利用立体几何体积问题，促使直观想象素养提升

吴茎洁 吴子昊

［摘  要］ 立体几何教学是提升学生直观想象素养的重要载体之一，高三复习往往涉及复杂的立体图形的体积问题.文章以“割补法”为视角，分析三种类型的立体几何体积问题，并通过设计、实践教学，以有效提升学生的直观想象素养.

［关键词］ 割补法；立体几何；体积问题；直观想象

引言

《普通高中数学课程标准（2017年版）》将直观想象列为数学六大核心素养之一，并指出其重要作用：直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础［1］. 直观想象是一种重要的思维方式，也是数学认知的重要环节［2］，教学中如何培养学生的直观想象素养是值得教师研究和关注的问题.

有研究指出，直观想象素养的本质是基于几何图形进行想象的思维能力［3］，立体几何教学则是提升学生直观想象素养的重要载体之一，学生借助几何直观、空间想象能感受物体形状的多样性，利用几何图形能解决数学问题. 因此，利用立体几何问题，在课堂教学中可有效发展和提高学生的直观想象素养.

教学内容解析

在高中数学中，立体几何在发展学生的直观想象素养方面发挥着不可替代的作用. 在教学中，教师要结合立体几何内容的内在逻辑和学生的认知特点，让学生体会一般到特殊研究立体图形及其位置关系的过程［4］.而高三复习往往涉及如棱锥等立体图形的体积问题，如何巧妙地将复杂图形分割或补全为较简单的图形或特殊图形，把复杂问题简单化是立体几何教学的难点之一.

割补法在高三第一学期推导锥体体积公式时起到了重要作用，是实现空间几何体之间相互转化的一条有效途径. “割”能把复杂或不熟悉的几何体分割成简单的或熟悉的几何体，“补”能把不熟悉的几何体补全为熟悉的几何体，将复杂问题通过几何体之间的相互转化变得简洁明了.掌握割补法能使学生发现未知几何体与已知几何体之间的内在联系，其蕴含了辩证统一的唯物主义思想，从这个意义上来说，割补法符合立体几何内容的内在逻辑与学生的认知特点，对培养学生的直观想象素养有重要意义.

本节高三专题复习课以“割补法”为主题，使学生感悟教材推导锥体体积公式所用的数学思想方法，引导学生对三种类型的立体几何体积问题进行分析、求解，使学生掌握解决此类与棱锥有关的立体几何问题的一种常用方法——割补法，体会割补法蕴含的数学化归思想. 除此之外，通过三种类型的立体几何体积问题的解决，归纳其共同点，分辨其差异性，总结出解决此类问题的一般方法和规律，加深学生对此类问题的理解程度，增强学生运用几何直观和空间想象思考问题的意识，有效提升学生的直观想象素养.

教学设计与实施

1. 教学目标

（1）分析棱錐有关问题，使学生掌握解决此类问题的一种常用方法——割补法.

（2）通过几何体的转化，体会割补法蕴含的化归思想，提升学生的直观想象素养.

2. 教学重点与难点

（1）重点：棱锥有关问题中割补法的应用.

（2）难点：通过割补法发现未知几何体与已知几何体之间的内在联系.

教学过程

1. 课堂引入

割补法在沪教版高中教材中推导锥体的体积公式时起到了重要作用（实际上，在2020年出版并投入使用的沪教版高中数学新教材必修第三册中也有类似内容，但由于笔者执教的高三年级的入学时间为2019年，当时尚未使用新教材，故选取沪教版旧教材中的相应内容作为教学载体），我们先将n棱锥分割成n－2个三棱锥，将求n棱锥的体积问题转化为求三棱锥的体积问题.

设计意图 出示本题旨在考查学生是否真正掌握了割补法并且能灵活使用. 求解本题不仅可以采用“割”的方法，还可以采用“补”的方法，方法较多，学生能够从不同角度进行探究，体会割补法蕴含的化归思想，从而提升直观想象素养.

教学实践反思

在解决立体几何体积问题时，部分学生往往感到图形不规则，难以使用常规方法进行计算. 实际上，空间图形中有一些简单的“基本图形”，如正方体（长方体）、正四面体、球，它们类似于平面图形中的直角三角形、等边（等腰）三角形、圆. 正方体（长方体）作为最基本的空间图形，其原型在生活中随处可见.这节课讲解的割补法正是运用了这一点，把与棱锥有关的图形转化成正方体（长方体），将不熟悉的复杂图形化归为熟悉的图形，使复杂问题简单化. 另外，在运用割补法对空间图形进行“割”“补”的操作过程中，也锻炼了学生的空间想象能力，能有效提升学生的直观想象素养.

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）［M］. 北京：人民教育出版社，2018.

［2］ 史宁中，林玉慈，陶剑，郭民. 关于高中数学教育中的数学核心素养：史宁中教授访谈之七［J］. 课程·教材·教法，2017，37（04）：8-14.

［3］ Kozhevnikov M，Hegarty M，Mayer R E. Revising the Visualizer-vervalizer Dimension： Evidence for Two Types of Visualizers［J］. Cognition and Instruction，2002，20（1）：47-77.

［4］ 李海东. 基于核心素养的“立体几何初步”教材设计与教学思考［J］. 数学教育学报，2019，28（01）：8-11.