借类比迁移之力 实施数学结构化教学

杨立　冯静

摘要：数学结构化教学能够帮助学生形成完善的认知结构和思维结构，是实现学科育人的有效途径。在课堂教学中，教师要在把握知识内在联系的基础上开展整体性教学，给学生提供多元的学习素材，创设丰富的体验活动，让学生在学习活动中进行有效迁移，经历观察、操作、思考、认知的过程，帮助学生整体建构度量单位体系，从而实现知识结构化、过程结构化、学生思维结构化。

关键词：结构化教学；类比迁移；数学思维

“体积单位”是北师大版数学教材五年级下册第四单元“长方体（二）”第二课时内容，是小学数学“图形与几何”领域有关“度量单位”的最后一个内容。本节课，教材注重引导学生认识常用的体积单位，通过“做体积单位”和“找生活实例”的活动，丰富学生的感性认识，加强学生对体积单位实际意义的理解。由于很多教师过分关注对体积单位的记忆以及单位换算和体积计算结果正确与否，导致学生对体积单位实际大小的理解存在一定局限性。为了更好地构建结构化数学知识网络，教师应建立长度、面积单位和体积单位之间的联系，帮助学生自主建构体积单位，让学生在动手操作中充分调动多种感官参与，通过类比迁移进行研究，深刻感悟并理解度量本质，使体积单位的“成像”变得清晰、深刻。

一、梳理建联，凸显教学内容的结构化

建构主义理论认为，在学生已有知识经验的基础上学习新知识，学习将变得更为有趣和简单，知识结构也更为牢固。教师在上课伊始就应抛开对“体积单位”这个单一知识点的关注，从学生的认知结构入手，运用长度单位回顾面积单位，引导学生由测量一维的长度到二维的面积，再到三维的体积，通过对长度单位、面积单位结构性类比进行合理迁移，自主构建出体积单位。

【教学片段1】

师：同学们，在二年级时我们学过测量“线的长短”，在三年级时学过测量“面积的大小”，你们还记得吗？让我们一起来回顾一下。

师：这条线段长几厘米，你是怎么计量的？这个长方形的面积又是多少呢？

生：用尺子量，有 3 个 1 厘米，就是 3厘米。

生：数一数长方形里面包含 8 个 1 平方厘米，就是8 平方厘米。

教师出示课件（见图1）：

师：如果要计量一条线段有多长，就数一数它包含多少个相同的长度单位；如果要知道一个图形的面积有多大，就数一数它包含多少个相同的面积单位。

师：如果我们想要度量长方体的体积，应该用到什么单位呢？

生：体积单位。

师：还记得常用的长度和面积单位吗？

（学生汇报，教师板书）

师：你觉得体积单位会有哪些？这些体积单位应该用什么样的字母表示呢？

生：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米（m3）。

（一名学生台前板演，完成后教师指名读）

师：我们根据正方形的边长，可以确定面积单位的大小。你能借助之前的学习经验，试着描述一下这三个体积单位的大小吗？自己先练习，然后小组内说一说。

（学生练习后指名汇报）

接下来，基于学生的现实需要和知识的逻辑起点，立足于原有长度单位、面积单位的度量体验，教师可让学生讨论：为什么选用小正方体作为度量标准？把学生的思维从“是什么”延展到“为什么”的高度，让学生充分讨论、交流发现：应该用“同类的、规则的、便于计数”的标准量作为单位进行度量。这样，学生经历了一个既有“意义”又有“意思”的学习过程，使学习真实的发生。

【教学片段2】

师：请同学们看大屏幕，度量长度我们用的是线段，度量面积我们用的是正方形，那么度量体积时我们应该用什么图形呢？

生：正方体。

教师出示课件（见图2）：

师：为什么都选用小正方体作为度量标准，而不用其他的立体图形呢？

（学生小组讨论交流，讨论后汇报）

生：用球或圆柱体不行，因为它们在度量的时候占不满，有空隙，这样就不能准确地测量长方体的体积。

生：我们在测量面积时，用的就是小正方形，它在测量面积时要比长方形更方便，更容易计数，所以在度量体积时我们选用小正方体，而不用长方体。

师：你们真善于思考！你们觉得度量长度的尺子是线，度量面积的尺子是面，自然就类推出度量体积的尺子是——体，还是一个正方体。你们的想法特別好！像这样，用同类的量作为标准来和未知量比较，就是测量。

二、迁移类推，体现学习方法的结构化

“体积单位”这一课是一节生长课，教师要把着眼点放在知识的迁移与生长上，用生长代替重复。在建立1立方厘米的标准体积单位的环节中，学生通过“找一找、做一做、估一估”的活动，把1立方厘米与生活中熟悉的物体一一对应，将标准体积单位具体化、可视化。另外，“身体尺”的应用也是内容结构化的一种体现，能够丰富学生对标准度量单位的直观感知。

教师接下来可以引导学生用橡皮泥动手制作1立方厘米，使他们在直观表象中获得对“量”的独特感受，深度体验1立方厘米的大小。这样，学生在猜测与验证、思考与估测中对1立方厘米的大小进行矫正与强化，积累了测量物体体积的感性经验。

【教学片段3】

教师引导学生认识1立方厘米。

1.找一找

师：现在就请同学们在学具箱里快速找到1立方厘米的模型，找到后举起来相互看一看，说说你是怎么找到的。

生：我找到了一个最小的，它就是1立方厘米。

生：不对不对，最小的不是1立方厘米，它的棱长不到1厘米。

生：我找到的这个红色小正方体，它的体积是1立方厘米。我量了一下，它的棱长是1厘米，所以它的体积就是1立方厘米。

师：真不错！只有动手实践才是检验真理的唯一标准，数学就是需要这样严谨的态度。

师：请同学们每人拿一个红色小正方体，先量一量，再摸一摸，最后放在手心里感受一下它的大小。想一想，我们身边或生活中哪些物体的体积大约是1立方厘米呢？

生：一粒花生米的体积大约是1立方厘米。

生：指甲盖的体积大约是1立方厘米。

师：指甲盖？

生：不对，指甲盖的面积大约是1平方厘米。指尖的体积大约是1立方厘米。

教师出示课件（见图3）：

师：大家可不要小看这根小小的手指，它可是我们身体上很常用的一把“尺子”，在图上你都找到了哪些“身体尺”？

生：食指尖的宽度大约是1厘米，食指甲面的大小约是1平方厘米。

2.做一做

师：现在给大家一分钟时间，请同学们利用手中的橡皮泥做一个1立方厘米的小正方体，看谁做得又快又准。

（学生做完后，教师指名到台前汇报，让学生说说是怎么做的）

生：我是仿照着这个1立方厘米的小正方体做的，大小和它差不多。

生：我先用尺子量出长、宽、高都是1厘米的橡皮泥，然后把它切下来，体积大约就是1立方厘米了。

生：我是做完量的，调整以后它的棱长大约是1厘米，所以它的体积大约是1立方厘米。

师：现在请大家把你的作品举起来，相互看一看，有问题的快速调整一下。（教师收取7个标准的小正方体橡皮泥放在手中）

师：刚才老师收到了7名同学的作品，摆成了一个长方体，你知道它的体积是多少吗？为什么？

生：它的体积是7立方厘米，因为它是由7个体积是1立方厘米的小正方体组成的。

师：（把7个小正方体团在一起）这次呢？

生：它的体积还是7立方厘米。因为它的形状变了，体积不变。

师：如果我把全班同学的作品都收过来，想一想，它的体积又是多少呢？（学生汇报）

小结：要想测量一个物体的体积，就是看它包含多少个相同的体积单位。

3.估一估

师：老师为每位同学都准备了一块橡皮，请大家估一估，这块橡皮的体积大約是多少？

（学生估测后汇报）

师：同学们的估测结果不同，你有什么好办法？

生：我是用1立方厘米的小正方体来估测的。它的体积大约是8立方厘米，因为横着一排可以摆4个小正方体，竖着可以摆这样的两排，高只能摆一层，所以这块橡皮的体积大约是8立方厘米。

接下来，教师引导学生回顾认识立方厘米的过程，总结出认识体积单位的基本方法和步骤。教师通过类比迁移，把对立方分米、立方米的认识转化成具有探究性的学习活动，学生通过“找、做、估”等活动，自主建构知识，真切感受这三个体积单位的实际大小，进一步建立起不同体积单位的表象。

【教学片段4】

教师引导学生认识1立方分米和1立方米。

师：请同学们回想一下，刚才我们是用什么方法来学习1立方厘米的？

教师出示课件（见图4）：

师：请同学们以小组为单位，利用这样的方法来学习1立方分米和1立方米，并完成学习任务单。

（学生小组合作学习，完成后各组汇报）

师：如果我们测更大的空间，会用什么体积单位呢？（立方千米）测更小物体的体积呢？（立方毫米）

三、联结对比，促进学生思维的结构化

南京大学郑敏信教授认为，“数学的教学不应求全，而要求联。”本环节，教师引导学生根据度量单位之间的内在联系，先对1立方厘米、1立方分米、1立方米进行直观比较，再运用类比、推理等方法对所学的度量单位进行联系对比，让学生从逻辑关系等方面对度量单位形成结构性、系统性的建构，拓展学生的数学思维。

【教学片段5】

师：把1立方厘米、1立方分米、1立方米叠放在一起，你有什么感觉？

生：1立方厘米很小，1立方米好大。

生：1立方米可以容纳1000个1立方分米，1立方分米可以容纳1000个1立方厘米。

师：那么长度单位、面积单位、体积单位之间又有什么区别和联系呢？

教师出示课件（见图5）：

生：它们测量的对象不同。长度单位测量的是物体的长度，面积单位测量的是物体表面的大小，体积单位测量的是物体的体积。

生：无论是度量长度、面积，还是体积，都是数一数有多少个相同的度量单位。

师：这节课，同学们通过已有的长度和面积单位的学习经验，类推出了体积单位，并且感受了它们的实际大小。不同的度量对象需要选择不同的度量单位，但无论是度量长度、面积还是体积，它们的本质都是一样的，都是看度量对象里包含多少个相同的度量单位。其实，小学阶段我们学过的计数单位、质量单位、时间单位方面的知识也都是如此。

本节课，教师引导学生从复习回顾入手，巧妙沟通了长度、面积和体积三者之间的联系，利用旧的“度量单位”创造新的 “度量单位”，再创设丰富的操作体验活动，深化标准单位量感。最后，教师通过类比迁移，将教学从点状向结构化转变，使学生在整体上感知数学知识的关联性、系统性、结构性，形成整体性、关联性的结构化思维，从而真正提高学生的综合素养。

参考文献：

［1］高欣雅.数学结构化教学探索［J］.小学教学研究，2023（4）.

［2］薛群.从“点状”转向“立体”：数学结构教学探索［J］.数学教学通讯，2020（3）.