基于体验操作 助力思维生长——以“探索三角形全等的条件”为例

王永锋

(江苏省苏州市吴江区盛泽第二中学 215228)

在一次区级教研活动中,笔者聆听了一节苏科版教材八年级上册第一章第3节“探索三角形全等的条件(第1教时)”公开课．执教者遵循“就两个三角形的边或者角分别给出一组相等、两组相等、三组相等,让学生想象并说出不同的情形,教师黑板上演示”这一思路开展教学．这种“做加法”的思路本身是符合教学规律的,怎奈学生兴致不高,课堂效果一般．原因有三:一是师生间只有提问没有对话;二是生生之间没有真正的合作交流;三是学生体验感不足,思维不深刻．基于此,笔者反复研读课标,对教材进行组合重构,以精准的问题为引线,从让学生体验操作开始,引导他们从经验出发,用观察实验、猜想验证等手段发现和提出问题,并对这些问题进行多角度分析、全方位解决,从而达成领悟数学的目的,真正发展核心素养．

1 教材分析

教学目标分析 通过“撕纸”分析其过程中蕴含的“变”与“不变”,探索三角形全等的条件,经历探索三角形全等条件的过程;掌握判定两个三角形全等的基本事实,发展学生的应用意识和抽象能力,助力学生思维的成长．

教材内容分析 本节课是学习了全等三角形定义之后的一次飞跃．学生研究三角形全等需找出6个元素相等,显然太繁琐,如何简化两个三角形全等的条件呢?笔者通过创设情境,采用“操作—设疑—探究—释疑—总结”的流程,围绕“撕纸”这一简单操作引导学生深入思考,驱动学生主动参与学习的全过程,让学生于体验操作中得到思维生长,于主动探究中感悟数学思想,于深度理解中发展数学素养．

2 教学实践

2.1 创设情境,引发思考,学生“悦”学

情境 暑假的某一天,七年级学生小明在家打扫卫生,不小心把桌子上的一块三角形玻璃摔成图1的形状,爸爸要重新配制一块完全相同的玻璃,问小明是否需要把这几块碎玻璃都带到店里．你会给小明怎样的建议?

图1

师:为方便操作,我们拿出下发的三角形纸片,请大家按照自己的想法先将其撕成两部分,看看有多少种不同的撕法．

教学说明合适的情境能激发学生的学习兴趣．兴趣是最好的老师,学生具有主动学习的兴趣,便会有深度探究的愿望,就会全身心积极投入．设置“配制玻璃任务”这一生活情境,以此类比撕纸这一操作,增强问题解决的实效,引发学生积极思考,让学生“悦”学．

2.2 动手操作,抽象感悟,学生“做”学

师:请同学们拿出准备好的三角形纸片,将此三角形按照角的大小统一命名为△ABC(图2),说说有几种不同的撕法．

生1:把∠A撕掉．

师:还有不同的撕法吗?

生1(补充):把∠B撕掉,也可以把∠C撕掉．

生2:把∠A撕为两部分．

师:还有不同的撕法吗?

生3:把∠B撕为两部分,还可以把∠C撕为两部分．

生4:我也是把∠A撕为两部分,但是我撕的位置不相同．

师:请你上来演示．

生5:这和生2说的不是同一种撕法吗?

师:你为什么觉得这是同一种撕法?

生5:因为都是把∠A撕掉．

师:那你认为把∠B或∠C撕掉与把∠A撕掉能看作同一种撕法吗?

生5:我觉得不可以,因为它们是不同的角．

生6:它们都是撕掉一个角．

师:它们在本质上都是撕掉一个角,我们把这种方法统一规定为撕掉∠A．同样,把一个角撕为两部分也看作是同一种方法,我们统一规定把∠A撕为两部分．于是便得到两种不同的撕法——撕掉一个角、把一个角撕为两部分．

教学说明让学生体验操作撕角,边做边思、边思边讲．在撕角的过程中,教师初始并没有规定学生该如何操作,而是让学生在思考中充分体验,在操作中深化感悟,看似漫无边际,实则培养学生发现和提出问题的能力,激活学生的思维活力,形成学生的思维经验．

2.3 对比操作,诱导思维,学生“越”学

师:上述两种撕法都把三角形纸片分为两部分,请对照原三角形纸片的边与角,观察每一部分都有哪些不变的边与角?

生7:撕掉∠A的两部分是∠A不变和∠B,∠C,BC不变．

生8:把∠A撕为两部分是∠B,AB不变和∠C,AC不变．

师:我们把一对边相等或者一对角相等称为一组元素相等.上述两位同学的回答分别记作一组元素相等、三组元素相等和两组元素相等．能否分别通过这些相等将原三角形还原呢?请尝试画一下．

教学说明数学学习不是让学生在舒适的平地上散步,而是要设置必要的障碍,引领他们挑战自我、超越自我．这种刨根问底的探索和追求精神恰恰是发展学生核心素养所亟需的．本环节从对比操作入手,诱导学生的思维,让学生享受数学思维成长的全过程,促进其思维生长发展．

2.4 分类探讨,提升思想,学生“辨”学

师:上述操作中,你觉得哪一部分画出的三角形是全等的?如何验证?

生9:有三组元素相等时画出的三角形是全等的,因为我们小组把这些三角形叠合在一起,它们是重合的．

师:一组元素相等的两个三角形包括哪些情形?

生10:一组元素相等除了一对角相等,还包括一对边相等．通过画图发现,两个三角形只有一对边的长度相等,不能判断它们一定全等．

师:一组元素相等包括一对角相等或者一对边相等,不能判断两个三角形一定全等．那么两组元素相等又该如何分类呢?

生11:两组元素相等除了上述的一边一角相等,还包括两对边相等或者两对角相等,也不能判断两个三角形一定全等．

师:请你演示一下．

师:还可以利用身边的文具举个反例吗?

生12:老师手中的三角尺和我手中的三角尺满足两对角相等,但是这两个三角形不全等．两组边相等可以是等边三角形的边长等于等腰直角三角形的腰长,这两个三角形也不全等．

师:两组元素相等包括两对角相等、两对边相等或者一边一角相等,不能判断两个三角形一定全等．

教学说明探索三角形全等的条件,教师教学时往往会采取“做加法”(从一组元素相等开始逐渐增加条件)或者“做减法”(从六组元素相等开始逐渐减少条件)来展开．这个过程中,教师的主动演示和学生的被动接受很容易被个别学生的高水准表现所掩盖．通过体验操作,直接让一组、两组、三组元素相等跃然纸上,把“学之困”和“教不足”联结在一起,学生自然会针对不同的情形进行分类探讨．通过辨别思考,思维有了深度,内容也便被很好地领悟了．

2.5 体验交流,深度挖掘,学生“慧”学

师:从上述操作发现,三组元素相等能够说明两个三角形全等．三组元素相等又该如何分类呢?一定能说明两个三角形全等吗?请大家操作并讨论一下．

生13:三组元素相等还包括三条边对应相等、三个角对应相等．

师:还有别的补充吗?

生14:还有两角一边和两边一角对应相等．

师:刚才这位同学讲到对应相等,这是很规范的提法．三条边对应相等的两个三角形一定全等吗?你打算如何验证?

生15:比如我手中的这些三角形纸片,能完全叠合在一起,它们的三条边自然相等．

师:七年级时我们学过一个基本作图——作一条线段等于已知线段．请利用这个作图方法操作验证一下．

师:三个角对应相等的两个三角形全等吗?

生16:我觉得不一定全等．老师拿的大三角尺和我手里的小三角尺,尽管三个角对应相等,但是并不全等．

师:我们前面讲的两角对应相等和三角对应相等是一回事吗?

生17:根据三角形内角和定理,两角对应相等可以转化为三角对应相等．

师:生14讲的两角一边和两边一角相等又该如何研究?请大家对照题目要求画图:

(1)在透明纸片上画一个三角形,其中两个角分别是30°和45°,一条边为5 cm,将你画的三角形与同伴画的三角形叠合,两个三角形能完全重合吗?你有什么发现?

(2)在透明纸片上画一个三角形,其中一个角是60°,有两条边分别是7 cm,5 cm,将你画的三角形与同伴画的三角形叠合,两个三角形能完全重合吗?你又有什么发现?

生18:我们这组按问题(1)要求画的三角形是不重合的．

师:那你仔细看看原因出在哪儿.

生18:有同学画的5 cm长的边是30°角的对边,有同学画的5 cm长的边是45°角的对边,还有同学画的5 cm长的边是第三个角的对边．

师:第三种情况下长为5 cm的边和30°、45°角的关系是什么?

生19:长为5 cm的边是30°和45°角的公共边．

师:这里的公共边也就是两个角的夹边．请大家仔细观察上述三种情况,各自对应相等的三角形是否全等?

生18:全等．

师:我们把上述情形分别表述为“角角边”和“角边角”,它们都是三角形全等的判定方法．

师:按问题(2)画出的两个三角形能完全重合吗?

生20:不重合．我们画出三种情形:60°角是 5 cm和7 cm边的夹角;60°角所对的边长是 5 cm;60°角所对的边长是7 cm．通过叠合,发现只有第一种情形是重合的,后面两种情形都画出了两个不同的三角形．

师:我们把上述情形分别表述为“边角边”和“边边角”．“边角边”才是三角形全等的判定方法．

教学说明真正的数学学习意味着登山式的挑战与冲刺．在探索过程中,“三边”“三角”这两种情形容易验证,而“两角一边”和“两边一角”是讨论的焦点,“对应相等”更是学习的关键．本环节继续加强学生的体验交流,把知识学习的过程清晰地呈现出来,为学生的深度挖掘、交流合作搭建一个科学、完整的平台,建构一般观念下的活动及数学思维方式,为学生呈现带得走的知识,彰显学生个体体验的独特性、小组合作的互动性、思维领悟的生长性,真正发展学生的智慧．

2.6 归纳结论,总结反思,学生“跃”学

师:要配制一块完全相同的玻璃,你会给小明怎样的建议?

师:我们是如何探索三角形全等的条件的?在探索的过程中用到了哪些思想方法?后续还会学习什么?

教学说明本环节首尾呼应,再次回顾本节课的学习流程,将数学知识按照学生思维的生长进行重构,使其前后联系．教师引导学生梳理、概括、归纳本节课的学习过程,构建知识的形成和发展体系,同时又为后续学习埋下伏笔,使学生对三角形全等的判定有了全面的认识,知识技能有了灵魂,思想方法有了载体,有助于学生的思维飞跃．

3 教学反思

《义务教育数学课程课标(2022年版)》(下称《课标2022》)指出:教学活动应注重启发式,激发学生学习兴趣,引发学生积极思考,鼓励学生质疑问难,引导学生在真实情境中发现问题和提出问题,利用观察、猜测、实验、计算、推理、验证、数据分析、直观想象等方法分析问题和解决问题;促进学生理解和掌握数学的基础知识和基本技能,体会和运用数学的思想与方法,获得数学的基本活动经验;培养学生良好的学习习惯,形成积极的情感、态度和价值观,逐步形成核心素养[1]．基于此,教师在开展课堂教学时应坚守自己的主导作用,加强学生的过程性体验,通过针对性较强的问题来引领学生思维品质的提升．在这个过程中,还要突出强调全体学生的参与、交流、对话,让真实的学习体验和成长感悟自由生长,让创造力的发展找到可依托的载体．

3.1 操作中发现,引导思维开启

美国著名教育家杜威指出:教学过程就是“做”的过程．在他看来,如果儿童没有“做”的机会,那必然会阻碍其自然发展．这就要求教师在教学中要基于对教学活动的理解,通过创设情境调动主动性、鼓励参与和交流等策略让学生充分“试水”,以此开启学生的思维．数学学习是思维的学习,而思维的发展离不开学生的充分体验．“撕角”便是从学生真实的“做”出发,边“做”边想,分析问题,发现结论．学生把“做”的经验与数学的“变”与“不变”有机结合,增强对获得数学知识的路径与方法的理解,激发探求新知识的心向,开启学习数学的思维．“做中学”让学生身心互为一体,知行相互作用,发展学生的核心素养．

3.2 体验中感悟,助力思维生长

现代认知结构理论认为,学习不是教师向学生传递知识,而是学生自己建构知识和应用知识的过程．大教育家孔子说:“学而不思则罔,思而不学则殆．”这告诫我们只有把学习和思考结合起来才是正确的读书和学习方法．同样地,学生的学习离不开“体验中感悟”．“体验”是手段、途径和方法,“感悟”是结果和目的．“撕角”是体验,“一组相等”“两组相等”“三组相等”是体验后的感悟,每个“相等”隐含的各个情形是思维的生长．数学课堂教学须以教师为主导,问题为引领,探究为主线．学生通过探究得出数学结论是提高课堂教学效率的关键,没有过程的结论往往需要死记硬背,难以灵活运用．教师的主导很多时候是通过引领性的问题来实现的．合适的问题能引发学生的质疑猜想和探究的欲望,让体验贯穿整个探究过程,促进学生思维的生长．

3.3 合作中交流,拓展思维广度

《课标2022》指出:学生的学习应是一个主动的过程,认真听讲、独立思考、动手实践、自主探索和合作交流等是学习数学的重要方式[1]．在学习过程中,当知识难度过大、思维出现多样化、个人独立完成有困难时,小组合作交流就显得尤为重要．真正的小组合作交流能实现同伴互助,有利于揭示数学的本质,促进学生的思维发展．帮助学生积累数学活动经验、行为操作经验、探究经验和思维经验,对学生的情感体验也有着积极的推动作用[2]．上述探索“两角一边”和“两边一角”对应相等的两个三角形是否全等时,情形多、内容难,在开放的情境下合作交流能培养学生的发散性和归纳性思维．教师要关注生生间的多维互动,学生之间相互感悟、体会而碰撞出的火花必然会拓展学生思维的广度．

3.4 评价中升华,提升思维高度

《课标2022》指出:评价不仅要关注学生数学学习结果,还要关注学生数学学习过程．采用多元的评价主体和多样的评价方式,鼓励学生自我监控学习的过程和结果[1]．上述教学中,学生学习参与面广、学生之间相互评价交流多,有利于展现学生思维．通过对教学过程的回顾和思想方法的审视,学生收获了数学学习中“做”的经验,同时又利用所学知识帮小明解决了问题,有知识的收获,有过程的思考,有解惑的喜悦,还有后续学习的展望．数学课堂真正实现参与、交流、对话、引导,学生获得真实的学习体验和成长感悟,创造力的发展也找到依托载体．让学生课堂上自我评价,展示了学生头脑中的知识结构,学生评价的过程就是思维高度再现的过程．

在基于体验操作的数学课堂中,教师不仅要关注学生直接“做”的体验及一切学生可以直接感知、领悟的东西,让生命在场,更要清楚个体生命是有限的,不可能事事亲为,所以更要关注与个体生活体验、经验发生连接,引发感动的“见闻之知”,走出自我,走出个人体验,从“在场”的个人体验走向“不在场”的广阔世界．体验操作的价值取向在于使学生学会思考,思维真正生长,成为善于认识和解决问题的人．