基于APOS理论的数学概念教学

于红燕

【摘要】数学概念的学习在数学学习中至关重要，数学概念获得的两种方式各有其优缺点.美国数学家杜宾斯基等人结合概念获得方式的优点和数学概念形成的思维过程，提出了基于APOS的数学概念教学理论.本文探讨APOS理论四个阶段的具体操作，并结合实践提出数学概念教学的若干操作性建议和一点思考.

【关键词】概念教学；APOS理论；教学设计

一、关于概念教学

大量教学实践表明，学生在解决数学问题时容易出错或没有思路，其主要原因在于学生对数学概念理解不够深入，而高中数学内容里大量的公式、定理、推论、结论等都是以数学概念为基础的.因此，教师要特别重视高中数学教学的核心——概念教学.

数学概念反映着事物本质属性的思维形式，是一类内在的、固有的属性，而不是表面的属性.学生学习数学概念意味着学习掌握一类事物共同的本质属性，即能够辨别概念的本质属性和非本质的属性，能够概括出其定义，能够给出概念的肯定和否定例证，能由抽象到具体.从心理学上说，概念的获得有两种基本形式，即概念的形成和概念的同化，其中概念的形成在我们生活中使用较广，对思维过程尤为重要.

美国数学家杜宾斯基等人，提出数学概念学习的APOS理论，这一理论既注重学生的直接经验，又注重学生的心理建构，对数学概念的教学设计有着积极作用.

二、对APOS理论四阶段的理解

（一）活动阶段

学生通过自己操作体验建立直观感受和抽象概念之间的联系，教师利用学生熟悉的生活实例创设情境，让学生通过观察、讨论、实验、分析得出实例之间的共同特征，从教学活动中思考问题，经历从生活中抽象数学概念，认识到“数学来自于生活”.

（二）过程阶段

學生在头脑中对之前活动进行反思，获得概念的认识，认识事物的属性特征，对认知到的事物的属性特征进行反思、提炼、内化，得出概念的名称和符号的书写，使学生在头脑中形成初步严谨的数学概念.

（三）对象阶段

学生得到抽象的概念后，教师要从概念的辨析、正例、反例及概念的不同形式出发设计问题，教师引导学生充分理解概念的实质、内涵和外延，使概念更加精确化，成为一个具体的对象，这样学生对概念有了理性的认识.

（四）图式阶段

通过活动阶段、过程阶段、对象阶段，学生对概念有了深刻的认识，教师通过设置例题、习题，让学生从具体解题中体会、挖掘这一概念与其他概念的深层次关系，进一步体会概念的实质，从内在的特征认识概念，使学生在头脑中形成概念的清晰的图式.

三、反思与探讨

（一）创新数学活动，为概念学习提供活动经验

在概念教学中，许多教师一般按照教科书的编排，直接告诉学生数学概念，直接授予学生形式化、符号化的定义，很少考虑学生的认知能力与学生的思维规律.不利于学生对概念的理解和掌握.APOS理论则强调在学习抽象概念前的活动经验的准备与积累，将教材编排的内容看成教学素材，是教学的依据，创造性地使用教材，对教材进行合理的加工处理，结合学生的思维特点设计恰当的数学活动，创设一定的活动情境，让学生积极探索、自主思考，在数学活动中感悟，在体验和感悟中建构概念，为深刻地理解概念积累活动经验.

（二）留有充足时间，为概念的抽象提供时间保证

APOS理论强调概念的学习是一个螺旋式上升的过程，从活动阶段到过程阶段，需要学生提炼出活动中的问题，在大脑中反思和抽象，这个过程在短时间内很难完成.因此，在概念教学时，教师不能只是赶进度，催促学生抽象概念或者直接说出概念，而让教学活动流于形式.与此相反，教师要给学生留足活动时间，让学生反思，回味活动过程，多次尝试抽象数学概念，教师通过问题启发引导学生，帮助学生实现从具体上升到抽象.

（三）兼顾正例反例，为图式的形成做好铺垫

图式这个词源于心理学，它是一种广义的概念，是认知活动的基本构件，是经过组织的知识，其形成是一个复杂的过程，是学生的一种动态的建构和再建构活动，通常学生最初形成的图式是比较泛化的，需要安排一定的活动来促进图式的形成.有研究表明，促进图式形成的关键是选择和安排好图式的正例，而促进图式改进的关键是选择和安排好图式的反例.由此，教师在概念教学时常常用正例和反例来加强学生对于数学概念的理解.

（四）认识学习过程，为概念教学确立相应策略

在APOS理论中，四个阶段是循序渐进、螺旋式上升的过程.教师在概念教学中，按照“A—P—O—S”这个顺序去研究学生学习的方式和规律，分析学生对概念心理建构的程度以及学生在学习过程中在哪个阶段出现了困难，设计出相应的教学策略，从而使学生对数学概念的实质得到深刻认识.

（五）值得探讨的问题

APOS理论提出了一个学习数学概念的连续的过程.教师在进行概念教学时，四个阶段分得不是很开，是不是有时候未必完全按照APOS理论线性地单向进行？在活动阶段到过程阶段要留给学生充足的时间，高中数学教学课时有限，如何把握时间这个度？APOS理论是基于建构主义理论而提出的，那么是不是所有的数学概念都需要建构？

许多从事高中数学教学的教师都清楚，数学概念教学是数学教学中的难点，而APOS理论可以给予很好的指导.APOS理论结合数学学科本身特点、心理学、教育学理论，将数学概念的教学分为四个阶段，使学生在参与数学活动的过程中产生内心的体验和创造，达到认识数学概念思想和本质的目的.

【参考文献】

[1]徐晓燕.基于APOS理论下的概念教学设计——以“平面直角坐标系”的教学为例[J].中国数学教育（初中版），2011（11）：21-22.

[2]罗新兵，王光生.中学数学教材研究与教学设计[M].西安：陕西师范大学出版社，2011（5）：120-121.