立足方法引领 促进深度理解——以“n次方根与分数指数幂”的教学设计为例*

毛锡荣

(江苏省无锡市辅仁高级中学 214123)

1 基本情况

1.1 授课对象

授课对象来自江苏省梅村高级中学高一年级的实验班．该校于1960年成为江苏省重点中学,实验班学生在这个学校是第一层次学生,他们的数学基础扎实,思维活跃,喜爱数学,参与课堂活动的积极性高,善于思考,合作精神强,勇于发表自己的见解．

1.2 教材分析

所用教材为《普通高中教科书·数学(必修第一册)》(人教版),本课教学内容为第四章章引言和第一节“4.1.1n次方根与分数指数幂”．指数函数是以指数为自变量的一类函数,其定义域为实数集．为研究指数函数,需要把指数幂运算的范围进一步推广．类似于先将整数推广到有理数,再将有理数推广到实数,本节教材通过将指数幂由整数指数幂推广到有理数指数幂,然后推广到实数指数幂,进而为指数函数的学习奠定基础．

根据对课程标准与教材内容的分析,确立本节课的教学目标如下:(1)了解指数函数模型的实际背景,认识学习指数的必要性,体会数学探究的方法;(2)理解n次方根、根式以及分数指数幂的有关概念,掌握分数指数幂的运算性质;(3)能正确地进行分数指数幂和根式之间的互化,提高分析问题和解决问题的能力．

本节课的教学重点是根式与分数指数幂的理解与分数指数幂的运算性质的应用;教学难点是根式与分数指数幂的关系的理解与运用．

2 教学过程

2.1 章节引领,提出问题

章引言:良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区良渚和瓶窑镇,是一个具有宫殿区、内城、外城和外围水利系统四重结构的庞大都邑(图1)．

考古学家利用遗址中遗存物碳14的残留量测定,古城存在时期为公元前3300～前2500年,距今约5 300至4 300年．

2019年7月6日,良渚古城遗址申遗成功,入选《世界遗产名录》．作为世界文化遗产,良渚古城遗址为中华5 000多年文明史提供了有力实证．

问题1你知道考古学家在测定年代时用了什么数学知识吗?

问题2当生物死亡后,它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减(称为衰减率),大约每经过5 730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”．

预设 设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p,如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位．那么,死亡1年后,生物体内碳14含量为;死亡2年后,生物体内碳14含量为;死亡3年后,生物体内碳14含量为;……;死亡5 370年后,生物体内碳14含量为．

设计意图数学是什么?为什么要学习数学?学习数学有什么用?这些问题大多数不能被学生真正认识和理解．这里,以章引言为切入点,从5 000年前良渚文化入手,设计碳14测定年代时用到什么数学知识这一问题,使学生感受到数学就在我们身边,它与我们的日常生活和科学技术紧密相连,激发学生学习数学的动力．

问题3(1-p)3的运算含义是什么?

预设 首先引导学生回忆已学整数指数幂概念,然后展示图2,发现已学整数指数幂已不能满足实际问题的解决,必须扩展到实数指数幂．然后类比实数学习过程,得到实数指数幂经历的扩展过程(图3),并引出课题“n次方根与分数指数幂”．

图2

图3

设计意图引领学生从问题2中引出的整数指数幂出发,通过观察生物体内碳14含量随时间变化的连续曲线,自然而然会发现在解决实际问题时从整数指数幂扩展到实数指数幂的必要性;由类比实数学习过程,猜想整数指数幂扩充到有理数指数幂和实数指数幂的过程,感受数学是在已有知识基础上根据实际需要扩展概念范围,唤醒学生已有的经验,让知识在经验之根上自然生长,让学生经历数学发生发展的过程．

2.2 合作交流,建构概念

(1)n次方根的概念与根式的性质

问题4我们在初中学过平方根、立方根,它们由什么运算引入的?什么是平方根?什么是立方根?怎么表示?同学们能说出这个一般性问题吗?

预设 引导学生类比初中学过的平方根、立方根的概念,自主建构n次方根的概念,探究根式的基本性质,并组织学生展开交流活动,列举实例进行辨析．

(2)根式与分数指数幂的互化

问题6请同学们观察以下式子,有什么规律?(a>0)

问题7你能利用问题6中得出的规律,表示下列式子吗?

预设 在学生尝试、归纳、辨析的过程中,通过总结得到结论:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以表示为分数指数幂的形式;当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根式也可以写成分数指数幂的形式．

问题8你能用方根的意义解释问题7中的几个式子的含义吗?

(3)有理数指数幂的运算性质

问题9整数指数幂的运算性质是什么?如何推广到有理数指数幂的运算性质?

预设 通过具体实例,引导学生将整数指数幂的运算性质推广到有理数指数幂,得出有理数指数幂的如下运算性质:(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈Q);(2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q);(3)(ab)r=arbr(a>0,r,s∈Q)．

设计意图引导学生从熟悉的整数指数幂出发,通过对实例的分析,探索出“根式可以表示为分数指数幂的形式”,并会用方根的意义解释这一规律,从而得到正数的正分数指数幂的意义,这样再由整数指数幂的运算性质,推广到有理数指数幂的运算性质也就水到渠成了．在这个过程中,让学生进一步体会数学知识的发展和建构的思维路径,在建立起对数学知识的深度理解的同时,掌握数学探究的方法,在掌握知识的同时,学会数学的思想和方法．

2.3 知识运用,深化理解

例1求下列各式的值:

例3用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0):

例4计算下列各式(式中字母均是正数):

预设 学生自主完成后交流所得结果,教师点评,总结出根式与分数指数幂互化的规律: (1)根指数化为分数指数的分母,被开方数(式)的指数化为分数指数的分子;(2)在具体计算时,通常会把根式转化成分数指数幂的形式,然后利用有理数指数幂的运算性质解题．

设计意图帮助学生在应用的过程中进一步认识指数概念的本质,深化对指数概念的理解,使学生熟悉根式与分数指数幂之间的关系,掌握根式与分数指数幂互化的规律,训练学生的理性思维,提高学生分析问题、解决问题的能力,培养学生的运算素养．

回到开头的问题:设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p,如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位．那么,死亡5 370年后,生物体内碳14含量为多少?

设计意图引导学生使用新学的知识解决引例中的数学问题,加深对分数指数幂概念的理解,并使得整个一节课前后呼应,形成整体．

2.4 总结反思,升华认知

(1)为什么研究?——研究的背景;(2)研究什么?——研究的内容;(3)怎么研究?——研究的过程、思想和方法;(4)你认为接下来研究什么?——还需研究的问题,将探究活动延伸至课外．

预设 引导学生回顾本节课的研究内容、过程和方法,教师帮助完善,使学生在回顾、总结和反思的过程中建立起完整的知识网络,升华认知,深化理解．

设计意图通过“为什么研究”“研究什么”“怎么研究”三个问题,学生不仅学习了本节课的数学知识,而且掌握数学知识的研究路径．“你认为接下来研究什么?”这一问题,让学生结合已学的函数,更好地理解“背景概念—图象和性质—应用”的函数研究套路,深度理解教材的编写意图．

3 教后反思

3.1 以章引言为切入点,自然提出问题,发挥学科育人价值

在过去一个相当长的时期,学科教学的目标只关注“双基”,教学过程变成知识授受的过程,学科育人的任务被成绩、分数、升学所遮蔽、所排斥．这种状况必须改变,教师的教学工作要从“学科教学”转向“学科育人”．所谓学科育人,就是指学科的教学要以学科知识为载体,以育人为目标,挖掘学科的德育内涵和人格养成价值,致力于培养学生的学科核心素养．

本节课为了更好地发挥数学学科的育人功能,突出学科内容的本质,体现数学思想方法,培养数学能力,发展学生的核心素养,教学时注重数学知识的背景和应用,利用章头图——良渚遗址,它存在的时期为公元前3300～前2500年,是距今5 000年左右长江中下游地区等级最高的城址,它对研究中华五千年文明的起源具有重要的参考价值,是弘扬中华文化的宝贵素材．以此为背景设置问题“考古学家在测定年代时用了什么数学知识?”和“死亡5 370年后,生物体内碳14含量为多少?”学生一方面为拥有5 000年璀璨文明的祖国感到自豪,另一方面又了解了所要研究问题的来龙去脉和实际价值,并于良好的研究氛围中激起浓厚的学习兴趣,生成对数学的热爱,使得对数学知识的探究产生不竭的动力．

3.2 整体把握教材结构,立足方法引领,构建数学研究路径

布鲁纳认为:“掌握事物的结构,就是允许许多别的东西以与它有意义地联系起来的方式去理解它．简单地说,学习结构就是学习事物是怎样相互关联的．”[1]一方面,结构具有较知识点更强的迁移力,也就是学生能用基本的结构不断拓展和建构知识．另一方面,如果学生把握了知识之间的内在结构、学习方法的结构,就有可能借助结构的支撑,解决许许多多看来似乎陌生但实际密切关联的问题,从而能够从整体的高度把握知识的本质,形成对知识、思想和方法的正确认识和深度理解,使得学习的活动更有价值、充满活力．

本节课主要研究指数幂的概念、表示方法、运算法则及基本性质,这是进一步学习和研究指数函数的基础．教学中,一方面要引导学生通过对根式、有理数指数幂的概念及运算性质等的探究与辨析,并借助具体例题的求解,深化对根式、有理数指数幂的概念以及有理数指数幂的运算性质的认识,掌握根式、有理数指数幂的概念以及有理数指数幂的性质等知识在解决具体问题中的应用;另一方面要启发学生学会从整体上把握教材结构,引领学生经历知识发生发展的过程,感知探究和学习新知的一般套路,体会函数研究的一般思路,使学生不仅学会数学的知识,更学会研究数学的方法,从而有效地提升数学学科的素养．

3.3 渗透数学思想方法,揭示数学本质,提升数学核心素养

数学的基本思想是指对数学及其对象、数学概念和数学结构以及数学方法的本质属性的认识,是数学的灵魂和精髓.它蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中,制约着学科发展主线和逻辑架构,也是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括．“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了,惟有深深铭记在头脑中的是数学的精神和数学的思想、研究方法、着眼点等,这些随时随地发生作用并使学生终身受益．”[2]掌握数学的基本思想对提升学生的思维品质,对学生后续学习乃至终身发展有十分重要的意义．在数学教学活动中,要有意识地渗透数学思想方法,使学生领悟数学的真谛,学会数学地思考,发挥出数学的真正价值．

数学思想方法存在于问题的解决过程中,数学问题的步步转化无不遵循着数学思想方法的指导．本节课的教学过程十分重视数学思想方法的渗透和提炼．首先,章引言中碳14衰减问题,是从实际问题中抽象出函数模型的过程,体现了“数学建模”的思想;其次,通过具体实例的归纳,由具体到抽象,由特殊到一般,建立了分数指数幂与n次方根的关系,体现数学不完全归纳的思想;第三,在进行实数指数幂推广时,类比了实数的扩充过程,在函数研究路径的探究中,类比了幂函数的研究过程,都运用了类比的思想方法．通过数学思想方法的提炼和渗透,学生在理解和掌握有理数指数幂的概念和性质的同时,内化了“数学建模”“特殊到一般”“不完全归纳”和“类比”的数学思想方法,收到了很好的教学效果．