高观点下高考统计与概率解题实践与反思

杨爽 苗凤华

【摘要】统计与概率问题是高中数学学习的主线之一，也是高考中考查的重点内容.统计与概率部分知识承载着发展学生数学运算、数据分析等核心素养的重要作用.而在一线教学中，高观点下的解题方式及解题思想对于教师统领知识体系，把握知识脉搏，提升教师的专业能力有着重要意义.文章以2021年全国乙卷17题为例，从高观点角度与中等数学教育两个角度进行解题剖析，对统计与概率的教学实践过程进行了反思.

【关键词】高观点；统计与概率；解题研究

一、研究背景

在高中的四条知识主线中，统计与概率作为其中之一，是学生在平时的学习、生活中频繁接触、感知的，拥有着丰富的实际应用背景.随着新课改的不断深入，近几年高考试卷中的统计与概率大题难度不断增加，2019年高考试卷中统计与概率大题的难度已经高于导数问题.统计与概率问题在整个高中数学知识体系下是非常特殊的一部分，首先，统计与概率问题在高考试卷中的地位十分特殊；其次，在高中数学教学中，六大核心素养中的数据分析素养是专门为统计与概率设置的；最后，统计与概率问题是学生在十余年的教育活动中，唯一一个从小学一直延续到大学的数学分支.因此对统计与概率问题进行高考真题解题研究，对于学生自主复习和教师完善教学具有重要意义.

二、真题再现

本文以2021年全国乙卷第17题为例，进行普通解法和高观点下解法的案例分析.

某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

三、试题分析

该题主要是根据现实生活生产问题进行抽象，以某种设备厂房为例，构建了一个生活中的问题情境.通过该问题情境下收集处理得出简单的数据，考查学生数据分析的核心素养，该题所考查的内容并未超出中学教材的范围，第一问求平均值、方差；第二问的显著性判断代入给定公式即可求解.从高中数学教学内容角度来看，该题属于较为常规的题型，但其中统计公式背后蕴含的数学原理仍然值得思考.下面从题目解答与题目分析两个角度进行内容展开：

题目中显著性公式的来源：基于假设检验理论的双样本平均数差异性检验.假设检验是由K.Pearson于20世纪初提出的，经过了学者费希尔对其细化，最终，相对完整的假设检验理论由奈曼和E.Pearson提出.

在实际解题过程中，利用相应参数进行代入比较即可判断最终结果.

笔者根据对近10年高考试题中概率与统计问题的题型与题量的分析，发现命题形式较为稳定，多以解答题以及填空题的形式出现.主要考查的知识点包括：计算频率、概率、均值、标准差；计算相关系数；计算估计值与预测值等.因此概率与统计题型类试题一般难度不大.但中学一线教师往往需要在高观点下进行研究，以方便从更高角度把握整体命题结构.

四、高观点下解题研究

在一线实际教学过程中，教师通常较为重视从算法的角度进行考查平均数或方差等内容.容易将该类题目完全变成公式的应用，而忽略了其内在的统计学上的意义.从发展学生数学核心素养角度来说，这种方式只简单考查了学生的数学运算能力，而并未深层次地考查学生的数据分析素养.这对于学生数学能力的发展也是不利的.因此从教师的角度而言，也应当高屋建瓴地掌握相关高等数学视角下的知识，从更高观点把握题目，剖析题目中蕴含的统计学知识和数学思想，在更高层次上进行高观点下的解读.下面对该题的两问进行高观点下的解题研究.

（一）第一问分析

由于要检验的是样本所取自的总体的参数值大于或小于某个特定值时，所采用的一种单方面的统计检验方法，因此为单侧检验.根据原假设，可知改善后与改善前来自不同的正态总体.

第三步，选择检验统计量，给出拒绝域形式.虽然样本方差已知，但总体方差未知，故选择t检验方法，检验统计量为

五、研究反思

（一）突出数据处理的基本过程

在实际教学过程中，教师要通过统计与概率部分的知识发展学生数据分析的数学学科核心素养.而这种素养的形成，需要在教学过程中突出数据处理这一基本环节.通过数据处理环节的教学，学生能够不断地接触生活中的数据、收集相关的数据、整理相关的数据，并对其进行深入的分析和处理.其实收集整理、分析综合的过程就是数据处理的基本过程，只不过在一线教学当中往往被许多教师忽略.

（二）在统计过程中学习统计

统计与概率背后反映的数据观念，指的是学习者通过数据能够联想到相关的知识；推测有关的结果；并且能够自然而然地利用统计与概率的知识来解决当前问题和隐性的实际生活问题.统计与概率的学习不仅是简单的公式识记、算术的应用，也不仅是简单地对条形图、柱状图的认识和数据的读取，而是应当在实际真实存在的情境当中，在统计过程当中学习统计.换言之就是利用带有情境性的問题进行教学，通过引导学生制作的统计图、统计表等激发学生的统计意识.教师也可以利用现代化的教学工具模拟一些题目中的图表，让学生感受现代信息技术的应用.这是通过统计过程学习统计的重要渠道.

（三）设计统计概率的学习线索

教师在教学活动中重要的一点就是课前的教学设计，而其中必须要明确的问题就是学生在学习过程中的线索.学习线索是学生在统计与概率部分进行学习的一条主线，所有的知识都紧密地围绕着该线索进行展开.（1）设计线索时可以围绕知识内容进行展开，通过高观点下的内容设计，可以审视统计与概率知识的来龙去脉，也可以帮助学生强化对知识结构的整体认识.（2）设计线索也可以围绕思想方法进行展开，通过对统计与概率知识背后蕴含的统计学思想、大数定律内容进行展开，可以将一些看似无关的、游离在学生头脑之外的零散知识进行巧妙的串联.（3）设计线索时也可以围绕数学素养展开，如统计与概率中的最重要的数据分析，从深层次挖掘学生的情感态度的提升，从而更好地落实学科核心素养.

（四）提高学生辨析题目的能力

统计与概率问题的解题关键就在于，能够从题目中给出的图、表中获取对解题有帮助的信息.尤其是对数据表、茎叶图进行分析的时候，关键在于一个“辨”字，学生既要对题目题干题型进行辨析，又要找到相应的问题模型.而统计与概率的问题模型的建立，往往需要学习者经历一系列的观察、分析、判断等较为复杂的头脑中的思维活动过程.因此，教师在教学中要帮助学生提高辨析题目的能力.

【参考文献】

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