“整合”教材例习题 提升学生思维品质

【摘 要】课本中的例习题具有示范性和典型性，是课本的精髓．结合教材例习题详细阐述“整合”例习题的五种策略，深化例习题教学，提升学生数学思维品质．

【关键词】整合；例习题；思维品质

问题是数学的“心脏”，思维是数学的“体操”．《普通高中数学课程标准（2017 年版2020 年修订）》将“注重提高学生的数学思维能力”作为高中数学教育的基本目标，不仅要学生学会相应的数学知识和掌握基本的数学技能，更应该发展学生的数学思维，培养良好的数学思维品质［1］．因此培养学生的数学思维能力是数学教学的根本目标所在，而培养学生的数学思维品质是培养和发展数学能力的突破口．

高中数学教材中的例习题是教材资源的重要组成部分，但在实际教学过程中存在教师使用率偏低、学生不重视例习题训练等问题.究其根本原因是教师未能将教材中例习题有效“整合”，未能深度挖掘例习题的使用价值．为了全面提升学生数学基本素养，我们必须对教材中例习题深入挖掘，运用题目重组、改编与拓展、变形与推广等手段进行“整合”，进而引导学生总结规律与方法，拓宽学生数学学习思维．

下面，以人民教育出版社《普通高中数学教科书》数学选择性必修第一册“解析几何”单元教学为例，笔者主要围绕“深挖例习题价值”“整合例习题顺序”“还原例习题背景”“转换例习题设问”“改变例习题情境”五个策略展开探析，促进高中生数学思维品质的培养和提升［2］．1 例习题一题多变，深挖习题价值，提升思维的深刻性

由于圆锥曲线的内部统一性，在圆锥曲线这一章的例习题中，很多例习题具有统一性，例如下面几道题目．

题目1 （第108页例3） 已知A，B两点的坐标分别是（－5，0），（5，0），直线AM，BM相交于M，且它们的斜率之积是－4/9，求点M的轨迹方程［3］．

（答案：点M的轨迹方程是x2/25+y2/100/9=1（x≠±5），即除去（－5，0），（5，0）两点的椭圆）

变式1 （第126页第1题）已知A，B两点的坐标分别是（－6，0），（6，0），直线AM，BM相交于M，且它们的斜率之积是2/9，点M的轨迹是什么？为什么？

（答案：点M的轨迹方程是x2/36－y2/8=1（x≠±6），即除去（－6，0），（6，0）两点的双曲线）变式2 （第121页“探究”）已知A，B两点的坐标分别是（－5，0），（5，0），直线AM，BM相交于M，且它们的斜率之积是4/9，求点M的轨迹方程．

（答案：点M的轨迹方程是x2/25－y2/100/9=1（x≠±5），即除去（－5，0），（5，0）两点的双曲线）

变式3 （第146页第11题）已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（－5，0），（5，0），且AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0），试探求顶点C的轨迹．

（答案：当m<－1时，顶点C的轨迹是焦点在y轴上的椭圆，并除去两点（-5，0），（5，0）；

当－1<m<0时，顶点C的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，并除去两点（-5，0），（5，0）；

当m=－1时，顶点C的轨迹是圆，并除去两点（-5，0），（5，0）；

当m>0时，顶点C的轨迹是焦点在x轴上的双曲线，并除去两点（-5，0），（5，0））．

教师在本单元章末复习时，可以选择从题目1开始逐渐展开探究，题目1是“斜率之积是-4/9”时，轨迹是“椭圆（除去两个点）”，再将之改成“斜率之积是2/9”（即变式1）时，轨迹却是“双曲线（除去两个点）”，如果改为“斜率之积是4/9”时，轨迹又是什么呢？自然就有变式2，经探究发现轨迹不再是“椭圆（除去两个点）”，而是“双曲线（除去两个点）”，学生会情不自禁地思考，并猜想得出如下结论．

结论：已知A，B两点的坐标分别是（－a，0），（a，0），直线AM，BM相交于M，且它们的斜率分别是k1，k2，则

（1）当k1·k2=－b2/a2时，点M的轨迹是椭圆x2/a2+y2/b2=1（x≠±a，a>b>0）；

（2）当k1·k2=b2/a2时，点M的轨迹是双曲线x2/a2－y2/b2=1（x≠±a，a>0，b>0）．

从上述问题处理过程来看，是不断变换题目中的关键“条件”，进行变式，将题目条件一般化，逐渐提高学生归纳概括、推理论证的能力，但又自始至终不脱离教材例习题资源，通过一题多变，深挖习题价值，有效培养了学生思维的深刻性．

2 整合例习题顺序，甄别问题差异，提升思维的批判性

课本为了讲解某类问题，例习题呈现往往是有顺序、有层次感的，有时是前后呼应，有时是各个击破，有时是层层递进．改变以现有的例习题类型为顺序的呈现方式，建议以课时为单位，按一定的逻辑顺序和知识经验进行编排习题［4］．

例如上述题目1是“斜率之积是±b2/a2”，如果改为“斜率之商”“斜率之和”以及“斜率之差”，结论又如何？于是又引出题目2、题目3以及题目4的探讨．

题目2 （第109页第4题）已知A，B两点的坐标分别是（－1，0），（1，0），直线AM，BM相交于M，且它们的斜率的商是2，点M的轨迹是什么？为什么？

（答案：点M的轨迹方程是x=－3（y≠0），即是直線x=－3，并除去点（－3，0））

题目3 （第145页第9题）已知A，B两点的坐标分别是（－1，0），（1，0），直线AM，BM相交于M，且它们的斜率之和是2，求点M的轨迹方程．

（答案：点M的轨迹方程是x2－xy－1=0（x≠±1），即除去（－1，0），（1，0）两点的曲线）

题目4 （第139页第11题）已知A，B两点的坐标分别是（－1，0），（1，0），直线AM，BM相交于M，且它们的斜率之差是2，求点M的轨迹方程．

（答案：点M的轨迹方程是y=－x2+1（x≠±1），即除去（－1，0），（1，0）两点的曲线）

通过对上述题目2—4的探讨，不难发现问题条件中的“斜率之积”“斜率之商”“斜率之和”以及“斜率之差”，对轨迹的影响还是很大的.平时教学中，我们虽然不强调学生死记结论，但是也可以让学生体会到“一字之差”，引起“千差万别”．因此，平时训练时要多加审题，注意甄别．在复习讲解题目1—4时，可以改变题目顺序，但是一定要引导学生对“积、商、和、差”辨别，从而让学生认识清楚问题的本质，提升学生批判性思维．3 还原例习题背景，揭示数学本质，提升思维的创造性

题目5 （第97页例6）已知圆O的直径AB=4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的2倍．试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系．

（答案：点M的轨迹是圆（x－6）2+y2=32，该轨迹与圆O相交）

变式 （第89页第9题）已知动点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离的比为1/2，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状．

（答案：点M的轨迹方程是（x+1）2+y2=4，是以点（－1，0）为圆心，2为半径的圆）

教材在第97页例6旁提问：“如果本例中的‘2倍’改为‘k（k>0）倍’，你能分析并解决这个问题吗？”我们可以引导学生思考并探究．事实上，题目5和变式的背景是“阿波罗尼斯圆”：如图1，在平面上给定两点A，B，|AB|=a（a>0）设点P在同一平面上且满足|PA|/|PB|=λ，当λ>0且λ≠1时，点P的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆．（当λ=1时，点P的轨迹是线段AB的中垂线）我们还可以进一步证明该轨迹中的圆是以点Cλ2+1/λ2－1a，0为圆心，r=2λa/λ2－1为半径的圆．

通过对题目5与变式的探究，类比椭圆、双曲线和抛物线的有关定义，可以总结出圆的另一种定义，即“阿波罗尼斯圆”．此问题的解决实质是还原例习题的背景，揭示了圆的另一种定义，进而提升了学生思维的创造性．

4 转换例习题设问，实现有效迁移，提升思维的敏捷性

一个问题的呈现方式与构建的认知结构越接近，就越有利于知识的迁移和运用．转换例习题设问，将难题进行类化、分解、变式，这是实现知识有效迁移的关键．通过改变试题设问让数学学习从一题到一类，从一类到一片，有效提高学习效率．为了提高学生知识运用的敏捷性水平，变式训练将有助于数学知识的灵活迁移．

题目6 （第103页第14题）已知圆x2+y2=4与圆x2+y2+4x－4y+4=0关于直线l对称，求直线l的方程．（答案：直线l的方程是x－y+2=0）

变式1 （第103页第15题）求与圆C：（x+2）2+（y－6）2=1关于直线3x-4y+5=0对称的圆的方程．

（答案：对称的圆的方程是（x－4）2+（y+2）2=1）

变式2 （第103页第19题）一条光线从点A（－2，3）射出，经x轴反射后，与圆C：（x－3）2+（y－2）2=1相切，求反射后光线所在直线的方程．（答案：反射后光线所在直线的方程是3x－4y－6=0或4x－3y－1=0）

5 改变例习题情境，抓住问题本质，提升思维的灵活性

部分学生识别综合情境的能力较弱，理解题意出现较大困难，这时适当改变例习题情境有助于学生理解题目．尤其对于开放型和探究型的例习题，可以通过题目变形，将开放型问题变为封闭型问题，以降低例习题的难度．在具体的训练过程中，通过问题情境的转换，可以提升学生思维的灵活性．图2

题目7 （第145页第1题）如图2，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心（地球的中心）F2为一个焦点的椭圆．已知它的近地点（离地面最近的点）A距地面439 km，远地点（离地面最远的点）B距地面2384 km，并且F2，A，B在同一直线上，地球半径约为6371 km．求：

（1）卫星运行的轨道方程（精确到1 km）；（2）卫星轨道的离心率．

（答案：（1）x2/60567306+y2/59621550=1；（2）e≈0.125）

题目8 （第146页第15题）综合应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜．这种望远镜的特点是，镜筒可以很短而观察天体运动又很清楚．例如，某天文仪器厂设计制造的一种镜筒长为2m的反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图3）所示．其中，一个反射镜PO1Q弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜MO2N弧所在的曲线为双曲线的一个分支．已知F1，F2是双曲线的两个焦点，其中F2同时又是抛物线的焦点，试根据图示尺寸（单位mm），分别求抛物线和双曲线的方程．（答案：双曲线方程为x2/601400.25－y2/1100320=1（x>775.5），抛物线方程为y2=9168（x+987.5））

题目7 （第146页第16题）过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F作直线与抛物线交于A，B两点，以AB为直径画圆，观察它与抛物线的准线l的关系，你能得到什么结论？相应于椭圆、双曲线如何？你能证明你的结论吗？

（答案：以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；与椭圆相离；与双曲线相交）

上述题目7—8的都是圆锥曲线的实际应用问题情境，部分学生一时难以理解问题情境，但是经过学生反复阅读题意，仔细推敲，结合有关圆锥曲线的定义，还是能够抽象出有关圆锥曲线模型的，学生通过改变例习题情境，抓住了问题本质，问题就得以解决；题目9

此题是一个结论类比推广型的题目，學生通过类比探究，问题情境不断转换，思维的灵活性也得到了锻炼．

通过上面对圆锥曲线教材例习题的一些处理方法可以看出，在教学中，教师要以数学思想方法为立足点，在例习题的教学中渗透数学思想方法．同时，教材例习题的教学不应仅仅“对答案”．例习题的教学需要根据实际情况（特别是怎样才能更好地促进学生发展的实际情况）调整教学顺序，加强变式教学，引导学生思考不同例习题中存在的共性，更要善于在例习题教学中抓住机会提高学生的思维能力，培养学生的元认知策略．

思维品质的提升与发展作为核心素养对学生发展的基本要求，对学生全面发展具有重要作用．通过对例习题变化可以实现学生对解题思维过程再次深入认识，是一种主动探究的过程，进而提升思维能力．因此，平日教学中，教师应该努力寻求一些具有可操作性的手段，通过适时的示范，切实引导学生重新认识教材的价值．由此可见，只有重视教材例习题，用足教材例习题，用透教材例习题，以教材例习题为载体，不断优化知识结构，理解数学实质，才能从机械的重复训练中解脱出来，提升复习实效［5］．

参考文献

［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020．

［2］陈姗姗.湘教版高中数学教材课后习题的编制特点及有效应用——以必修第一册“函数的概念与性质”为例［J］.新课程评论，2022（11）：34-41.

［3］人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中教科书·数学·必修一（第一册）（A版） ［M］.北京：人民教育出版社，2020．

［4］张琥.新课标高中数学教材习题教学现状分析与建议［J］.数学教育学报，2012（04）：60-63.

［5］谢维勇.例谈高三数学复习教材例习题整合变式的途径［J］.中学数学月刊，2019（07）：28-30.

作者简介 杨瑞强（1979—），男，湖北黄冈人，中学高级教师，黄石市优秀班主任，黄石市优秀数学教师;主要从事中学数学教学研究;发表论文100余篇．

基金项目 2022年湖北师范大学教学改革研究项目“核心素养下高中数学课本习题的有效使用”（基础教育2022NO.1）.