千古绝技:中国古代几何中的“割圆术”

2023-11-16张维忠唐慧荣

中学数学月刊 2023年11期

张维忠唐慧荣

(浙江师范大学教育学院 321004)

对于圆周率,大家都很熟悉,我们一般用希腊字母π来表示它．回顾数学发展史,可以说,这个简单的希腊字母见证了人类数学文明的发展,它甚至一度作为一个国家数学水平发展的重要标志,无数国内外数学家都曾孜孜不倦地对其展开过研究．其中,我国的“割圆术”便是与之相关的一种伟大算法,它所包含的数学思想方法在数学的历史进程中穿针引线,曾掀起过狂潮巨浪．魏晋时期数学家刘徽的“徽率”和南北朝时期数学家祖冲之的“祖率”都是采用这一方法来研究圆周率的．那么,割圆术到底有什么神奇之处呢?

1 割圆术的产生

1.1 中国有关圆周率的最早记载——古率

在我国,有关圆周率的描述最早记载于2 000多年前的《周髀算经》．《周髀算经》中有术文曰“圆周径一而周三”,即“直径与周长的比为1∶3”．根据圆周率的概念“圆周率是圆的周长与直径的比值”,可以推测出那时的人们认为圆周率的值是3．再后来,人们就把“径一而周三”称为“古率”,西汉时期的数学著作《九章算术》就有使用古率解决相关问题的记载．

古率是古人通过实物测量再计算而得到的估算结果．除了我国古代,π=3这个数值也一直被古埃及、古巴比伦、古印度等国家长期使用着．显然,当古人将古率运用于生活和生产时能够感知到它是比较粗略的．但在那时,圆周率具体多少不得而知,他们只是记录了“圆径一而周三有余”．

跟目前已知的圆周率相比,古率的精确程度是如此之低,那它还有存在的价值吗?让我们回望历史,想象一下古人是如何在广袤无垠的未知世界里对数学进行探索的．当时的计算条件简陋,数学家们只能通过实验直观或者生活经验对数学进行研究,但这并未阻止他们打开一扇思考的大门,去奋力追寻文化的更替和文明的觉醒．

1.2 千古绝技割圆术的出现

我国历史上圆周率的科学计算是从魏晋时期的数学家刘徽创立割圆术开始的．割圆术,顾名思义,就是分割圆形的方法．刘徽在为《九章算术》 (图1)方田章中的圆田术作批注时,大胆地提出了这一方法,这才将圆周率的研究从经验算法推向了科学的几何方法．

图1

这是数学史上一个十分伟大的跨越．刘徽作为中国数学史上第一位用科学的方法推算圆周率的数学家,为中国数学在对圆周率的研究上处于世界前列水平打下了基础．但不要以为割圆术的产生就是为了求圆周率!这是很多人的一个误解．实际上,它是刘徽为了证明圆的面积计算方法而想出的办法．

图2

圆的周长是围成圆的曲线的长度,而曲线的测量难度很大,在出现割圆术以前,人们会先在圆内画出该圆的内接正六边形和正十二边形,再将圆内接正六边形的周长当作圆周长L,用圆内接正十二边形的面积当作圆面积S进行计算,最后再利用出入相补的原理将这个内接正十二边形拼补成大长方形,以正六边形周长的一半作为长,以圆半径作为宽来推理圆的面积．

但刘徽认为此证明过程是极不严格的,利用π=3这一数值算得的结果不是圆面积,而是圆内接正十二边形的面积,误差甚大．于是他独辟蹊径,大胆提出了割圆术,大大提高了计算的精确度,凭一己之力改变了人们对圆周率的研究方向．

1.3 刘徽与割圆术

古代的石头加工在没有机器的支持下只能靠着石匠一点点打磨．一次,刘徽看到了石匠在打磨石头,他非常好奇．一块长方体的石头,在师傅的打磨下,先去掉四个角,变成了八边形的石头(图3),再去掉八个角,又变成了十六边形的石头(图4)．最后,随着石匠的打磨,长方体的石头就变成了一个圆柱．

图3 图4

历史上是这样记载割圆术的:“以六觚之一面乘半径,因而三之,得十二觚之幂．若又割之,次以十二觚之一面乘半径,因而六之,则得二十四觚之幂．”其中,“觚”指正多边形,“面”指正多边形的边,“幂”指正多边形的面积．简单地说,就是在圆内先作一个内接正六边形,再作出圆的内接正十二边形,以同样的方法继续作圆的内接正二十四边形、正四十八边形等．随着所作图形的边数增多,圆的面积与正多边形的面积差减少．想象一下,不断增加圆内接正多边形的边数,当圆内接正多边形的边数无限增加时,正多边形就无限接近于圆的大小(图5)．这正好对应了刘徽对于割圆术的描述:“割之弥细,所失弥少．割之又割,以至于不可割,则与圆周合体,而无所失矣．”[1]

图5

像上面这样将圆进行分割以后,刘徽又是怎么计算的呢?我们先从简单的内接正六边形开始对割圆术的原理进行简单分析．总体可以分为以下三个步骤:

第一步:均分六边形．将内接正六边形均分成六等份,如图6,△ABO是均分后的其中一份．由图可知,若把S△AOB当作S扇AOB,那圆的面积就会缺失一大部分．

图6

像这样,从内接正六边形的面积算起,到正十二边形,再依此类推到正二十四边形、正四十八边形、正九十六边形等面积,随着分割的边数越多,计算出的圆面积就越准确了．

2 走进割圆术

2.1 割圆术与徽率

割圆术最初是刘徽为了计算圆面积而发明的,圆周率只是其研究过程中的一个“副产品”．他是如何利用割圆术找到当时世界上最精确的圆周率的呢?

根据圆周率的概念,将圆近似地看成一个正十二边形,那么就可以计算正十二边形周长与直径的比值或者计算正十二边形面积与半径平方的比值来求出π的值．

首先作图．画出半径为1的⊙O,在其中依次画出⊙O的内接正六边形和内接十二边形(图7)．根据正六边形的图形特点,可知△AOB为等边三角形,OC是AB的垂直平分线,OE是CB的垂直平分线．因为AB是正六边形的一条边,又半径AO=1,所以AB=AO=1,AD=0．5．因为△AOD为直角三角形,所以DO2=AO2-AD2,所以DO≈0．866,DC=OC-DO≈0．134．又因为△ACD为直角三角形,所以AC2=DC2+AD2,即AC2≈0．018+0．25=0．268,所以AC≈0．517 7,即正十二边形周长=12AC≈12×0．517 7=6．212 4．那么π等于正十二边形周长与直径的比值,即π≈6．212 4÷2=3．106 2．

图7

除了以上这样通过计算周长来算π,还可以把S圆近似地计算为S正十二边形来求π．可知S△AOC=S△AOD+S△ADC,即S△AOC≈0．216 5+0．033 5=0.25,S正十二边形=12S△AOC≈12×0．25=3．把S正十二边形近似认为S圆来计算π值,那么π等于S正十二边形与半径平方的比值,即π=3÷12=3．

我们通过圆内接正十二边形的周长和面积计算出了π的两个近似值．透过这个例子,应该对利用割圆术求圆周率的方法有了更深刻的理解．

现在回到1 700年前,已经读懂割圆术的你是否能帮助古人计算出更精确的圆周率呢?请你用计算器,借助古人智慧尝试计算圆内接正24边形的相关内容算出π的近似值(表1,保留八位小数)．

表1 不同的内接多边形计算π值对比

计算还顺利吗?数学的探究从来不是一蹴而就的,刘徽凭着一腔热爱,最后竟然算到了圆内接正192边形的面积．同时,他在解决问题的过程中发现误差总是存在,因此他继续思考,总结出了“刘徽不等式”,找到了S圆的上限．观察图8可知,S圆>6SACBO,S圆<6SAECFBO．同理,假设正n边形的图形面积为Sn,正2n边形的图形面积为S2n,便有S2n

图8

图9

在这个过程中,除了能看到刘徽对数学的热爱,还可以明显看到他超前的数学思想方法．他对圆进行了直观的无穷分割(图5),这个过程蕴含着“割之又割,以至于不可割”的极限思想．另外,从我们前面对割圆术和徽率的探究过程来看,这一方法具有很强的可操作性和直观性．

2.2 割圆术与祖率

到了南北朝时期,祖冲之和他的儿子祖暅继承了刘徽的思想,取直径为一丈的圆进行割圆,直至圆内接正24 576边形,计算得到了圆周率数值范围在3．141 592 6与3．141 592 7之间.他们首次将圆周率精确到小数点后第七位,这是当时世界上最精确的记录．而在1 100多年后的1593年,法国数学家韦达(François Viète)才计算到了这里．或许是留下痕迹远比创造历史更难,记录这个算法的《缀术》一书已经失传了．后人在研究史料的时候对这个精密的算法感到佩服的同时又多了一份好奇,但我们只能根据当时的文明发展来进行推测．

随着时间轴的推移,越来越多的数学家在刘徽的几何算法基础上计算出了更为精确的圆周率近似值．目前为止,刘徽的《九章算术注》已经成为世界科学名著．在2021年,为了纪念刘徽,国际天文学联合会在为中国嫦娥五号降落地点附近的月球地貌命名时,将刘徽(Liu Hui)作为其中的地貌地名之一．

2.3 中考与高考里的割圆术

数学文化一直是各地区中考和高考的热门话题,割圆术就是近年来频繁出现的题材．

(1)(2019年湖北中考题)刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家,他在《九章算术注》中提出了“割圆术”,利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积,如图10,若用圆的内接正十二边形的面积S1来近似估计⊙O的面积S,设⊙O的半径为1,则S-S1=．(答案:π-3)

图10 图11

(答案:C)

(3)(2020年高考北京卷第10题)2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(π Day)．历史上,求圆周率π的方法有多种,与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是:当正整数n充分大时,计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长,将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法,π的近似值的表达式是( )．

(答案:A)

3 其他圆周率的计算方法

国内外的每一位数学家所作出的大大小小的贡献汇聚成一条数学历史的长河．就圆周率而言,古希腊人的穷竭法在数学史上也举足轻重．这个方法先后主要由古希腊两位数学家安提丰(Antiphon,公元前480—公元前411)和阿基米德(Archimedes,公元前约287—公元前212)创造和改进．

安提丰曾提到:“作一圆内接正方形,将其边数加倍,得内接正八边形;再加倍,得正十六边形．如此下去,最后正多边形‘穷竭’了圆．因此,总可作出与正多边形等积的正方形,故圆可化为方．”这个说法是他的一种数学直觉,不过我们可以从中看到极限的影子．后来,阿基米德进一步改进并发扬了它．

阿基米德和刘徽的研究对于几何的发展意义重大．在计算方法上,阿基米德同时利用了圆内接多边形和外切多边形进行计算,而刘徽采用的是在内接多边形上进行计算;在数学思想上,刘徽使用了极限思想和勾股定理,巧妙地化曲为直,而阿基米德避开了极限,多次使用合比定理和三角形的相似;在影响的程度上,阿基米德在国际上的名誉更大、影响更广．

在追求数学真理的道路上,人类永无止步．1973年,人们对圆周率已经计算到小数点后300万位,1993年计算到了小数点后800万位,2011年计算到了小数点后10万亿位,2018年8月,瑞士的研究人员将它计算到了小数点后62.8万亿位,这是目前最精确的一个数值．纵使现代的社会已经能用计算机进行快速计算,但圆周率的历史源远流长,数学家们为此努力的时刻是值得铭记的,也正是这些一代又一代数学家们的坚持,人们对圆的认识才得以愈发深刻．

4 割圆术中的数学思想

不同时期、不同国家的数学家在数学方面思考的方向和深度是不同的．除了时代所流行的文化因素,数学家个人的思想水平往往决定了其所能取得的成就高度．就像前面提到的刘徽,他的割圆术是人们对几何认知的一个跨越,其精髓不仅在数学方法的使用上,更在数学思想方法的体现上．

4.1 割圆术中的化归思想

刘徽认为“事类相推,各有攸归．故枝条虽分而同本干者,知发其一端而已”,数学方法和理论虽多样,但它们之间是相互联系的,人们可以触类旁通．割圆术对面积进行无穷小分割,这就是“化归思想”的最好体现．“曲”和“直”看似是相去很远的概念,其实有相通之处．他将几何图形的“曲”化“直”,给了数学界一种有效的科学计算方法,而后又通过不断切割,使得直边图形的面积接近于圆面积．从圆到方,这是方法上的转换,也是思维上的飞跃．

刘徽在数学辩证思想下向我们展示了几千年前将复杂的问题简单化的智慧．割圆中把疑难杂症进行分解,把规则直边图形与曲边复杂图形进行沟通,把几何和代数互相转换,这种将疑难问题转换后间接解决的方法对后世的数学家们产生了深远的影响,让我们看到了一个新的世界．

4.2 割圆术中的极限思想

割圆术蕴含着丰富的数学思想,其中的极限思想是最为重要的思想之一,贯穿割圆的始终．首先,这表现在他把圆进行了无穷小分割,在无穷小分割后圆的内接正多边形周长就是圆周长;其次,在割圆术中,曲线被他视为由无穷多的小的直边所组成,“以直代曲”也是我们现在说的积分思想．最后,在刘徽的观点中,随着圆被分割的次数增加,所计算的圆内接正多边形的面积便会越接近圆．这说明了他能从事物中找到变化的趋势,对变化趋势的思考就是极限思想的一个深入起点．

刘徽身上的批判精神和求理精神也是他有如此伟大成就的重要原因．极限思想对刘徽所在的时代而言是全新的一种思想,他能够在批注古文的过程中打破传统研究,首次严谨地讨论不确定的量,尤其是极为抽象的无穷大和无穷小,最后还能在确定量和不确定量中找到平衡．也正因如此,后人才得以从有限迈向无限,感受极限的本质．

割圆术在日常生活中也有极多的应用,比如我们常常从无穷大(小)的角度去解决实际的问题．下面我们就通过一些活动来感悟割圆术中的极限思想[2]．

4.2.1 在剪纸活动中感悟极限思想

(1)对折两次剪一刀成正方形:先把纸对折两次,形成一个交点,即中心点．再在与中心点相连的两条边上截取相等长度,连线并剪一刀,展开后是一个正方形,由4个等腰三角形组成(图12)．