在运用中理解概念意义

周秋月

摘 要：数学概念教学除了借助适宜的教学方式（如对比、变式等）帮助学生逐步理解概念的内涵和外延外，还可以结合学生的已有知识设计针对性的练习，让学生基于对概念的初步理解，在比较、辨析和交流的过程中，对概念有多角度的认识，实现对概念的深刻把握和全面理解，建构完备的数学知识体系。《百分数的意义和读写》一课教学，设计了具有针对性、信息多元的问题，带领学生在运用知识经验中实现概念的内化，在运用生活经验中实现概念的延伸，在运用问题辨析中实现概念的建构。

关键词：小学数学；概念教学；数学理解；《百分数的意义和读写》

概念教学是数学教学的重要内容，是数学判断、逻辑推理、问题解决的基础。可以说，整个数学知识体系是建立在数学概念基础之上的，其学习的效果不仅关系到学生对数学知识的获取和理解，而且关系到分析问题和解决问题能力的提高。［1］数学概念教学除了借助适宜的教学方式（如对比、变式等）帮助学生逐步理解概念的内涵和外延外，还可以结合学生的已有知识设计针对性的练习，让学生基于对概念的初步理解，在比较、辨析和交流的过程中，对概念有多角度的认识，实现对概念的深刻把握和全面理解，建构完备的数学知识体系。同时，可以在概念的建构中，使学生形成多层次的活动经验系统，培养学生思维的灵活性和思考问题的深刻性。基于以上认识和思考，执教苏教版小学数学六年级上册《百分数的意义和读写》一课时，笔者设计了具有针对性、信息多元的问题，带领学生在运用中实现对概念意义的深刻理解。

一、教学過程

【片段1】

师 （出示习题，见图1）请同学们自由选择合适的答案回答相应的题目。你想先回答哪一道题？

将21%、48%、100%、125%、47100填入下面的括号中。

（1）国庆黄金周期间，张家界等旅游胜地的客房出租率高达（ ）。

（2）研究表明，空气中氧气含量大约占（ ）。

（3）一堆煤重（ ）吨，运走了它的（ ）。

（4）小明家2020年下半年的收入是2020年上半年的（ ）。

生 我想先填第（2）题。

师 为什么？

生 我在科学课上学过这个知识。研究表明，空气中氧气含量大约占21%。

师 大家同意吗？老师这里准备了一张空气成分统计图，（出示图2）“空气中氧气含量大约占21%”，完全正确。你知道这里的21%是什么意思吗？

（学生回答。）

师 再仔细看看这幅空气成分统计图，你估计稀有气体约占百分之几？

生 稀有气体约占1%。

师 你的量感真不错！那氮气呢？你是怎么想的？

生 一共是100%，100%-1%-21%=78%。

师 你可真厉害！已经理解了100%的意思，并且能借助它解决新问题了。

［说明：教师要让学生站在课堂的中央。开放的情境中，学生选择自己知晓的问题，作为首先解决的对象。“21%”这个百分数虽然是学生“记忆”中的百分数，但也显现了百分数在实际生活中的应用。教师机动地出示空气成分统计图，通过追问引领学生应用百分数的意义去解决实际问题，加深了不同学科知识之间的联系，也强调了数学学习的应用价值。］

【片段2】

生 我选择第（1）题。国庆黄金周期间，张家界等旅游胜地的客房出租率高达100%。

师 为什么选100%。

生 因为是国庆期间，这句话里又强调“高达”，其他数据都太小了，所以我选100%。

师 其他数据都太小了？那你为什么不选125%？

生 最多只能选100%，这说明所有客房全部租出，不可能再有多余的房间了。125%超过100%，在这里是不合适的。

师 是啊，当百分数表示总体和部分的关系时，不能超过100％。看来你们已经理解这里的100%的意义了。老师这里收集了各个季度的租房率，（出示下页图3）请看这张统计图，你能从中看到什么信息？（学生回答。）

师 同学们的眼睛真亮，发现了这么多信息！

……

生 我想填第（4）题，小明家2020年下半年的收入是2020年上半年的125%。

师 你是怎么想的？

生 刚刚老师说当百分数表示总体和部分的关系时，不能超过100％。这里是单独两个量之间的关系，可以超过100％，说明小明家的收入下半年比上半年多。

师 很有道理！看来这里填125%是合理的。还有同学也想来说说这道题吗？

生 我觉得这里填100%也是可以的，下半年收入和上半年一样多。我妈妈都是按月拿工资，上半年和下半年的收入就是差不多的。

师 100%，说明一样多，大家觉得有道理吗？

（部分学生表示赞同，也有学生继续举手。）

生 100%是可以的，但是这样的话，我觉得48%也能选。

师 说说你的想法。

生 上半年的收入不一定就比下半年少，也有可能高于下半年。

［说明：百分数既能表示总体和部分的关系，又能表示单独两个量之间的关系。通过生活中的例子，同样的情境、不同的数据，让学生感受到百分数背后不同的现实意义。开放的问题形式，具有思维意味和挑战性的问题，每个答案、每个判断的提出，都展示了学生乐于参与问题思考、解答和回应的学习质态，同时也呈现了学生对百分数的认识和理解。］

【片段3】

师 最后还剩一个问题，请你来说一说，你是怎么填的？

生 一堆煤重47100吨，运走了它的48%。

生 一堆煤重48%吨，运走了它的47100。

师 看来这里有争议，后面一空填48%可以吗？47100呢？那前面一空呢？

（学生讨论。）

师 分数可以表示数量和分率，百分数只能表示分率，反映两个量之间的一种关系，所以百分数也叫作百分率或者百分比。那我们再来看一看这个问题。（出示：23100米相当于46100米的50100）这里，哪些分数可以用百分数表示？表示什么意思？

……

［说明：分数既可以作为单独的数量出现，也可以表示两个数或者数量之间的倍比关系，故而百分数隶属于分数。在学生讨论清楚原题中前后两空分别可以如何填写后，紧接着提出“哪些分数可以用百分数表示”的问题，对比分数和百分数的内涵，让学生感受到要依据“数的意义和关系”来解决问题。］

二、教学反思

本节课，立足学生的数学现实，设计了内涵丰富、具有指向的习题，让学生在分析、辨别、交流等活动中，明确数学概念的本质与内涵，实现对数学概念的深刻理解。在帮助学生建构数学概念方面，对上述问题的处理，呈现了这样几个特点。

（一）运用知识经验实现概念的內化

学生并不是一张白纸。学生在学习中会积累一定的数学知识经验，很多内容在他们的头脑中已经有了初步的印象，这些知识经验都是学生判断问题、理解概念的基础。

片段1中，学生借助科学课上学到的知识作出了正确的判断，实现了百分数的应用。在判断和应用的过程中，学生对“21%”的理解不再是科学课上的模糊印象，而是借助百分数的意义做了内涵的界定（表述了21%的意义）——学生“知选择也知为何选择”。而且，结合形象的成分统计图，学生直观地感受到各种成分与整个空气的关系，在问题判断和解决中内化了百分数的意义。在这一过程中，教师有意识地融合其他学科知识，打通不同学科知识之间的联系，促使学生在已有知识经验的基础上进行延伸，加深对数学概念的认识。

（二）运用生活经验实现概念的延伸

学生的已有生活经验是珍贵的资源，在教学中，调动学生的已有生活经验，可促进其数学知识的生长，延伸概念的面貌。经验来源于实践，是人从已发生的事件中获取的信息。找到学生的已有生活经验，才能抓住其学习新知、解决问题时思维的起点，从而延伸概念。

片段2中，学生根据对“高达”的已有经验，生发了选择“较大”百分数的认识，进而选择了“100%”这个特殊的百分数来表示旅游旺季客房出租率的问题，体现了对概念的理解和应用。学生根据教师强调的“百分数表示总体和部分的关系，不能超过100％”的直接经验，就超过或等于100%等不同情况，对小明家下半年和上半年收入情况做了间接而正确的判断。同时，数学关联生活，借助生活经验选择和判断的过程，从生活中来，到生活中去，是学生运用生活经验解决问题的过程，也是学生理解百分数意义的过程。在这一过程中，教师以学生的生活经验为主，适当制造“冲突”，引导学生主动思考，加深对概念的理解。

（三）运用问题辨析实现概念的建构

理不“辨”不明，理解数学概念和建构知识体系也需要有辨别的过程。设置辨析数学概念教学环节，能够让学生认识概念之间的区别和联系，感受概念的内涵和外延，实现概念的完整建构。

片段3中的两个数学问题，学生需要根据分数和百分数的作用来确定答案。学生根据分数既可以表示大小也可以表示关系，而百分数是只能表示倍数关系的特殊分数的认识，感受到百分数由于其意义的内容，经常受到限制的原因。然后，结合问题表达的需要，讨论后形成了先确定百分数再确定分数的认识。并且，在链接问题的解决中，学生不仅认识到分数和百分数的意义，还深刻地感受到两者的区别，从而有效地建构了分数和百分数的数学概念。这里，教师顺应认知规律，在辨析中架起认知的桥梁，打通新旧知识之间的联系，让学生的思维真正地动起来，让学生对概念的认知不再是片面的、孤立的，而是从整体上把握，架构起完整的知识关联，真正实现概念的建构。

参考文献：

［1］ 曹才翰，章建跃.数学教育心理学［M］.北京：北京师范大学出版社，1999：83-88.