课堂对话，促进学生数学理解

孙金山

摘 要：“数学课堂对话是教学参与者与教学相关的内容，主要用数学语言交流学习认识、展示思考过程、促进相互理解、分享探究收获、传播数学文化的一种交际活动……数学理解的形成条件是自主活动。”以“课堂对话”为手段，以促进学生的“数学理解”为目的，教师设计了《平面向量的分解定理》（以下简称“定理”）的教学，就“课堂对话”在课堂中如何促进学生定理的数学理解进行总结和反思。

关键词：课堂对话；课堂教学；数学理解

一、教师与学生对话，发现学生定理学习起点，确定定理教学途径，促进学生理解

教师要先知道学生目前的位置，即熟悉学生的起点行为后，明了教学目标，再以有效的教学原则和方法，带领学生到达目的地，才能达到有效教学。教材中直接以向量的坐标表示——向量的正交分解为引，提出将基本单位向量一般化的问题，从特殊到一般推广数学命题的思路值得实践。而学生对向量的正交分解的理解是否具有教材期望的水平是个问题。事实上部分教师也不清楚教材中是不是有向量正交分解的概念。另一方面，物理中关于向量的合成与分解的学习先于数学，且是章节重点。于是教师设计了力的分解的实例滑滑梯作为引例，此引例可以通过平行四边形法则对重力直接进行分解，也可以对支持力和摩擦力进行正交分解。在师生的问答解决实例的过程中，教师发现学生能熟练的运用平行四边形法则对力进行分解，但是不能说出“正交分解”的概念来。于是教师知道学生虽然会用坐标表示向量，但并没有体会到坐标系中基本单位向量的意义，没有理解为什么可以用坐标表示向量。

在后续定理分析时一定要清晰地建立新旧知识的联系，改善学生

对坐标系本质的理解，促进学生定理的数学理解。

二、学生与学生对话，相互启发，经历新知发现过程，促进学生多角度理解新知

“学习知识的最好方式就是自己去发现它。”引导学生“发现”需要教师设置适当的问题，最终“向量分解的过程中依据的是平行四边形法则，那么向量分解的结果呈现怎样的规律性？需要什么样的条件呢？”替换了最初的“任意一个向量都能用给定的两个不平行的向量表示吗？”用一个开放性问题替换了原来封闭型问题，给学生思考的空间，经历小组讨论交流不同猜想的过程：

A组：条件是是非零向量，结论是

B组：条件中要不平行，结论一样的。

C组：可以是零向量。

在学生发表小组猜想的时候教师的追问实际是鼓励学生深入思考：“基向量为什么一定要不平行？”“是否成立？”这些问题可能是小组讨论过且有结论的，不同学生的解释能够帮助同学多一种理解的角度，在猜想不断完善修正的过程中，能够促进学生对定理本质全面、多角度的理解。定理唯一性的证明是本节课的难点，虽然只有部分学生能够真正地理解证明的过程，但是联系已有知

识解释说明的过程，能够让学生充分体会数学结构体系的逻辑性

和严谨性，有助于学生体会数学的思维方式和方法、经历数学家思考问题的过程，不断地加深学生对定理本质的理解。

三、学生与文本对话，阅读教材，使学生理解的定理上升到抽象水平

著名教育家苏霍姆林斯基在《给教师的建议》中指出：阅读是对学生进行智育的重要手段。阅读是学习的基础，多读能提高理解能力。指导学生阅读数学教材，对培养学生的学习能力和学习习惯，使他们能逐步地独立获取知识具有重要作用。数学语言的三种形式图形、文字、符号能准确、简练、严谨地表达数学概念。能够通过阅读文本获得对定理的抽象认识，是数学理解的有效途径。定理引入教学的关键是建立感性经验与抽象概念之间的联系。可是由于数学概念的本质是抽象的，因此，在教学的适当阶段还应尽可能地摆脱具体或直观的背景，使概念上升到抽象水平。因此，通过阅读教材，可以使学生对比精准的数学语言与自己头脑中的描述之间的差异，在概念形成的过程中矫正偏差，将对定理的认识上升到新的水平。

四、学生与自己对话，理清知识脉络，内化新知

定理的应用（例1.已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，设，试用基分别表示和。）是促进学生定理理解的重要途径，数学理解的形成必须依靠学生自主的活动。教师设计了变式训练，目的是突出定理的本质属性，促进学生理解新知本质。学生独立解题，在熟悉定理条件和结论的同时，希望能够初步体会到“平面向量分解定理”的化归思想。变式1（选择不同的基表示）开放性问题，意图是让学生体会到“基”选择的任意性，同时能够矫正部分学生对“基”理解的偏差。变式2（若点M不是线段BD的中点，，试用基表示AM）希望学生获得两种解题思路，一种是熟悉的向量合成的角度：。另一种是从向量分解的角度：，利用三角形相似比得到定理中λ，μ的值。拓宽用“基”表示平面上的任意向量的思路。但是教师需要点明定理的本质是可以用“基”表示任意向量，至于表示的过程是向量的合成或分解不是定理的重点，也能解除学生的疑

惑：“不学定理我们也会做这样的题目啊，为什么要学习定理？”定理的学习不在于提供一种解题方法，而是一个理论依据，在解题之前，解题者根据定理就可以知道一定可以用基表示所求的向量，可以说是运筹帷幄。变式3（若点M不是线段BD的中点，。）可以说是对原题和变式2的一般性推广，期望学生能够体会到从特殊到一般的数学解题策略，进一步在非本质属性的变化中体会定理的本质：化归。

课堂是教师教学的主阵地，提高课堂教学效率是教师“战斗”的目标。通过课堂对话的多种形式，把握学生的即时学习效果，激发学生不断地深入思考，引导学生内化新知，促进学生多角度、多层次、更好地理解数学概念提供一种模式。教师还将在丰富教学资源、改善对话策略、技术的辅助等方面多尝试和反思，以便提高课堂效率，促进数学理解。

参考文献：

苏霍姆林斯基.给教师的建议[M].杜殿坤，译.教育科学出版社，1984-06.

编辑 温雪莲