPM的数学史恰好为APOS理论的操作形式填充了具体的操作内容。另一方面，数学史本身虽然丰富精彩，但教师在运用其进行教学时常常缺乏科学的融入方式和阶段性的操作策略，而APOS理论的四个阶段在这时便可以发挥指导与引领的作用，从而充分发挥HPM的作用。比如，在APOS理论的操作和过程阶段，学生需要对情境中的问题对象进行数学转换，然后再进一步进行抽象概括。此时，上述情境的最佳构造方式莫过于以数学史作为主体，让历史素材成为APOS理论实现的依托，学生在数学史中进行抽象概括，完成知识的自主建构。这种以帮助学生更好地进行概念学习为目标，融合APOS理论和HPM研究的理念即为APOS-H理念。

二、基于APOS-H理念的中职数学概念教学模式构建

基于APOS-H理念的中职数学概念教学模式的教学流程如图1所示。

（一）A-H阶段：追寻概念起源，操作感知模型

在APOS理论中，学生学习概念的第一阶段是在具体的问题情境中感知数学概念的雏形。在融入HPM的APOS-H教学模式下，中职数学教师可以把数学史实作为问题情境的具体内容，因为大部分的数学概念最初都来自数学家对实际问题的思考。具体操作中，教师事先充分挖掘数学史料，经过适当加工后呈现给学生，学生在教师的引导下追寻概念的起源，像数学家一样，思考这些数学家曾经面对的问题，在思考、操作过程中感知问题情境中所蕴含的数学模型，为下一步的抽象反省过程做好铺垫。

这样的教学方式可以在课堂教学初期激发学生的学习兴趣，活跃课堂气氛，让学生感受到数学知识与实际问题的关联性，且这种关联性是在历史中真实存在的，不是教师虚构的；让学生经历思维的操作过程，在一定程度上培养直观想象的学科核心素养。

（二）P-H阶段：抽象概括史实，形成概念定义

初步感知概念模型之后进入P-H阶段，即以數学史为载体的思维操作阶段。此时，中职数学教师首先要引导学生对A-H阶段中的历史问题情境进行深入探究，并让学生代入数学家的身份，尽情表达自己的想法，而后展示历史上数学家解决问题的方式，分析自身思考结果与真实的数学史实有什么不同，从而展开一场学生自我思维与数学家思维的交流与碰撞。这种探究方法可以贯穿这一阶段始终，因为数学问题的解决并不是一蹴而就的，数学概念最初的形式也是不完善的，数学概念是靠数学家在不断探索、改进的历程中总结优化的，这是一个曲折前进上升的过程。

教师运用HPM，将数学概念的发生、发展过程再现于学生眼前，有效地将数学家“发现问题—思考问题—解决问题—再发现问题—再思考问题—再解决问题”这一循环往复、检验修正的真实经历重构为教学过程。学生在数学史的时间节点上，按照APOS理论，对经过教师加工的真实问题情境进行不断的抽象概括，对数学家解决问题的过程进行深入的反思总结，最终得到数学概念的最新形式，同时了解概念形成与发展的来龙去脉，增加对数学知识情感上的认同。

（三）O-H阶段：深入分析对象，把握概念要素

数学概念往往需要用文字语言、符号语言和图象来表示，其中的文字语言是学生最易接受的，而符号语言具有较强的抽象性。数学概念的简洁、精确却离不开数学符号的使用。对中职数学概念教学来说，“会用数学的语言表达世界”是《课程标准》对中职生发展学科核心素养的要求。而在P-H阶段，经过教师加工处理的数学史主要发挥便于学生理解概念发展历程这个功能，在这样的背景下，学生所习得的概念仅局限于文字表达，且是模糊的、不完整的。因此，在O-H阶段，教师要进一步引导学生深入分析概念对象，尤其是概念中抽象符号的意义。此时，教师可以采用形象类比的方式，把晦涩深奥的数学符号类比为学生熟悉的事物或已有知识，再通过一些简单的正反例帮助学生完成概念辨析，从而使学生能够深刻把握概念中的要素，感悟数学符号的精练简约之处，形成对概念的完整认知。

（四）S-H阶段：建立概念联结，完善知识体系

在APOS理论中，学生在经历了思维的操作、过程、对象三个阶段后，便需要将概念知识形成综合心理图示，该图示建立的标志之一是能够进行概念知识的迁移和应用。例如，当学生将来遇到一个问题或者对象时，能够判断这一问题或者对象是否属于该综合心理图示。另外，《课程标准》所提到的培养学生数学学科核心素养中也包括数学建模素养，与进入图示阶段的标志之一，即概念的应用在结果上不谋而合。因此，S-H阶段的主要任务是运用数学史来检验学生是否成功形成图示结构。

APOS-H理念下的概念教学过程中，学生对概念的最初理解来源于操作阶段和过程阶段对数学史中具体问题情境的感知与抽象，因此最后的图示检验应落脚于数学史或现代数学问题的应用上，从而形成一个概念从产生到应用在时间上的闭环结构，使学生感受到数学知识的现实性与实用性，进一步认同数学概念的合理性。教师在实际教学过程中，可以从数学史料中深挖与授课知识相关的素材，加工创编为难度适中、便于理解的问题，再让学生以合作探究的形式运用所学概念知识进行解答。这里的问题设置也可以将现代生活中的实际资料作为主体内容。通过分析学生的解答情况，教师可以确认学生是否形成正确的心理图示，若出现问题，还可以进行及时的反馈修正。

形成综合心理图示的另一重要标志为能否将新的概念与已有的知识体系建立联结，构造新的知识体系。因此，教师还要结合学生学过的相关知识设计课堂练习，再辅以构造思维导图，帮助学生进行总结归纳，使学生领悟新知与旧知之间的联系和区别，建立多种知识之间全方位的联结，在进一步理解概念的基础上完善自身的认知结构。

三、基于APOS-H理念的中职数学概念教学模式实施

本文结合中职数学函数概念教学，论述基于APOS-H理念的中职数学概念教学模式的具体应用。

（一）教学分析

函数是现代数学最基本的概念，其本身除具有抽象性外，还包含许多复杂的下层概念，这使得它成为中职数学中教师最难教、学生最难学的概念之一。在传统的教学模式下，学生往往不清楚为什么要学习函数，也不清楚函数概念的产生过程，导致他们无法理解函数的本质，对函数知识缺乏情感上的认同。

为解决上述难题，教师可以在APOS-H理念的指导下，以HPM中函数概念的历史发展作为主线，引导学生从函数的起源开始，经历函数演变的各种形式，最终形成“集合—对应”观点下的函数概念。同时，根据学生的认知规律，按照APOS理论，先引导学生经历思维的操作和过程阶段，从数学史等具体的实例中逐步抽象出函数概念，再通过对象阶段引导学生细化概念，对符号“f（x）”进行深入分析，深入探究函数的要素，最后以应用练习的方式，帮助学生巩固概念，完成总结归纳，具体过程如下。

（二）教学过程

1.A-H阶段

中职数学教师先帮助学生复习初中所学的函数概念，并展示历史上对函数发展有积极影响的著名数学家，为后续探究函数定义的形成铺垫，同时调动学生的好奇心，激发学生的求知欲。接着，教师以历史上函数的起源作为切入点，让学生了解函数产生于16世纪欧洲数学家对航海过程中运动轨迹研究的需要，而简单的运动轨迹大部分可以用解析式刻画，因此欧拉提出的函数最初形式也仅局限于解析式，即函数的解析式说：函数是由变量和一些常数以任意方式组成的量。这恰好是学生初中阶段最熟悉的函数形式，学生易于接受。

2.P-H阶段

中职数学教师分别展示用图象（如图2所示）和表格（如表1所示）表示函数的实例，并提问学生：“欧拉所提出的解析式说是否可以表达这两个函数？”该问题激起学生的认知冲突，使学生亲身感受到函数解析式定义的局限性。接着，教师引导学生深入分析，在抽象概括中发现两个实例中的函数关系虽然无法用解析式刻画，但变量之间却存在着依赖关系，从而引出欧拉后续所提出的更加完善的变量依赖定义。

之后，教师引导学生继续追随数学家的脚步，通过常数函数的出现揭露变量依赖定义的不足。教师通过展示常数函数y=1（x[∈]R）的图象（如图3所示），引导学生发现某些函数中的两个变量并不一定有依赖关系。单纯地用变量依赖关系来刻画函数并不完善，需要把“依赖”这个词替换为“对应”。教师继而给出狄利克雷所提出的变量对应定义。选用合适的例子使学生体会到了函数概念逐步合理化、完善化的过程，函数概念的学习过程不再生硬、枯燥。另外，通过辨析“对应”和“依赖”的区别，学生也理解了函数所刻画关系的本质。

此时的函数定义已经十分接近函数的现代定义。为顺利融入集合的思想，教师提问学生：“函数的概念能否进一步简化？”接着通过分析一个现實中的文具销售问题，在回顾集合知识的前提下，教师引导学生将两个变量之间的对应进一步抽象概括为两个集合之间的对应，得到最终的函数概念。

3.O-H阶段

根据APOS理论，在过程阶段之后，学生需要将概念作为一个对象来进行进一步的细化分析。因此，在对象阶段，中职数学教师可以通过形象类比的方式，将符号“f ”类比为一台机器，把函数的对应过程类比为产品的生产加工过程，从而使学生深入理解抽象符号的意义，感知函数的要素，如图4所示。接着，教师要通过正反例的辨析帮助学生进一步巩固概念。

4.S-H阶段

在这一阶段，中职数学教师要引导学生小组交流合作完成两道习题。习题包括两个层面：一是尝试用新的函数概念描述初中学习过的几种初等函数，二是运用所学的函数概念来判断数学史上的几个实例中的变量关系是否属于函数关系。由此，可以检测学生是否将新的概念形成心理图式，并把这个图式纳入已有的认知结构。最后，学生借助思维导图完成对函数这个概念的总结归纳。

在数学课堂教学中，部分学生往往只记住了概念的形式，却对概念的本质一知半解。中职生因其基础较为薄弱，长期以来存在着强记硬背的情况。在建构主义的基础上，融合APOS和HPM的APOS-H理念，综合了两种理念的优点，以APOS理论中的操作、过程、对象、图示四个阶段作为操作的形式与步骤，以HPM中的数学史作为每个操作步骤中的具体探究内容，不仅便于教师使用，同时将原本枯燥、抽象的数学概念学习过程转化为紧贴历史发展实际、展现数学家生动奋斗经历、强调应用实践、符合认知规律的知识内化过程。中职数学教师还可以在该模式的基础上进行其他概念主题教学的设计与应用，推动中职生更好地学习数学概念。

参考文献

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［9］刘思璐，沈中宇，汪晓勤.HPM视角下的高中函数概念教学对学生函数概念理解的影响［J］.数学通报，2021（2）.

注：本文系厦门市中等职业学校2023年度课题“核心素养背景下APOS理论在中职数学概念教学中的应用研究”（202304）的研究成果。

作者简介：黄斌（1990— ），福建厦门人，本科，理学学士，讲师，主要研究方向为中职数学教学。

（责编 刘小瑗）