创新数学探究实验 培育数学理性精神——以“尺规作图寻找椭圆的中心”为例*

陆 庭

(江苏省太仓高级中学 215400)

理性精神是人们在通过逻辑思维对事物进行抽象、概括从而形成概念、判断或推理的认识过程中反映出的寻找事物本质及其规律的精神．著名数学家克莱因在《西方文化中的数学》中写道:“数学是一种理性的精神,正是这种精神,激发、促进并推动人类的思维得以发展完善．”[1]高中数学在培育理性精神方面有着重要的意义,是培育学生理性精神的重要载体．张奠宙先生把数学理性精神概括为:“独立思考,不迷信权威;尊重事实,不感情用事;思辨分析,不混淆是非;严谨推理,不违背逻辑．”[2]数学理性精神的培育能帮助学生发现理性的魅力,提高通过思考与推理获得成功的信心和应对挫折的承受力,养成坚忍的优秀品质．

数学探究实验,以学生的动手操作、动脑思维为基础,通过观察、猜想、实验、推理、概括等过程,让学生自己发现数学的探究或验证过程．这种学习方式能使学生体验数学建构,逐步理解数学概念,从而培养学生的学习兴趣,激发学生的学习热情．因此创新数学探究实验对于培养学生的数学理性精神有着重要的促进作用[3]．

1 创新数学探究情境,凸显“形式化”思想

·片段1

师:古罗马时期杰拉什(Jerash)的椭圆形广场(图1)中央曾有一个高台,安放着太阳神的雕像,现在在杰拉什艺术节期间还作为艺术节的圣火燃放地．那么当年工人们建造完椭圆形广场之后该如何去寻找椭圆的中心来安放太阳神的雕像呢?

图1 杰拉什(Jerash)椭圆形广场

生:要找到安放太阳神雕像的位置,就是要找到椭圆的中心．

师:当时没有现代的科技手段和测量仪器,如何在偌大的椭圆形广场上找到它的中心呢?

生:可以将广场等比例缩放到图纸上去研究,用尺规作图找出椭圆的中心．

师:非常好的想法,我们现在的建筑行业很多都采用这样的策略．我们这一节课的主要任务,就是用尺规作图来寻找椭圆的中心．

本节课以真实存在的椭圆广场作为切入口,结合时代背景,让学生将“安放太阳神雕像”这一实际问题抽象为“用尺规作图寻找椭圆的中心”这一数学问题,在教学中凸显了形式化的思想．教师是课堂的组织者,也是教学的引导者,通过探究实验情境的创设,让学生明确了本节课的探究主题,知道“要研究什么”,激发了学生进行数学探究的兴趣,进而为学生通过实例来提出问题、建立模型、充分挖掘已有的椭圆知识来解决问题埋下伏笔,让学生经历探究数学问题的全过程,促进探索精神与实践精神的发展,引导学生把握数学本质．

数学源于生活又高于生活,数学实验是抽象的,但抽象实验来源于现实生活的实践[4]．因此,在数学探究实验教学中,通常先回归到直观和具体的生活实践中,通过创设适合学情的实验探究情景,使数学的抽象回归到具体,让数学实验的目的更好理解,激发学生寻找事物本质的好奇心．

2 创新数学探究过程,注重“数学化”思想

数学化的过程通常就是对数学知识的探索、发现、分析、总结的过程．运用数学化思想进行课堂教学,是一种鼓励和引导学生在数学活动中进行动手实践、独立探索的教学方法．

·片段2

在寻找椭圆中心的过程中(GGB操作),有学生指出,直接画一条横线,与椭圆交于A,B两点,通过细致的操作让两点的纵坐标一样(GGB原始精度为0.1,这位学生确实做到了),再作线段AB的中垂线,与椭圆交于C,D两点,作线段CD的中点O(图2),即为椭圆的圆心．

图2 学生求解过程1

师:请问你这样做的依据是什么?

生:因为椭圆是对称的图形,我只要作x轴的平行线,那么它与椭圆的交点关于y轴对称,再作AB的中垂线,它必然过椭圆的中心……

师:想法非常好,但是现在GGB设定的精度是0.1,如果我改成0.01,A,B的纵坐标还一样吗?(实践发现不一样)如果改为0.000 1呢?还能手动操作让A,B的纵坐标一样吗?(实践发现非常困难)

数学探究的过程是不断试错寻求正确结论的过程,教师应善于发现学生的思维误区,适时引导学生发现错误,及时改正,在探究实验的过程中注重数学化思想．以往的数学实验以教师为主导,要么教师直接向学生演示实验过程,要么学生按照教师的步骤来做数学实验,学生感受不到真正的探究过程．学生的能力都是在多次尝试中积累出来的,而不是靠教师教出来的．教师是学生的指路人,一句“改成0.01,A,B的纵坐标还一样吗?”让学生明白了自己的错误在哪;一句“如果改为0.000 1呢?还能手动操作让A,B的纵坐标一样吗?”也让学生彻底明白了靠手动操作使得A,B的纵坐标相等是不可能实现的．

·片段3

生1:圆和椭圆差不多,我们可以利用圆的任意两条弦的中垂线来找到圆心,那可不可以寻找椭圆中弦的中垂线来找中心?

生2:椭圆中的任意一条线段位置不固定,所以它的中垂线就不一定过中心,中点加上垂直的限制条件是不是太强了呢?

生3:如果找线段的中线行不行?

生4:可是一条线段的中线只知道过中点,如何确定它的方向呢?

生5:一条线段不行,那两条线段行不行呢?

生6:两条线段中点连线确实把直线确定了,但是椭圆的中心在哪里呢?

学生通过相互交流不断更正(图3),慢慢地打开了思路,将数学问题探究得更加充分．一位学生兴奋地站起来说他画出了两组平行线段的中线,发现这两组平行线段的中线的交点就是椭圆的中心．教师随即让这位学生用GGB验证,发现果真如此．(学生鼓掌)

图3 学生求解过程2

人本主义理论认为“人的求知欲和学习的潜能会在合适的条件下完全释放出来”．将探究过程还给学生,教师从实验的主导者转为引导者,放手让学生通过对问题的不断探索及对方法的不断修正,从有争议的问题突破,提出不同的看法,发表不同的见解.在交流的过程中思维全方位打开,思维的不断碰撞与叠加使得难以解决的问题通过集体的智慧被创造性地解决了,这种成功的喜悦将会更加激发学生的学习兴趣,进而提高他们的学习动力．

3 创新数学探究证明,追求“演绎化”思想

学生发现了用尺规作图寻找椭圆中心的方法并不意味着这个探究实验的结束,精彩的部分恰恰才刚刚开始．理性精神的内涵包含了追求真理的过程．特级教师张乃达先生强调:“数学证明是理性探索精神的产物,是理性精神的启蒙教育,是理性探索活动中的重要环节．”[5]数学证明是演绎化思想的重要表现形式,创新数学探究证明就是要让学生用严谨的逻辑推理来论证探究实验过程的正确性,是培养学生数学理性精神的重要方面,也是设计和进行数学证明的切入点．

·片段4

师:我们通过GGB验证了两条平行弦的中点连线必定过椭圆的中心,那你能证明这个结论吗?

图4

证明 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)．

(1)若AB斜率不存在,则x1=x2,x3=x4,从而E(x1,0),F(x2,0),所以EF:y=0经过椭圆的中心．

师:观察证明过程,结合我们已有的知识,你有什么新的启示吗?

在数学教学中培养演绎化思想既要把学生的注意力吸引到逻辑推理的严谨性上去,又要激发学生的创造力;不只训练推演的能力,也要加强归纳和类比的能力;不只要求发展收敛思维,也应要求发展发散思维．在抽象、论证、演算、推广数学问题时,能够把具体与抽象、特殊与一般、逻辑的严密性与形式的生动性等很好地结合起来．

4 结语

数学探究实验不仅承载着验证数学命题真伪的任务,更加肩负着通过实验培养学生数学理性精神的重任．“命题真伪的判断与证明”“检验命题成立的条件”“将命题推广到一般化”,这些实验探究的过程都将培养学生去思考、发现新的问题,获得新的知识,从而达到弄清问题的本质这一最终目的,从根本上培育学生的数学理性精神．

数学教学中的形式化、数学化、演绎化思想无一不突显出理性精神．在数学教学中这些思想不应仅局限于对一些数学知识的理解,而更应该提倡追根溯源、弄清实质、理清脉络,从而获得对知识更深层次的理解．总之,培育学生的数学理性精神需要改变以往数学实验中单一的教师讲授模式,应创新数学探究实验,在实验中培育学生用数学的理性思维分析、处理实际问题的能力,从而将数学知识与生活中产生的数学现象结合起来,让学生自己去感受、探索世界万物中数学的本质、原理及其内在的联系．