精心引导渗透方法彰显探究魅力

陆燕

【摘要】概念教学是数学教学中很重要的环节，概念教学要遵循学生建构数学概念的阶段顺序，让学生主动参与概念的生成、发展过程.本文结合APOS理论，通过课堂实践来探讨如何利用探究学习深化数学概念的教学.

【关键词】概念教学；探究学习；APOS理论

从教以来，每次到高三总复习时，笔者总发现某些学生经常会犯概念性的错误，而这些问题在高一高二已经强调多遍，追根溯源，不难发现这些学生对概念的理解并不到位，只是局限于通过反复的操练，所形成的假性的理解而已.因此，我们在新课中要利用探究学习来引导概念的生成，以促进学生真正地掌握.

“探究学习”是指学生通过主动探索，相对独立地作出科学发现或创造，包括由此而获得科学活动的实际体验和经验[1].通过探究学习，让学生在探究的过程中亲历知识的发生发展，自然类比得出概念，从而不仅把握概念的本质含义，而且体会到数学学习的意义，提升学习的积极性和创造性.

《分数指数幂》是苏教版必修1第三章第一节内容，以下笔者就结合APOS理论，用课堂实录的方式呈现部分教学片段，以期能探讨一下“探究学习”在数学课堂新授课中的应用：

杜宾斯基认为数学概念的学习需要心理建构，个体在解决感性材料中的问题时获得了数学知识.建构的过程有四个阶段：操作或活动阶段，过程阶段，对象阶段，图式阶段.

1实例探究引入，自然进入活动阶段

“活动阶段”是指学生通过一系列外显性的指令去改变数学对象的过程，它是获得数学概念的一个必要条件.许多概念的本质是内隐的，需要经过一系列外显的探究活动来获得.

PPT：考古学家按照这样的规律来推测生物所处的年代：生物体死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.

根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系：P=12t5730.

T：当生物死亡了5730，2×5730，3×5730，…年后，它体内碳14的含量P分别为原来的多少？

S：体内碳14的含量P分别为原来的12，122，123，……

T：当生物体死亡了6000年，10000年，100000年后，它体内碳14的含量P分别为原来的多少？

S：体内碳14的含量P分别为原来的1260005730，12100005730，121000005730，……

T：同学们，你们观察一下两组数据的指数可发现第一组指数为整数，而第二组呢？

S：第二组指数为分数.

T：很好，通过这个生活实例，我们发现：指数的形式不仅可以是整数，还可以是分数，为了更好地解决这类问题，我们今天将先学习分数指数幂.

设计目的：

数学的概念源于生活，充满着人类探索的情意成分，其中需要人们依赖已有的知识经验进行观察、实践、归纳、抽象、概括等人类的理性思考活动[2].数学概念本身比较抽象，而通过具体的生活例子引入，有利于让学生主动分析材料，进行探究.在探究中深刻体会到数学概念发展的必然性.而这种探究的过程促使学生主动联系知识体系中的相关概念，从而不断地完善概念体系.本节课先从问题实例探究引入，依据APOS理论，通过改变同一个实例的问题，达到引导学生发现指数的形式从以前熟悉的整数扩充到了分数，从而自然引入新概念：分数指数幂，并且为以后的指数函数的教学设下伏笔.

2类比探究引领，轻松掌控过程阶段

“过程阶段”是对外显数学活动的进一步思考过程，当学生经过多次重复活动并对其熟悉后，便会在头脑中对活动进行描述，通过一系列心理操作，抽象出概念的本质特征.

T：一般地，如果x2=a，那么x叫做a的S：平方根.T：如果x3=a，那么x叫做a的；

S：立方根.T：以此类比，一般地，如果x4=a，则x叫做a的四次方根；如果x5=a，，则x叫做a的五次根；……那么：一般地，若，则x叫做a的；

S：一般地，如果xn=a，，那么x叫做a的n次实数方根.

T：很好，同学们通过类比的数学思想方法，得到了n次实数方根的概念.那么，你会求n次实数方根吗？

PPT：

1）x2=25，则x=，即25的平方根是，

2）x4=81，则x=，即81的四次方根是，

3）x6=64，则x=，即64的六次方根是，

4）x3=27，则x=，即27的三次方根是，

5）x5=32，则x=，即32的五次方根是，

6）x3=-8，则x=，即-8的三次方根是，

7）x5=-32，则x=，即-32的五次方根是

T：（学生口答填空后）通过分析，你有何发现？能否得到一个一般性的结论？

S：当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数，n为奇数时，n次实数方根只有一个.

T：真好.你们已经会求这些数的n次实数方根了，而且还知道了要分类讨论.我们知道如果x2=25，则x=±5，即25的平方根是±5，那么将它改成x2=26呢？S：x=±26

T：对，我们发现此时必须用根式来表示它了.当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数，记为±na，n为奇数时，n次实数方根只有一个，记为na.那么0的n次实数方根呢？

S∶0的n次实数方根为0.

板书：xn指数↑↓底数=a幂↑→n为偶数时x=±na，

n为奇数时x=na.

（n：根指数，a：被开方数）

T：被开方数a有什么要求呢？S：n为奇数时，a∈R，n为偶数时，a≥0.

PPT：观察以下式子，并总结出规律：（a>0）

210=252=25=2102，

3312=3343=34=3123，

4a12=4a34=a3=a124，

5a10=5a25=a2=a105.

T：以上式子将根式转化成分数指数幂的形式，我们观察分数指数幂的指数，有何发现？

S：分数指数幂的指数刚好是

根式的被开发数的指数根指数.

T：很好.我们发现：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式，那么，当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式能表示为分数指数幂的形式吗？

PPT：利用以上的规律，你能表示下列式子吗？（a>0）

21=，32=，3211=，4315=，

5a17=

（学生回答时同步PPT显示）21=212，

32=313，3211=2113，4315=3154，5a17=a175.

T：很好.我们发现：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式.

板书：amn=nam（a>0，m，n∈N*，且n>1）

T：为什么要限制a>0？……

设计目的：

结合APOS理论，本阶段先设计了两次概念类比探究：第一次探究得到了n次实数方根的概念，再设计简单题组，让学生在求n次实数方根的过程中发现有的有两个，有的只有一个，进而利用特殊到一般的数学思想总结出n次实数方根要分奇偶讨论，最后再设计开不出的n次实数方根，从而自然得到根式的概念.而第二次探究是探究根式如何转化成分数指数幂，进而得到分数指数幂的概念.这样，通过不断重复“活动或操作”促进学生分析类比，自觉对活动进行再整合，进而通过一系列思考抽象出概念的本质特征，不仅完善了数学知识系统，而且增长了学生的数学思维能力.

3实践探究整合，精彩聚集对象阶段

“对象阶段”是给抽象出的本质特征赋予形式化的定义和符号，使其成为一个具体的对象.当学生把过程看作一个整体，并对它进行转换和操作时，过程也就凝聚成了对象.并能够将其作为一个具体的“实体”参与到其他数学问题的研究、转化或其他概念操作过程之中.经过该阶段的学习，学生对“概念”有了深刻的认识，不仅能够具体而明确地指出“概念”所具有的各种性质，同时将概念用于实施特定的数学演算之中.

PPT：例1求下列各式的值：

（1）52，3-23，5-0.15.

（2）4-24，3-π2，51-35.

（学生口答，教师板演）

T：比较一下两组题目，我们可以发现指数的位置有什么不同？

S：第一组题目的指数在根号外面，第二组题目的指数在根号里面.

T：很好，那么我们先将第一组题目的式子一般化后可写成：（na）n=，第二组题目的式子一般化后可写成：

S：（na）n=a，nan=a，n为奇数

a，n为偶数

PPT：例2求值：（1）10012；（2）823；（3）9-32；（4）181-34.（学生口答，教师板演）

T：从刚才的计算中，你能探究出此类题目的解题方法吗？

S：将底数先写成指数幂的形式，然后就可以利用分数指数幂的运算法则进行计算了.

T：那么将若干个指数幂用符号连起来，就变成以下形式，你会做吗？

PPT：823×100-12×14-3×1681-34.

设计目的：

从“概念的形成”的角度看，重要是获得数学研究对象、认识数学新对象的基本方法，蕴含了用数学的观点刻画和研究现实事物的方法和途径，这是一个带有“本源”性质的过程[3].从过程阶段螺旋上升到对象阶段的过程正是探究概念相关性质的过程，例1中两组题目代表不同的类型，通过同组，相邻组类比归纳，自然总结出根式的相关公式，而例2的运算从简单的题目入手，发现利用分数指数幂运算的妙处，即学习该新概念的用处，之后，再将它作为实体对象，去指导进行新的“活动”，即参与到更复杂的数学运算中.这样层层递进，自然引导，深化了概念的理解，更新了认识结构.

4归纳探究总结，构建完善图式阶段

“图式阶段”是与初始阶段的图式建立联系，并把这个图式纳入自身的认知结构中，逐步建立与其它概念、规则和图形的联系，进而形成系统化的概念框架，构建完善成综合心理图式.

T：同学们，你们能自己总结一下这节课的内容吗？（学生小组讨论后回答）

S：我们学习了根式的概念，n次实数方根的性质，分数指数幂的概念及有理指数幂的运算性质.

T：（结合板书）我们这节课学习了两个概念、一个性质、一个公式及一组运算性质.你能总结一下这节课用到的数学思想方法吗？S：分类讨论，转化与化归.

设计目的：

通过前三个阶段的循序渐进的引导，本节课的新概念及相关的性质等已经在学生的头脑中形成了初步的认知模型，而初始图示仅反映概念的表征，这时再引导学生进行横向、纵向比较联系，逐级总结抽象，不断完善了认知结构.因此，本节课知识点小结时利用板书稍加修改形成知识框架图，而数学思想方法的小结又让学生重新回顾了相关概念及性质的推导过程，领会并加以总结.这样，不仅加深了概念的理解，而且将新旧知识点汇聚成一个整体，从而构建了知识网络图式.

APOS理论是一种建构主义学习理论，强调概念教学要重视数学问题的社会背景，并需要围绕概念教学设计探究活动，通过探究促进学生自然思考概念与生活的联系，理解概念的本质，并在已有的知识和经验基础上建立抽象概念与相关知识间的相互统一.

总之，概念教学要遵循学生建构数学概念的阶段顺序，要让学生主动参与概念的生成、发展过程，从中体会数学源于生活而又服务于生活.而这种探究概念的过程，不仅促进了概念的理解和应用，而且能从中领会到解决数学问题的数学思想方法，进而提升了学生解决问题的能力，体现了概念的教学价值.

参考文献

[1]郑毓信，吴晓红.数学探究学习之省思[J].中学数学月刊，2005第2期.

[2]汤炳兴.在概念教学中学数学做数学用数学[J].数学教育学报，2002年11月第11卷第4期.

[3]章建跃，陶维林.概念教学必须体现概念的形成过程[J].数学通报，2010年第49卷第1期.