随机事件的独立性及其应用

2023-11-02韩燕玲

数学学习与研究 2023年14期

韩燕玲

【摘要】《概率论与数理统计》这门课是研究随机现象及其统计规律性问题的应用数学学科.其中随机事件的独立性作为概率论中最基本的概念之一，与后续随机变量的独立性有着密切的关联，无论是在科学理论研究还是生产、生活等实际应用中都有重要意义，因而对随机事件的独立性的学习与探讨就尤为必要.文章从随机事件的独立性概念及其应用两个方面进行概述与研究，先给出了随机事件的独立性的基本概念、相关性质和结论，再从四个方面通过具体实例展示了随机事件的独立性的简单应用.

【关键词】独立性；伯努利概型；小概率原理；应用.

【基金项目】基于郑州工业应用技术学院公共数学课程思政的教学内容与体系建设研究（JG-210102）；郑州工业应用技术学院教育教学改革研究与实践项目

一、事件的独立性概念

我们知道一般情况下P（B）≠P（B|A）.但在许多实际问题中，两个事件发生互不影响时，也就是有P（B）=P（B|A），此时有

P（AB）=P（A）P（B|A）=P（A）P（B）.

例1 袋子里装有个8球，其中3个黑球，5个白球，从中有放回地取两次，求：（1）第一次取到白球的概率；

（2）第一次取到黑球后放回，再从中取到白球的概率.

定义1 若A，B是两个事件，P（AB）=P（A）P（B），则称A，B两事件相互独立.

注：①区分两个事件互不相容和相互独立.

②若P（A）>0，P（B）>0，则有事件A，B相互独立与互不相容不能同时成立.

定理1 设有两个事件A，B，若P（A）>0，则

判断事件的独立性往往不是由定义出发，而是由实际背景来认定的.如对一批产品进行抽样检查时，有放回抽样各次是独立的，不放回抽样各次是不独立的.

例2 若令甲、乙两人单独解答同一练习题，甲能答对的概率为0.8，乙能答对的概率为0.9.试计算：（1）两人都答对的概率；（2）至少有一人答对的概率.

解（1）设事件A={甲答對题目}，B={乙答对题目}.则P（A）=0.8，P（B）=0.9.事件A与B相互独立，两人都答对为事件AB，

P（AB）=P（A）P（B）=0.8×0.9=0.72.

（2）至少有一人答对的事件为A∪B，可用多种方法求解P（A∪B）.

则称事件A，B，C相互独立，若（1）的前三个等式成立，则称A，B，C两两独立.

注：相互独立必两两独立，反之未必.

（三）伯努利概型

若随机试验的结果只存在两种可能：事件A发生（称为成功）或事件A不发生（称为失败），则我们称该试验为伯努利（Bernoulli）试验.

定义4 在相同条件下把伯努利试验独立重复地进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验，或简称为伯努利概型.

也称上式中的b（k；n，p）为二项概率.

推论设事件A在一次试验中发生的概率为 p（0

例4 若某彩票为每周开奖一次，而每次仅有百万分之一的中奖机率.若张强每周买一张该彩票，尽管他坚持了有10年（每年52周），计算他从未中过奖的概率为多少？

解若张强每周买一张，则他不中奖的概率为p（0

二、随机事件的独立性的应用

（一）随机事件的独立性与小概率原理在生活中的警示

例5 春节燃放烟花爆竹是中华民族延续了两千余年的传统，但是烟花爆竹的燃放也经常会导致意外的发生，酿成惨剧.假设春节期间北京市有100万人次燃放烟花爆竹，而每一次燃放烟花爆竹会引发火警的可能性是十万分之一，试求没有引发火警的概率为多少？

由此可见，不引发火警几乎是不可能的.

2021年的春节是北京市严格禁放烟花爆竹的第四个春节，据报道，全市仍有55人因燃放烟花爆竹而致伤.据统计，在没有禁放的2005年春节期间，北京市共接到火警警报818起，其中由烟花爆竹所引发的火灾有282起，仅除夕夜就接报火警444起，因燃放烟火引起的火情有172起.据北京市卫生局统计，因烟花爆竹燃放致伤到28家重点医院救治的就有307人，其中还有4人因燃放烟花爆竹而死亡.