常规之中也有困惑

罗廷江

【摘 要】作为一线教师，高考过后都会对每一道高考题认真研究，静心体会命题者的初衷，潜心领略大纲对教师、对考生的要求，以及在试题中的体现。细心体会，好的试题，耐人寻味，启迪思维。

【关键词】高考题；解法；探索研究

题1：（2015年，全国卷II，理科，第17题，12分）

△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD是△ADC面积的2倍。

这是一道比较常规的三角题，试后了解，很多考生没有完整解答，常规问题，丢分严重。为探寻其中原因，循着学生的思路尝试解答本题。

先画示意图1-1。可设∠BAD=∠DAC=α，AB=c，AC=b。

寻找关系，本题只有两个主要条件，角平分线与面积比，所以解答的出发点很容易找到。（这也是高考题的一个特点，入手容易！）

由题得：

同样，利用分解因式（8b2+5）（b2-1）=0，或直接利用求根公式都可以得解；若联立（2），（3），解法类似。

这些解答，思路自然，但后者运算量较大，加之在考场上时间紧迫，有的考生只能半途而废，或得出各种错误结果。从而也失去了得分的机会！

若注意到，∠B，∠C是目标∠BAD=∠DAC=α是条件，还有另一对角∠ADB，∠ADC互补，则可设∠ADB=β，则∠ADC=π-β。

在△ABD中，由正弦定理，得AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cosβ，

（4）+（5）×2，得：2b2+c2=6将c=2b代入，易得b=1。

这正是标准答案！既避开了冗长的思维过程，也避开了繁琐的运算过程。如此解答，对考生而言，这不仅仅是节约时间的问题了。关键是发现两角互补，并创造性地应用于问题的解答。

由以上的探求，考生不会做或做不完全，可能有如下几个方面的原因。

（1）运算能力不过关，得到了关系式（方程）也解不出正确的结果，或者运算过程有误。

（2） 符号化的能力较低， 不会引进和运用简洁的数学符号。

如本题若不引进α，β，a，b等符号，无疑增加了难度，影响了思维。符号化也是一种能力，是简洁运算的一个前提，关于这一点，常被学生和老师忽视。

（3）基础知识不熟悉。

不少考生对角平分线的了解仅仅局限于所分得的两角相等，从而只得到如前讨论的繁琐解答，而得不到如下的简洁解答。注意到点D到AB，AC的距离相等，设为h，

（4）创新意识不强，思维僵化，思路受阻，平时学习的力度不够。

在考试大纲中明确要求考生能“进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题”，而考题“要注重问题的多样性，体现思维的发散性”。

正如前述对题1不同解法的探讨，对不同知识把握程度不同，得到的解答不同，同时也体现不同的能力水平和思维层次。在平时学习中，应当有意识地拓展知识面，特别对主干知识的学习和拓展，注意探索和研究问题解决的思路，培养思维的发散性。对照大纲和说明，注意研究高考试题，以及学生在高考中的表现，就知道我们离高考还有多远，也知道我们学习数学和数学教学的目标所在。

【参考文献】

[1]王金战.数学是怎样学好的（实战篇 高中版）吉林教育出版社，2011年4月第1版

[2]毛晓峰.动中有静 静中有动——一类几何问题的巧妙解法[J].中学数学教学，1995年01期

（作者单位：贵州省兴义一中）