例谈小学数学教学中“图”的使用

周琳

摘 要：儿童以具体形象思维为主，因此，儿童的数学学习离不开“图”（图形、图像等）的帮助。小学数学教学中，教师要注意利用贴近生活的情境图、表示事物的示意图、表征数量的几何意义图、表征空间形式的几何图、梳理内容关系的思维导图等“图”来引导学生学习。

关键词：小学数学；情境图；示意图；几何意义图；几何图

儿童以具体形象思维为主，因此，儿童的数学学习离不开“图”（图形、图像等）的帮助。小学数学教学中，教师要充分利用“图”来引导学生学习。具体来说，要注意以下几类“图”的使用。

一、贴近生活的情境图的使用

这里的情境，包括有“物（人）”有“事”的复杂情境与有“物（人）”无“事”的简单情境。情境图贴近生活，贴近数学的源头，可以把抽象枯燥的数学内容变得生动有趣，帮助学生形成用数学的眼光观察现实世界的意识。现行各版小学数学教材，都在新授例题和巩固练习中加入了大量的情境图。教学中，教师可以直接出示情境图（包括但不限于教材中的图），引导学生提取生活经验或开展实践活动，进而发现数学知识、解决数学问题。

例如，对于“满10进1”“退1作10”的算理，可以通过小棒图和计数器图（如图1所示）这样的简单情境图来帮助学生理解，并从中抽象出数位，发展出相同数位对齐的竖式计算方法。

再如，在图形概念的教学中，可以出示学生熟悉的实物的图片，引导学生抽象出长方形、平行四边形、三角形、圆等平面图形，以及长方体、圆柱、球等立体图形。

二、表示事物的示意图的使用

示意图是情境图的简化。现实情境中的事物可以用示意图表征，如用一个点（或圆圈、方框、三角等）代表一个事物，用两点之间的连线代表两个事物之间的关系。由此，可以方便地发现事物的数量属性及其关系。［1］教学中，教师可以引导学生根据非图形语言表述的事物画出示意图，从而理解数学意义，解决数学问题。

比如，教学一年级的“比多少”内容时，教师引导学生根据语言描述画出表征实物的示意图（如图2所示），从而方便地看出谁比谁多几或谁比谁少几。如果学生一下子看不出，还可以进一步引导学生连一连表征实物的示意图（使其一一对应），标注同样多的部分以及多的部分或少的部分（如图3所示）。

当然，其逆向问题“已知谁比谁多几或谁比谁少几，以及一方有多少，求另一方有多少”，也可以画出示意图来解决（如图4所示）。再发散一下，还可以解决“一方给另一方多少后两方一样多”的问题（如图5所示）。

再如，对于常见的“8行8列的方阵最外圈有多少人”的问题，学生如果不画图，而凭直觉或想象，很有可能得出“8×4=32（人）”的答案。对此，教师可以让学生画示意图，并思考“是不是一定要把8行8列的人全画出来”。学生能想到可以用一个圆圈代表一个人，且只要画出“方阵最外圈的人”（他们排列在一个正方形的四条边上）。在画示意图（如图6所示）的过程中，学生发现，只有第一条边要画8个点，与其相邻的两条边只要再画7个点（否则就不是正方形），而最后一条边只要再画6个点。由此，得出最外圈有28人。

这时，教师可以追问：为什么比最初的32人少了4人？引导學生在画出的示意图上圈出每边的8人（如图7所示），并发现原因：四个角上的人都被算了2次，要把多算的一次去掉，所以是32-4=28（人）。由此，学生发现了解决该问题的关键，对该问题中数量关系的理解更加深入。

此外，对于没有现实情境的纯数量关系（计算）问题，如“从1开始的连续奇数求和”问题，也可以引导学生通过画示意图来解决。

三、表征数量的几何意义图的使用

几何意义图是示意图的进一步抽象（数学化）。现实情境中事物的数量属性、抽象之后数学情境中的数，可以用几何意义，如线段的长度、平面图形的面积或立体图形的体积等（即相应几何量计量单位的个数），直线、平面或空间中的点（即基于某一“标准”的几何位置，与“标准”构成一定的几何量关系）来表征。由此，很容易发现数量关系以及运算结果。［2］

这类图形中最常见的是通过线段的长度表征数量的线段图。通常来说，比较小的整数（离散）数量，既可用示意图表征，又可用线段图表征。比如，上述“一方给另一方多少后两方一样多”的问题，也可用线段图来表示（如图8所示）。再如，上述“8行8列的方阵最外圈有多少人”的问题，也可用线段图来表示（如图9所示）。

对于比较大的或非整数（连续）数量，常常只能用线段图表征。特别是对于一些数量关系复杂的问题（如相遇问题、追及问题），还要用线段图清晰地表示出数量变化（数量关系形成）的过程。比如“两次相遇问题”：甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，他们分别到达B、A两地后都立即返回，已知第一次相遇处离A地680米，第二次相遇处离B地340米，则A、B两地相距多少米？这类问题没有给出速度和时间，常让学生不知所措，完全没有思路。对此，可以引导学生耐心地阅读题题目条件，仔细地利用线段图画出甲、乙两人的行走路径，得到图10（为了表意清晰，用虚线、实线来区别甲、乙两人的行走路径；由于一开始不能确定谁走得快、谁走得慢，可以先作假设，再根据画出的图来调整）。从图中不难看出：第一次相遇时，甲、乙合走了一个全程，甲走了680米；第二次相遇时，甲、乙合走了三个全程（这是“两次相遇问题”的普遍规律），甲走了一个全程加340米。进一步分析数量关系可知，因为速度恒定，所以甲、乙合走三个全程的时间是合走一个全程的时间的3倍，所以第二次相遇时甲走的路程是第一次相遇时甲走的路程的3倍，即680×3=2040（米）——这里抓住了时间这个联系甲、乙的共同量。由此，便豁然开朗：AB的距离就是甲走的路程减去340米，即2040-340=1800（米）。

此外，通过图形的面积表征数量的方形图、圆形图等，也比较常见，尤其是在表征分数时（如图11所示）。

四、表征空间形式的几何图的使用

现实情境中事物的空间形式可以直接抽象为几何图。由此，更容易研究其中的数量关系。［3］这里的几何图是一种特殊的情境图，即由情境图抽象得到的图；也是一种特殊的几何意义图，即不是数量中有几何意义，而是几何中有数量意义。对几何图，主要是研究其中的数量关系。教学中，教师特别要引导学生注意这类图的割补变化。这是教学的难点所在。

比如求不规则图形面积的问题：求图12所示图形的面积。对此，可以引导学生通过分割转化为规则图形来求面积（如图13、图14所示），或者通过拼补转化为规则图形来求面积（如图15所示）。

再如平面图形变化的问题：把边长为5米的正方形的每条边都延长2米，求增加部分的面积。对此，学生容易画出如图16所示的错误图形。教师可以引导学生回看题目条件，检查所画图形，发现这样画把边长为5米的正方形每条边都向两个方向各延长了2米，一共延长了4米。由此，学生不难发现正确的画法：向一个方向各延长2米（如图17所示）或向两个方向各延长1米（如图18所示）。

五、梳理内容关系的思维导图的使用

思维导图（树型图），是围绕一个中心内容向外发散，运用图文并重的方式，把零碎、散乱的内容有层次、有条理地联结在一起形成的富有个性的网络图，是一种基于事物之间联系进行的“再创造”。小学生对事物（尤其是知识）联系的认识还不够，绘制思维导图时需要教师的示范和引导。

在小学低年段，思维导图更多地应用于抽象数学知识的生动理解，可以引导学生结合生活经验展开联想和想象。在小学中高年段，思维导图较多地应用于单元数学知识的系统整理（如图19所示），可以引导学生抓住知识关系展开联想和分析。

需要说明的是，本文重点梳理了小学数学教学中常用的几类图，从现实与抽象、数量与空间、知识点与知识体系等多个角度考虑，并不是同一维度的图形分类。

参考文献：

［1］［2］［3］ 程茂山.也谈几何直观的培养［J］.教育研究与评论（小学教育教学），2022（9）：70，70，71.