思维导图在高中数学解题中的应用实践与反思

张跃骜

［摘  要］ 良好的思维能力对学生而言就是一把破解难题的利刃，可以确保学生遇到难题时能迎刃而解. 想要培养学生的解题能力，就要将落脚点放在学生的思维能力上，教师可以借助思维导图把握学生面对复杂问题时的心理，这有利于教师因材施教；当教师把握学生的心理规律后去设计思维导图，思维导图不仅能够对学生的学习以及解题起到引导作用，还可以成为学生解题时能够直接拿来运用的工具. 研究思维导图在高中数学解题中的应用，关键就是研究学生面对数学题目时的心理，研究学生是如何组织知识、运用知识的. 在解题教学中，教师要高度重视思维导图的作用，要将思维导图作为解题教学的主要线索.

［关键词］ 高中数学；思维导图；解题教学；应用

对于当前的高中数学教学而言，无论是面向高考的教学，还是面向核心素养的教学，都有一个无法回避的過程，那就是思维能力的培养. 从当前高考数学评价的角度来看，思维能力显然不是指学生在解答基本习题过程中表现出来的解题能力，而是在面对相对复杂的问题时表现出来的解题能力. 这种解题能力的养成，能否借助传统的习题重复训练来实现，要打一个大大的问号. 笔者认为，如果只是基于基本题型的重复训练，那么只能让学生再次面对这些题型时表现出良好的直觉，而面对真正有难度的题目或者面对陌生情境中的题目时，重复训练起到的效果是极其有限的. 也就是说想要培养学生解答难题的能力，还要将落脚点放在学生的思维能力上，良好的思维能力对学生而言就是一把破解难题的利刃，可以确保学生遇到难题时能迎刃而解.

在高中数学教学中，培养学生的思维能力，实际上是教师共识，只不过通过怎样的方式去培养学生的思维能力，是仁者见仁、智者见智. 既然简单的重复训练无法有效培养学生的思维能力，那么怎样的教学思路才能让学生的思维能力得以有效培养呢？这个问题最佳的答案之一，应当是思维导图的应用. 当前高中数学教学研究的领域中，思维导图是一个热点，这是一件好事，意味着思维导图的作用得到了普遍认同. 研究思维导图在高中数学解题中的作用和应用，具有很强的实际意义，可以确保学生在思维导图的帮助下，将所积累的数学信息与解题所要用的数学工具衔接起来，从而在明确解题方向的同时，实现对数学知识最佳的整合与运用.

教师想提升自己对思维导图的运用能力，想让思维导图成为学生解题的有效工具，必然要进行实践研究. 由于思维导图的存在，解题教学的行动轨迹、师生在解题过程中的互动都会出现更加积极明显的变化，而教学研究就需要抓住这些变化，以确保思维导图能够成为解题教学的主要线索，能够成为促进学生思维能力提升的助力器.

思维导图在高中数学解题中的应用价值

有研究表明，将思维导图教学方法引入高中数学教学中，能够促进学生建构性学习和学科知识整合，改变学生的认知方式，大大提高学习效果，是培养学生创造性思维能力及解题能力的有效途径［1］. 这样的判断无疑是正确的，同样也是非常宏观的，其能够帮助教师坚定对思维导图的运用，认识思维导图的价值. 当然，只从宏观的角度认识思维导图的价值是不够的，只有在具体的教学过程中，尤其在解题教学过程中认识思维导图的价值，那么思维导图才能真正起到指导教师教学和学生学习的作用.

作为一种学习工具，思维导图最大的好处在于可以将学生内隐的思维过程，以外显的图形体现出来. 上文提到的思维能力，实际上是一个高度抽象的概念，对于学生在数学学习过程中表现出来的思维能力的高低，往往是通过能否顺利解决问题，尤其是能否顺利解决复杂问题来判断的. 这种判断实际上是一种间接判断，并不指向学生的思维本身，因此很难对学生的思维过程起到指导作用. 想培养学生的思维能力，最好的抓手自然是思维本身，如果能够了解学生的思维过程，或者想方设法优化学生的思维过程，这样的努力显然更加直接，起到的效果自然就更加理想.

笔者认为，教师最好站在学生的角度去认识思维导图在解题中的价值，因为如果在教学研究中不考虑学生的学习过程以及学习感受，那么教师很容易犯“想当然”的错，一旦学生的学习过程与教师预设的教学过程不相吻合，教师就会去责怪学生，而忽视自己所预设的教学过程有可能并不科学——就解题教学而言，也就是教师所预设的学生思维发展过程，实际上并不符合学生的认知特点.

基于学生视角去看思维导图的价值，能够发现如果用思维导图反映学生的解题思路，那么教师就可以借助这些思维导图把握学生面对复杂问题时的心理，而这自然有利于教师因材施教；如果教师把握了学生的心理规律后去设计思维导图，那么这样的思维导图不仅能够对学生的学习以及解题起到引导作用，还可以成为学生解题时能够直接拿来运用的工具. 很显然，思维导图一旦成为学生的解题工具，学生就能够借助思维导图来反思自己的思维过程，促使自己解题时面向思维，做到扬长避短，而这也就意味着学生思维能力以及解题能力已提升.

所以总体而言，思维导图在解题教学中的作用非常显著，教师要充分利用好思维导图这一工具，来促进解题教学效益的提升.

思维导图在高中数学解题中的应用实践

站在数学的角度看思维导图，可以认为思维导图就是能够将复杂的数量关系、空间形式形象化的逻辑图. 思维导图可以实现抽象思维的可视化，可以帮助学生构建清晰的知识脉络和推理形式，因此在解题过程中具有较高的应用价值［2］. 既然研究的是思维导图在解题中的应用，那么就要将思维导图与学生的解题过程呼应起来，要确保思维导图能够反映学生的解题过程，能够优化学生的解题过程.

值得一提的是，研究解题教学不能只研究题目本身，也要研究学生在解题过程中的思维过程. 这里重点有两个：一是学生面对数学题目时，能否准确确定解题方向，也就是从哪个角度去解题；二是对解题方向有了大致判断后，能否找到有效的解题工具，也就是能否找到相应的数学知识来解题. 这两个重点同时存在、相辅相成的，学生判断解题方向，本身就会借助自己所掌握的数学知识去进行，而明确了解题方向后，选择数学知识的空间就变得更小且更准确. 很显然，想让学生认识到这两个重点，前提就在于学生对自己的思维过程有一个清晰的把握，而思维导图正可以发挥这样的促进作用. 所以研究思维导图在高中数学解题中的应用，关键就是研究学生面对数学题目时的心理，要借助思维导图研究学生是如何组织知识、运用知识的.

关于数学知识的组织，通常取决于学生的认知结构. 由于不同学生个体所掌握的数学知识不同，所以他们的认知结构也有差异. 举一个简单的例子：如图1所示，这是关于“圆锥曲线”的一个知识框架图——实际上也可以视为思维导图. 如果学生的认知结构与这一知识结构相吻合，那么这样一个知识框架图就可以反映学生的内在认知结构. 当学生遇到具体题目时，如果学生能够借助思维能力，将题目给出的信息与该图中的具体知识点衔接起来，那么就意味着学生通过自己所选择的知识点，可以完成该题目的解答. 如果学生的解题过程验证了这一点，那么就说明学生的思维过程是正确的；反之，則说明学生的思维过程是错误的. 从解题准备的角度来看，如果学生大脑中的这一思维导图越完整，那么学生提取知识点时就会越顺利，这也可以夯实解题的基础.

当然，对学生解题起决定性作用的，还是学生提取了知识点后，对知识点进行整合的过程. 在这个过程中，学生的思维越清晰，解题质量也就越高. 教师有一个很重要的任务就是借助思维导图帮助学生形成清晰的解题思路，引导学生梳理、反思解题过程. 比如这样一道题：椭圆的两个焦点为（－2，0），（2，0），且过点，－，求椭圆的标准方程.

从难易程度来看，本题并不是一道难度大的题目，但从学生思维能力的角度来看，这道题目可以在学生初学椭圆的知识时，帮助学生形成最基本的求椭圆标准方程的思维. 借助思维导图来梳理本题的求解过程，最基本的做法就是通过审题把握给出的信息以及所求对象——本题给出了椭圆两个焦点的坐标以及椭圆上某一点的坐标，所求的是椭圆的标准方程. 学生需要借助这三点的坐标与椭圆的标准方程之间的关系，来形成一个解题思路，其对应的思维导图如图2所示.

因此，相应的求解过程，就应当是基于“椭圆的焦点在x轴上”这一信息，设椭圆的标准方程为+=1（a>b>0），然后结合椭圆的定义，建立关系式2a=+=2，得到a=. 又c=2，所以b2=a2－c2=6. 最终求得椭圆的标准方程是+=1.

当然，本题还可以结合其他信息形成新的求解思路，如下面这种解法：因为c=2，所以b2=a2－c2=a2－4. 设所求椭圆的标准方程为+=1，将点，－代入上式，解得a=. 所以所求椭圆的标准方程为+=1.

不论是哪种解法，都对应着学生具体的解题思路，而这些解题思路的背后，都反映着学生的解题思维. 在上文分析中已经强调过，学生的解题思维越清晰，那么解题过程就越顺利. 隐性的解题思维，可以借助形象的思维导图展现出来，而这些形象的思维导图又可以发挥很重要的作用，比如让教师清晰把握学生的思维过程，又或者借助思维导图优化学生的思维过程……思维导图在解题教学中的作用正是体现在这些方面上.

思维导图在高中数学解题中的应用反思

从上文的理论分析以及具体的解题教学案例中可以发现，思维导图的作用是非常明显的——应用思维导图来优化解题教学，可以让学生的思维过程变得可视化，可以让教师的教学过程变得清晰化. 如果说思维导图是教师解决教学问题的一个重要抓手的话，那么对于学生而言，思维导图就是一个重要的解题工具.

在实践过程中，笔者还有一个非常重要的收获，那就是思维导图不仅可以成为教师的教学工具，还可以成为学生的学习工具. 当学生习惯运用这一工具后，教师应当结合解题教学，让学生自己建构思维导图. 可以说这是思维导图教学的一个很重要的境界. 如果学生能够借助思维导图来优化自己的解题过程，那么就达到了“知其然且知其所以然”的认知水平. 学生可以借助思维导图反思自己的解题思路，在这个过程中，即使学生所建构的思维导图有缺陷，那也是一个非常重要的教学与反思的契机. 教师应当引导学生抓住这一机会，借助思维导图反思解题中的不足，这相对于让学生盯住自己在解题中的错误步骤去反思，效果要好得多. 毕竟指向思维的反思，要比指向解题步骤的反思更具代表性，学生所获得的也是思维能力的培养.

总体而言，在高中数学教学中，尤其在高中数学解题教学中，教师要高度重视思维导图的作用，要将思维导图作为解题教学的主要线索之一，要在思维导图的引导下把握好学生的思维，这样学生对自己的解题过程就会有一个更加清晰的认识，从而有助于学生对培养自己解题能力的过程有一个更加精准的把握.

参考文献：

［1］ 杨慧娟. 思维导图在高中数学复习课中的运用［J］. 数学教学通讯，2015（09）：54-55.

［2］王鲲鹏. 思维导图在高中数学解题中的应用策略［J］. 高中数理化，2019（22）：14-15.