基于问题串下的高中数学教学设计

龚维维 董白英

【摘要】新高考背景下，“问题串”式的教学方法是培养学生核心素养的重要途径之一，有效“问题串”的设计可以激发学生欲望，帮助突破重点、难点，提高学生的解题能力，从而提高数学课堂教学的有效性.本文以“等差数列的前n项和公式”为例，通过题目变式、知识的易错和易混点、新旧知识的联系、学生的探究欲望等四个途径探索基于“问题串”的教学设计方案.运用“情境+问题串”的形式进行教学设计和实践，帮助高中生把握数学本质，提高学生数学核心素养，为后续教学内容奠定基础.

【关键词】“问题串”式教学方法；等差数列的前n项和公式；数学教学设计

【基金项目】宁夏自然科学基金项目（2021AAC03234）

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“新课标”）提出：数学课程的核心目标是促进学生数学学科核心素养的提升，教学目标是在帮助学生获得必要的基础知识和基本技能的基础上理解数学思维，逐步提高学生在课堂学习过程中发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力.所提出的四个有关能力说明新课标对学生的问题意识提出了更高的要求，因此新课标更加重视学生问题意识的培养.这就要求教师在教学中创设合适的问题，设计有效的数学活动，帮助学生把握数学本质，派生问题意识，构建合理的知识体系，进而促进学生数学学科素养的发展.

本文选择人教版必修五第2章“等差数列的前n项和公式”进行基于“问题串”的教学设计.作为新授课，其重点在于如何让学生推导等差数列前n项和公式，体会一般到特殊的数学思想和方法，进而提高学生思维能力.因此，在教学设计中，教师以“问题串”作为脚手架，层层递进，让学生在一系列问题中感悟新知，逐步突破教学重点和难点，提升逻辑推理和数学运算等核心素养.

一、“问题串”的相关理念

现代教育理论认为，学生亲身经历思考、实践、探索是学习新内容最有效的方法，特别是基于问题驱动的教学方案，更有助于学生发展思維能力、培养数学核心素养和提高数学兴趣.而“问题串”是指基于学生知识基础，结合学生思维发展，围绕课程教学目标，在一定教学范围内，按照知识的逻辑结构设计出一系列具有内在联系的有效问题.“问题串”中的问题不仅是思维训练的良好载体，还是思维方向的指引者，它既可以是数学问题本身，也可以是导向性、策略性或元认知性问题.

二、基于“问题串”的等差数列前n项和公式教学设计

“等差数列前n项和”是差数列的定义、通项公式及其相关性质的后续教学内容，其公式的推导过程不仅蕴含丰富的数学思想方法、核心素养，而且是培养学生思考能力的重要载体.整个教学过程以“问题串”为支架，驱动学生进行探究.

（一）创设情境化的问题串，激发学生的求知欲

创设恰当的教学情境、提出合适的数学问题不但有利于学生发展数学核心素养，还能营造轻松愉快的课堂学习氛围，激发学生求知欲，达到事半功倍的效果.

【问题一】

创设情境：欣赏一段视频一座用白色大理石建成的宫殿式陵园，墙壁上有一个由体积相等的圆宝石镶嵌而成的等边三角形，一共有100层.从上到下数，第一层有1颗圆宝石，第二层有2颗圆宝石，以此类推，下一层一直比上一层多一颗圆宝石.那么你能计算出墙壁上一共有多少颗宝石吗？

设计意图：以故事作为情境生成问题，可以激发学生的探索兴趣，使学生积蓄强烈求知欲，对整节课的学习创设了良好的情绪状态.

【问题二】

老师：德国数学家高斯在他很小的时候就为我们提供了一种巧妙的数学方法，大家知道他是如何计算的吗？

学生：1+100，2+99，3+98，…，49+52，50+51，即把第一个数和最后一个数配对，第二个数和倒数第二个数配对，依次进行下去，这样就把100个数分成了50个组，而每一组的和都是101，总共50组，所以结果为101×50=5050.

设计意图：利用情境设计引发学生思考，顺其自然引入高斯算法，为后续学习做好铺垫.

【问题三】

老师：高斯算法的巧妙之处在哪里？

学生：首尾两两配对相加，得到相同的数，进而把加法运算转变为乘法运算.

设计意图：使学生感悟数学中化繁为简的化归思想，进而提升学生的思维能力.另外，让学生自己总结提炼，可以提高学生的表达和归纳能力.

在情境的基础上精心设计“问题串”，从提出问题到解答问题再到总结结果，设计过程层层递进，既满足学生的认知发展，又使学生易于接受.“问题一”是情境导入，引出问题，“问题二”和“问题三”的追问，引发学生思考高斯算法的本质，也为学生感知数学和感悟数学提供了一个契机.

（二）设计梯度化的问题串，培养学生思维能力

为提高学生思维能力，应从学生已有的知识和能力出发，遵循科学的认知规律，按照“特殊到一般，层层深入，梯度递进”的思路进行问题串的设置.

【问题四】

老师：假设在墙面上增加第101层.请同学们计算出大理石墙面从第1层到第101层一共有多少颗宝石？

学生1：利用上一题的答案1+2+…+100=5050，再加上101就等于5151颗.

学生2：可以用高斯算法进行首尾配对（和为102），配成50对（总和为50×102=5100），再加上中间数51（未能配对的数），最后结果为5151.

教师：学生2运用了高斯算法进行首尾配对，但当对101个数进行分组时，中间项51不能完成分组.不能完成配对的原因是什么？

学生：1+2+…+101的项数是奇数.

教师：因此，在使用高斯算法时，奇数项和偶数项的配对是有区别的.

设计意图：此题是对上一题的简单变式，项数从偶数变成奇数，目的是加深这生对高斯算法的理解，发现在奇数项的式子中产生不配对的问题，与学生大脑中认知产生冲突，从而激发他们的求知欲望，并为后续推广到n项和打下基础.

【问题五】

教师：假设大理石墙面有n层圆宝石，一共有多少颗？

学生：求1+2+3+4+…+100+…+n=？

设计意图：从具体的有限项求和推广到抽象的无限项求和，使学生经历从特殊到一般，为从“高斯算法”过渡到“倒序相加法”做好铺垫.

【问题六】

教师：这个问题能用高斯算法吗？如果可以，首尾配对的对数是多少？

设计意图：有前面奇数项问题的铺垫，学生运用高斯算法进行配对，会发现n的奇偶不确定，进而联想到对n进行分类讨论，符合学生的认知发展.

学生在高斯算法以及偶数项求和的基础上，容易算出“问题四”的奇数项求和，为后面推广到无限项做好铺垫.“问题五”是在问题四的基础上，从有限项推广到无限项，同上一题相比，此题对学生的思维能力要求更高.“问题六”虽改变了题目的呈现方式，但其目的仍是让学生对高斯算法的本质进行思考.这三个问题层层递进，环环相扣，使学生对高斯算法的本质有更深刻的理解.

（三）设计精细化的问题串，帮助突破教学重点和难点

教师紧扣教学的重点和难点设置问题串，如同抓住了教学内容的精髓.随着问题串中的问题一步一步地被解决，教学的重点和难点也逐渐被攻克，为高效课堂奠定坚实的基础.

【问题七】

老师：假设再给数量相同的宝石，大家可以设计出一个什么图案，能否快速计算出从第一层到第n层的宝石数目，如图1所示（同时进行多媒体展示）.

老师：从以上图片中可以得到什么启发？

学生：如果记S=1+2+3+…+n，在它基础上加上n+（n-1）+…+2+1，就能实现高斯算法中两两配对得到相同的数.

教师：通过这种方法可计算出首项为1，公差为1的等差数列前n项和.

设计意图：需要对n进行分类讨论，然后求解，而该环节的关键是找出避免分类讨论的办法，需要教师搭建一个恰当的“脚手架”突破教学中的难点.除此之外，通过用两个相同的三角形拼成一个平行四边形的数形结合方法推导公式，这样的设计与学生已有的认知相结合，可以激发学生思维的活跃性，有效地培养学生的数学思维能力，同时能提高学生的创造性思维品质.

【问题八】

设计意图：鼓励学生从新旧知识间的联系，回归定义等角度推导公式1的另一表达式，在推导过程中，学生自己经历猜想和验证，达到对知识主动建构的目的.学生亲身经历这个过程后，感受到成功的喜悦，逐步加深学习数学的兴趣.

针对本节课的难点，教师将教学任务分解成难度较小的四个问题，设计由特殊到一般的变式题目，先引导学生推导出一般的等差数列前n项和，并以此作为先行组织者材料，使学生理解如何运用高斯“配对”，为引出倒序相加法做好铺垫.最后，联系旧知（数列定义）推导另一表达式.

三、结论与建议

在数学教学中，问题是激发学生思维与探究的钥匙.而教师通过设计合适的“问题串”，才能将教材中的逻辑结构转化为学生的认知结构，才能把课本上的静态知识转化为课堂上动态的建构过程.因此，在进行“问题串”教学设计时，应注意以下几点.

（一）利用新旧知识的联系设计“问题串”

在数学上，很多知识点都是另一知识点的拓展，所以设计问题串时可以抓住新旧知识点间的内在联系进行设计，从而降低学生学习的难度，使学生在学习数学的过程中能获得良好的数学体验，也能提高学习数学的兴趣.

（二）利用知识的易错、易混点设计“问题串”

在数学教学中，经常学生在课堂上能听懂，但课后做题时犯错的现象，这种情况说明学生还存在一些知识盲区，对一些易错、易混的知识点的理解不到位.因此，教师可以依据具体的教学任务以及学生的实际情况，利用知识点的易混、易错点进行“问题串”设计，加深学生对这些知识点的理解与认识，从而避免学生出现似是而非的情况.

（三）利用题目变式设计“问题串”

在数学教学中经常会遇到解题方法非常相似的一些问题，这些问题可以归结为一类题型.教师可以通过增加或改变条件拓展出数道题，进行“问题串”设计.让学生们领略数学中变化之美.这样的设计不仅可以提高学生的知识迁移能力，培养学生举一反三的学习能力，还可以引导学生进行自主创新.

（四）利用学生的探究欲望设计“问题串”

未知的学习会激发出学生强烈的探索欲望，从而培养学生浓厚的学习兴趣，将学习模式由“让我学”转换成“我要学”，让学生占据学习的主导地位.因此，利用学生的探索欲望设计“问题串”，可以让学生真正体会学习的乐趣.

【参考文献】

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[2]王先进.谈问题串的设计方法[J].数学通报，2012，51（07）：17-19+23.

[3]趙艳娇.高中数学课堂教学问题设计研究[D].四川师范大学，2015.