一道2023年新高考解析几何试题的探究

【摘 要】通过对2023年数学新高考Ⅰ卷第22题进行解法探究、拓展探究和源头探究，聚焦于运用解析几何中的主干知识和主要方法，对借助几何图形进行的代数运算进行了优化，以期达到对高三解析几何备考复习有一定的启发.

【关键词】新高考；解法；拓展；源头；探究；反思

1 试题呈现题目 （2023年新高考Ⅰ卷第22题）在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点0，1/2的距离，记动点P的轨迹为W.

（1）求W的方程；（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于33.

2 试题评析

本题第（1）问考查求曲线的轨迹方程，考生在新教材的解析几何章节已经探究过椭圆、双曲线和抛物线的轨迹方程，因轨迹方程属于高中数学解析几何版块的基本知识，故只需要将求曲线轨迹方程的方法迁移过来就可以顺利解答本题.第（2）问是圆锥曲线最值问题，综合考查了直线与抛物线的位置关系、弦长公式、分段函数和利用导函数研究函数的性质，体现了高考试题注重在知识交汇处命题的特点.从后文解法探究中计算的结果来看，本题打破常规的地方在于第（1）问求出的抛物线方程不是形如x2=2py（p>0）的标准方程.本题考查了数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想和化归与转化思想等基本思想方法，考查了考生的运算求解能力、逻辑思维能力和创新能力，考查了考生的思维的灵活性和综合应用数学知识解决问题的能力.本题很好的落实了《中国高考评价体系》中高考考查的“基础性、综合性、应用性和创新性”等“四翼”要求.以下对这道试题进行解法探究、拓展探究和源头探究.

3 解法探究

6 总结反思

在新课标、新教材和新高考这个“三新”背景下，圆锥曲线是高中数学主干内容，其出现在高考数学解答题位置，第（2）问往往具有很强的综合性，对考生的综合思维能力和运算能力有着较高的要求，是考查数学运算、逻辑推理和直观想象素养的重要载体.是否能够破解圆锥曲线综合问题的关键在于学生是否具有较强的运算能力，2023年新高考Ⅰ卷第22题第（2）问正因为对运算能力和核心素养有较高的要求，使得许多学生在解答该题时望而生畏.上述从不同的视角出发对真題进行多解探究，探究过程中用到的弦长公式、参数方程、不等式和函数与导数都是高中数学必备知识，用到的数形结合等思想都是高中数学基本方法，通过比较不同解法，可以引导学生优化解题思维和克服思维定势，优化数学运算路径，达到运算量简化的目的.对高考真题进行拓展探究，使学生认识到隐藏在试题背后的题根背景，强化了这类问题的通法，以期达到解一题而破万题的效果.通过对真题探源，发现该真题改编自竞赛陈题，这启示我们在高中数学教学和学习中，也要引导学生涉猎一些经典竞赛数学试题，通过探究赛题为依托，开拓学生的学习视野，培养学生的创新意识，提升学生的关键能力和核心素养.

参考文献

［1］杨洪香.为什么椭圆内接矩形的边平行于椭圆的长短轴？[J].数学通讯，2005（24）：18.

作者简介 罗文军（１９８６ —），男，甘肃秦安人，中学二级教师；首批华中师范大学考试研究院特聘研究员，《中学数学教学参考》 特约编辑，《中学数学》特约编委；主要研究高中数学一题多解和高中数学文化；发表论文 １７０ 余篇，其中1篇论文被中国人民大学报刊复印资料《高中数学教与学》全文转载．