浅析“向量法”在高中数学立体几何中的应用

吴宗烨

【摘 要】“向量法”是高中数学中解决立体几何的一种常用的方法，它可以解决其中许多复杂的题目。因为立体几何和解析几何不同，光有理解能力是不够的，它要求学生具有良好的空间想象和逻辑推理能力，因此对我们很多同学来说，立体几何是比较复杂的。“向量法”的引入为学生解决立体几何中的题目提供了一种新的方法，利用“向量法”中数形结合的思维模式可以将空间或平面的线线、线面、面面的抽象位置关系转化成计算问题，从而解决同学们在学习过程中空间想象和逻辑推理能力不足的缺点，为更好的学习提供新的方法。

【关键词】高中数学；立体几何；向量法；应用

高中数学中的立体几何是一种多种知识点结合，考察同学们空间想象和逻辑推理能力的典型性题目，这就要求同学们具有一定的数学素养和较强的解决数学问题的能力。近几年来，老师在对高考试卷的分析中发现，立体几何的题目在数学考试中出现频率越来越高，难度也越来越大。“向量法”的引入，为众多空间想象和逻辑推理能力不足的同学解决了这一难点，因为“向量法”兼有几何和代数的双重身份，它的数形结合的思想把空间或平面的线与线、线与面、面与面的抽象位置关系转化为计算问题。“向量法”通常用来解决空间位置关系、空间距离、空间角这些问题。本文就此方法在高中数学立体几何中的应用进行具体的分析。

1.高中数学立体几何引入空间向量的必要性

在高中数学里专门设置了立体几何这一部分，但是在这一部分中空间角和空间距离这些问题利用一些传统的方法较难解决。将“向量法”引入后其中数形结合的思想就可以把空间或平面中线线、线面、面面的抽象位置关系转化为可计算问题，避免了添加各种辅助线的难处，使得解题步骤和解题方法较传统方法都有了很大的简化，使我们从复杂的图形分析中解脱出来。在立体几何学习过程中像“三垂线定理”、“线面垂直的判定定理”都是采用空间向量推导来的，向量不仅可以帮助我们解决立体几何的问题，它在解析几何、不等式、代数式、复数及三角函数等方面也有着广泛的应用，对同学们的学习有着重要的指导意义。因此，向量成为我们学习高中数学时一个强有力的解题工具。

2.“向量法”解决立体几何题目的一般步骤

第一，用向量将立体几何题目中涉及的点、线、面表示出来，建立起立体图形，与空间向量的联系；

第二，通过向量的运算，研究立体几何中的点、线、面，将立体几何中的“形”转换成“数”；

第三，将第二步中向量运算的结果转化为几何关系，将几何关系中的“数”转换成“形”。

3.“向量法”在立体几何中的具体应用

3.1用“向量法”证明立体几何中有关平行的问题

（1）证明两直线平行的方法思路：在两直线上分别取不同的两点，得到两个向量，转化为证明两向量平行；（2）证明线面平行的方法思路：求面的法向量，在直线上找到两个不同的点得一向量，证明这个向量与法向量垂直（证明数量积为0），则证明线面平行；（3）证明面面平行的方法思路：求出两平面各自的法向量，转化为证明两法向量平行，则两平面平行。

3.2用“向量法”证明立体几何中有关垂直的问题

（1）证明两直线垂直的方法思路：以不共面的三向量为基底，然后用基底表示欲证的两直线的方向向量，验证这两个方向向量的数量积为0；（2）证明线面垂直的方法思路：求面的法向量，在直线上找出不同两点得一向量，证明该向量与法向量平行，则可得线面垂直；（3）证明面面垂直的方法思路：分别求出两面的法向量，证明两面的法向量垂直，则可得面面垂直。

3.3用“向量法”解立体几何中的空间距离问题

3.4用“向量法”解立体几何中的空间角问题

（1）求两线间夹角的方法思路：以不共面的三向量为基底，然后用基底表示欲求的两直线的方向向量，求出两直线方向向量的夹角或夹角的补角；（2）求线面夹角的方法思路：先求出线的方向向量与面的法向量的夹角，如果是锐角即可，如果是钝角，就取他的补角；？再求他的余角，则可得线面的夹角；（3）求面面夹角（二面角）的方法思路：①法向量法：若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角；②方向向量法：将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。

4.结语

综上所述，向量在高中数学里占有极其重要的地位，它内容简洁、精练，是抽象思维与形象思维的巧妙结合。在立体几何中对平行问题、垂直问题、空间距离问题、空间角问题的解决具有很大的优势，弥补传统方法的不足，它的高效性，模式化和可操作性大大地提高了我们对数学学习的兴趣，增强了同学们学好数学的信心。

【参考文献】

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[2]吴光峰.法向量在高中数学立体几何教学中的应用研究[J].数学学习与研究，2016-03-05

[3]赵莹婷.空间向量对高中立体几何教学中能力培养影响的研究[D].华东师范大学，2009