凸显数学核心素养 提高课堂教学效益——以“平面向量复习课”为例*

徐 文 祁 杰

(江苏省盐城中学 224002)

随着《普通高中数学课程标准(2017年版)》的实施以及新高考在全国逐渐展开,在部分区域或部分教师中,或多或少存在着“高中数学核心素养在哪”“数学课堂教学中我没体会到数学核心素养啊”等困惑．本文以一堂“平面向量复习课”为例,通过“问题—引导—研究”的教学模式,进行教学设计并开展课堂教学,以寻求“数学核心素养在此”,探索培养学生数学核心素养能力的新教学方式．

1 学情分析

数学复习课是常态课,而高中数学单元复习课教学一直是重点难点．

本课是借班上课,教学对象是三星级高中的高一理科强化班学生,由于当时学生刚好处于复习阶段,学生对向量知识点有所遗忘,但整体基础良好,具有一定的运算能力和解决问题的能力．

教学目标 (1)通过练习能回忆并掌握平面向量基本知识点;(2)通过例题,能熟练掌握平面向量常见方法,并知道其应用基础．

教学重点 平面向量数量积常见方法的选择

教学难点 投影法在平面向量中的应用

2 过程实录

2.1 思维导图

师:今天,我们来复习平面向量．向量在高中 数学中是一个重要的基本数学概念,具备几何与代数双重特征,所以成为沟通代数与几何的桥梁．本学期初,我们已经完成了平面向量这一单元的学习, 这是选自教材“本章回顾”中本单元的结构导图(图1)．

图1 本章结构导图

师:本节课将选择其中一个点来进行平面向量的专题复习．现在请完成下面四道简单的平面向量问题,以便了解我们班的掌握情况,也算是本节课的一个热身．

核心解读数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象,得到数学研究对象的素养[1]4．平面向量是数学抽象概念之一,具有几何与代数双重特征,是衔接代数和几何的桥梁,是高考的必考内容．期末阶段的复习课将有效帮助学生回忆并掌握该知识点是这节课的关键．

2.2 课堂小测

A．4 B．5 C．6 D．7

(4)若a=(x,4),b=(-2,-1),如果a与b的夹角为钝角,则x的取值范围为( )．

A．(-2,8)∪(8,+∞) B．(-2,+∞)

C．(-2,8) D．(8,+∞)

师:请你大声公布一下你的答案．

生1:4个A．

师:他说4个A,一把“王炸”．大家送给他掌声还是有其他不同意见?

生(众):集体掌声．

师:通过掌声可以听出我们一定是高一的强化班．但是通过这四道题,大家觉得我们今天分析的重点是什么?请说说看．

生2:平面向量的数量积．

师:正确!那就让我们一起回顾一下向量数量积的基本概念．

核心解读数据分析是指针对研究对象获取数据,运用统计方法对数据进行整理、分析和推断,形成关于研究对象知识的素养[1]7．可以看出,不仅学生要有数据分析能力,而且教师也需要数据分析能力,正如教师要有“一桶水”,学生才有“一杯水”的道理．

2.3 复习旧知

·数量积的定义形式

生3:a·b=|a||b|cosθ,其中θ是a与b夹角,且0≤θ≤π．

·数量积的坐标形式

生4:a·b=x1x2+y1y2,其中a=(x1,y1),b=(x2,y2)．

师:很好．请其他同学说说向量数量积的投影形式．

生5:a·b=|a||b|cosθ．

师:这是定义．换一个问题:你知道投影向量吗?请你说一说,在图2(1)中,a在b上的投影向量在哪?

图2

·数量积的投影形式

师:那请问,向量数量积的投影形式是什么?

生6:应该是为了计算吧．原来是不共线的,现在是两向量在同一条直线上．

师:他们是什么?

生(众):共线向量．

师:将原来不共线向量的数量积转换为共线向量的数量积．一旦两个向量共线的话,这两个向量的数量积所对应的余弦值就等于——

生7:此时cosθ要么是1要么是-1,即同向或反向．

师:从向量变为模,我们不妨把它看作是几何意义．这三种形式其实也给出了探索向量数量积的三种方法,下面我们来看这样的一个问题．

核心解读数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养[1]5．此处,对平面向量数量积有三种建模形式:定义形式、坐标形式、投影形式．因此,解决数量积问题有三种方法．如前面练习(1)～(4)题,就是运用了定义形式和坐标形式．

2.4 典型例题

图3

师:谁能告诉我,基底法的理论支撑是什么?是由什么定理保证的呢?

生9:平面向量基本定理．

师:平面向量基本定理告诉大家,选择一组基底,可以唯一表示平面内的所有向量．其实基底法也反映了数量积常见的解题思路,叫化异为同．那么,除了这个方法,还有什么常见的方法?

生10:坐标法．

师:请这位同学来黑板前画图展示．

图4

师:生10以BC为x轴、点P为原点,用三个未知量来设点坐标,得到两个等式,但本质上是两个未知量,是典型的“设而不求”．还有其他建系方法吗?

生11:以点B为坐标原点、BC为x轴,建立坐标系．

师:请写出过程,对比哪种建系方法更合适?

图5

师:请问这两种建系方式哪种更有优势?

生12:第一种建系比较好!计算结果比较简洁．

师:不同建系方式的优势相当程度上可以在计算时得到体现．刚才我们都是选择以BC为x轴,理由是BC呈现的是一条水平线．现在我们将这个三角形的位置重新摆放(图6),或者说作了一定的旋转,此时你会如何建系?

图6 图7

生13:以AB为x轴、点A为原点,建立直角坐标系(图7)．

师:英雄所见略同．请问在这种情况下如何设置点的坐标?

生14:设C(4cosθ,4sinθ)．

师:很好!此时利用的是三角函数,请展示你的过程．

师:请比较这种建系方法和刚才的两种方法有何不同?

生15:这种方法只需要设一个未知量．

师:刚才两种方法都是三个未知量,为什么这个方法是一个未知量呢?

生15:前面2和4两个数量关系需要等式来呈现,而这种建系方式成功地将数量关系利用起来了,所以只需要一个未知量来达到效果．

核心解读直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用空间形式特别是图形,理解和解决数学问题的素养[1]6．对于此问题,上面分别用以P,B为坐标原点建系及旋转后以A为坐标原点建系,此外还有下面的投影解法．

师:不错．对于坐标法,我们用了三种方法,从中体会到什么叫做适当．建立适当的坐标系的确使我们的计算量减少,方法简单．现在请同学们回忆一下,除了基底法、坐标法,还有什么方法呢?

生16:投影?

师:投影怎么作呢?

生16:从A作BC的垂线AM(图8)．

图8

师:数量积也可以通过作垂线得到投影向量,根据投影向量来作答．请展示你的过程．

核心解读逻辑推理是指从一些事实和命题出发,依据规则推出其他命题的素养……主要表现为:掌握推理基本形式和规则,发现问题和提出命题,探索和表述论证过程,理解命题体系,有逻辑地表达与交流[1]5．除直接用定义法解题受阻外,我们从三种数学建模形式中得到了不建坐标系的基底法和建系坐标法的三种方法,还有一种投影法．

师:将数量积转化为模之积,这体现了它的几何意义．请同学思考,如果我们调整一下点P的位置,那结果会如何?请大家看变题1．

图9 图10

师:请问外心是什么?

生18:三角形三条中垂线的交点．

师:我们作出来,请问这时数量积是多少?

师:答案还是6．请问这是一种巧合吗?是偶然的还是必然的?

生(众):必然的．

师:理由?你说说看．

师:那我们进一步思考,点P还可以在哪里,使这个数量积不变?

生21:在BC的垂直平分线上．

师:很好!此时我们就可以得到变题2．

图11 图12

师:通过刚才的讨论,可以知晓数量积还是6．如果点P在中线上呢?我们现在来看变题3．

师:绝大部分同学用的是基底法,选择基底法的理由是——

师:有没有用坐标法的?请尝试一下．

图13

师:请大家回顾一下三角形重心的坐标公式.

师:很好!如果利用重心坐标公式,变题3很快得到答案．同时可以发现,如果该点在中线上运动时,它们的数量积也在发生变化．

核心解读数学学科的六大核心素养既相对独立,又相互交融,是一个有机的整体[1]4．上述变题变式,展示了点的深入、面的铺开的深度学习过程．

2.5 感受高考

师:在今年高考中,有一个直接考查平面向量数量积的问题,能给出答案吗?

(2023新课标Ⅰ)已知向量a=(1,1),b=(1, -1)．若(a+λb)⊥(a+μb),则( )．

A．λ+μ=1 B．λ+μ=-1

C．λμ=1 D．λμ=-1

生26:选D．

师:基底法和坐标法是解决向量问题的基本方法,高考中直接考查向量的试题并不是太多,更多的是将向量作为工具和方法去解决相关数学情境问题．

3 教学感悟

提升数学学科核心素养,不是单方面对学生而言,实际上也对教师提出了要求．在课前,教师要把研究教材当作数学抽象看,把了解学情当作数据分析看;在上课时,把预设生成当作直观想象看,把方法选择当作数学建模看,把讲解清晰当作逻辑推理看;在课后,把教学结果当作数学运算看．

在实际教学过程中,就如上一节来说,对核心素养所涉的六个方面不一定都能涉及到,也没有先后之分．是前面出现,还是后期展现,需要灵活掌握．值得一提的是,在新授课上,选择数学抽象上突破为主;在复习课上,选择数学建模上多下功夫,同时,对基础年级,还是毕业年级的要求应有所区别．教师要把握逻辑推理这根红线,时刻关注数学运算结果,实时进行数据分析,直观想象出近期乃至高考的业绩．这样用核心素养的教学理念来实施教学,对课堂效益的提升无疑是有益的．