从“三个理解”看“一次函数、一元一次方程和一元一次不等式”教学

郭仪昊

(江苏省无锡市天一实验学校 214105)

好课要打磨,打磨的过程就是取舍与改进的过程．面对多样的素材,取什么,舍什么,要求执教者要理解教材、理解学生、理解数学．笔者以一次市级评优课苏科版八年级上册第6.6节“一次函数、一元一次方程和一元一次不等式”的教学设计的改进过程为例,剖析“三个理解”对课堂教学的重要性．

1 教学设计的改进分析

环节1创设情境,导入新课

原设计 观看视频“一次函数征服珠峰”,接着出示登山路线图(图1),问学生根据这些信息能提出什么问题．本意是想让学生根据信息,列出海拔与温度的函数表达式.试教时发现,学生关注点为图片上的营地,往往只针对营地对应的温度提问,没有达到快速切入主题的效果．

图1 图2

改进 为改进这种状况,笔者去掉了无关信息,保留了本节课有关的核心问题,重新调整了问题呈现的顺序．

新设计 聊天式引入,设置问题串:同学们,你们有登山的经历吗?你登过的最高的山是什么山?在登山途中,你感觉气温有何变化?你们知道世界第一高峰吗?然后出示珠峰图片(图2),给出指向性清晰的信息:若海平面的温度是6 ℃,每升高1 km,气温下降6 ℃.学生能快速得到气温关于海拔的函数表达式y=-6x+6.接着让学生画出对应图象,为后续在图象上分析三个“一次”的关系做好铺垫．

对比分析相比原设计,改进后的教学设计基于学生的兴趣和认知,更多地从学生的视角去思考问题,符合学生的认知规律．同时,设计中去掉了视频,改成聊天式引入,更能拉近教师和学生的距离,使学生在问题的引领下快速走进本节课的学习．事实上,改进后的教学设计在实施时学生的参与度高,气氛活跃,收到了较好的教学效果．

环节2探究一次函数与一元一次方程的关系

原设计 继续看图1,问学生还能提出哪些问题.学生会说出可以问每个营地对应的温度是多少,这与图片上给出的信息有关:图上给出的已知量都是高度的值,学生自然想到可以求温度.但很少有学生说出,也可以问根据温度对应的高度是多少.因此该环节问题的设置有局限性,而且对同一张图片反复让学生去提问,学生会感到不知所措,不符合学情．

改进 鉴于此,笔者对原问题做了调整:设置指向性清楚的两个营地(图3),让学生拾阶而上,课堂生成自然有序．

图3

新设计 设置1号营地,给出信息海拔6 km,问学生可以求出什么,指向性明确.学生很容易回答:可以求出对应的温度为-30 ℃.接着数形结合,让学生在y=-6x+6的图象上找到反映1号营地温度与高度的点,引导学生在图象上感受已知x的值,可以找到一次函数图象上的点,这个点的纵坐标就是y=-6×6+6的值．设置2号营地,给出信息气温-36 ℃,仿照解决1号营地问题的流程,让学生明白:当y的值给定时,既可以根据-36=-6x+6求出x的值,也可以在图象上定纵坐标,找到图象上点的横坐标就是方程的解．接着通过比较解决两个营地问题过程的相同点与不同点,让学生自己总结得出:从“数”上看,定一个变量的值,一次函数变成一元一次方程,求出另一个变量的值;从“形”上看,一次函数图象上每一个点的坐标对应一个一元一次方程的解．

对比分析改进后的教学设计,把“数”与“形”结合在一起,从两个角度比较了一次函数与一元一次方程之间相互转化的过程,学生易于理解与吸收,并在探究的过程中借学生之口总结了两者之间的联系,既体现了学生是学习的主体,也达到了预设的目标．同时在教学设计时把课本上的弹簧例子换成了与学生生活更贴近的爬山,这样起点低、坡度小的策略让大多数学生都能参与其中,学习热情得到提高．

环节3探究一次函数与一元一次不等式的关系

原设计 基于环节2探究一次函数与一元一次方程的经验,以一个问题“3号营地以下温度是多少” (图4)为引,放手让学生去提问、去探索．此时,课堂上大多数学生一筹莫展,无所适从,虽然教师积极地去引导学生去求两个营地之间的温度范围,但效果不好,学生更不会想到从图象的视角去理解,整个过程变成了教师自导自演．

图4

改进 在确保教学流程连贯的设想下,笔者在两个知识点之间设置了衔接问题,促进学生思维的转变．

新设计 衔接问题:你知道珠峰的海拔是多少吗?你能求出对应的温度吗?在学生给出答案的同时,指出在实际问题中,温度y是有范围的,为后续问题串的提出做了铺垫．

问题1了解完营地对应的高度和温度后,我们背上行囊开始登山(图5),首先,我们要经过的是“登山舒适区”,它的温度是-18 ℃以上,你能求出对应的高度范围吗?

图5

问题2我们到达了“登山冲锋区”,温度在-36～24 ℃,你能求出对应的高度范围吗?

问题3我们到达了“登顶区”,高度在7～8 km之间,你能求出对应的温度范围吗?

问题4这三个问题的求解过程有什么相同点?有什么不同点?

问题5仿造前面函数到方程的学习思路,你能尝试从图象的角度来理解一元一次不等式吗?

上述问题串层层递进,通过小组讨论、教师的适时点拨和个别辅导,较好地突破了教学难点．

对比分析该环节基于环节2的知识生成,通过设计有梯度的问题串,让学生在模仿环节2的过程中完成对新知识的学习.同时,教师在原有知识的基础上进行适度的引导、启发,让学生主动参与到知识探索生成的过程中．教学过程虽花了较多时间,却让学生切身感受了知识的逐步生成过程,充分尊重了学生的主体性、教师的主导性．事实上,相比原设计,现在的课堂参与率高,每个学生都有事可做,打破了原有课堂沉闷的气氛,有效提高了课堂效率．

环节4学以致用

原设计 抛弃了教材中的题目,直接给了一般的一次函数y=kx+b的图象经过点A(m,0),求:(1)关于x的方程kx+b=0的解是;(2)关于x的不等式kx+b>0的解集是;(3)关于x的不等式kx+b<0的解集是．课后研读教参发现,本节课中并没有一般化的要求,是教师人为提高了难度,这就造成基础薄弱的学生很难跟上教学的进度,从而放弃学习．

改进 从学生角度出发,回归教材,回归例题,用具体的例子,让学生真正掌握三个“一次”之间的联系．

新设计 例1 试根据一次函数y=2x+4的图象(图6)说出2x+4=0,2x+4>0,2x+4<0的解或解集.

图6

思考:根据图6说出2x+4=2的解,2x+4<6的解集.

例2 一辆汽车行驶35 km后驶入高速公路,并以105 km/h的速度匀速行驶了xh．试根据上述情境,提出一些问题,并用一次函数、一元一次方程或一元一次不等式求解．

对比分析改进后的教学设计主要体现了:(1)立足学情．这两个例题只需把前面学到的知识经验迁移过来即可,实际教学中大部分学生都能快速得到答案,从而获得成就感,提高了学习的积极性.(2)立足课本．加入的思考题是对课后练习题的整合,意在进一步强化三个“一次”之间的联系．例2的开放性更是从侧面检验学生对三个“一次”联系的理解程度,这样的设计贴近学生的最近发展区,符合学生思维发展的规律,教学效果明显．

环节5板书设计

图7为原设计,图8为改进后的设计.

图7 原设计

图8 新设计

对比分析改进后的板书设计指明了三个“一次”之间的关系:(1)从“数”上看,当一次函数中的两个变量已知一个时,一次函数转化成一元一次方程,通过一元一次方程可以求出另一个变量的值.(2)当已知一个变量的范围时,一次函数转化为一元一次不等式,通过一元一次不等式可以求出另一个变量的范围;一元一次不等式和一元一次方程之间通过临界值相互关联;从“形”上看,一次函数图象上点的横坐标对应一元一次方程的解,一次函数图象上部分点横坐标的集合对应一元一次不等式的解集．

2 教学思考

2.1 理解教材,方能提纲挈领,有舍有得

教材是学生学习数学、教师教授数学最基本的素材.理解教材就是要理解教材内容顺序设置的合理性,理解例、习题安排的有效性．教师教学时要整体把握教材,挖掘知识的本质,对于教材中的例、习题,教师应通过取舍、改编、整合,构建学科知识框架．本设计在尊重教材的基础上,对教材中弹簧的引入作了调整,改为既贴近学生生活又富有挑战性的攀登珠峰,通过设置不同的营地求高度或温度,设置不同的攀登区求高度或温度范围,让学生在具体的情境中感受三个“一次”相互转化的过程;后续在细品教材后,舍弃了原设计中较抽象的例、习题,坚持用课本上的例题,并整合了部分习题到例题中,让学生既巩固了所学知识又提高了学习积极性．

2.2 理解学生,方能教学得法,收放自如

理解学生主要是指理解学生的最近发展区、思维屏障、认知规律等．本节是探索三个“一次”之间的关系,虽然学生已经掌握每个独立的知识点,但还没有建立它们之间的联系,更不会用整体的眼光去看待三者之间的相互转化,这是学生思维的难点．要突破难点,就要求教师在选择教法时把抽象的数学式子和直观的函数图象结合起来:一方面,从“数”上找联系,发现定一个变量的值(范围),一次函数就转化为一元一次方程(不等式);另一方面,从“形”上找关联,发现图象上的点(部分点)的坐标对应于一元一次方程(不等式)的解(解集),做到“数形 结合”．此外,在教学过程中,教师也要做到收放自如:当学生遇到思维障碍时教师要积极引导,凸显 主导作用,做到“收”;当学生思维活跃积极参与到 课堂中时教师要大胆放开,凸显学生的主体地位,做到“放”．

2.3 理解数学,方能关联前后,形成整体

课标指出,核心素养导向下的中学数学教学关注的是不同知识之间的横、纵向联系,强调数学的整体性、数学思想方法内在的一致性[1]．本节课借助函数主线,建立其与方程和不等式之间的联系,告诉学生方程和不等式可以看成函数在特殊情况下的表达,从而在学生脑海中构建关联的知识体系;另外,教师还需要关注同一主题内容与方法的一致性,比如这节课建立一次函数、一元一次方程和一元一次不等式联系的方法同样适用于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式;最后,教师在教学中要理解数学知识的前后关联性和整体性,只有做到整体把握,才能确保课堂教学内容与教学环节的取舍科学合理,才能确保课堂教学的短期目标与数学教育的长期目标相得益彰[2]．