数学解题教学：从“一题多解”到“一题优解”

顾锋 宁连华

摘 要：“一题多解”是数学解题的典型活动，也是解题教学的普遍追求。相较而言，对“一题优解”的认识与重视尚显不足。在“一题多解”的基础上进一步深度思考，对比、鉴别、筛选出最优化的解法，成为数学解题教学的应然追求。判斷一道题目最优化解法的主要标准有：简单自然，效率为先，结构完美。

关键词：高中数学；数学解题；解题教学；一题多解；一题优解

本文系江苏省中小学教学研究第十四期“基于问题解决的数学抽象思维力培养实践研究”（编号：2021JY14-L238）、江苏省教育科学“十三五”规划课题“TPACK视域下的卓越教师培养研究”（编号：B-a/2020/01/42）的阶段性研究成果。

一、 “一题多解”的优越之状与教学之失

“一题多解”是数学解题的典型活动，也是解题教学的普遍追求：教师适时地引导学生从不同的角度、用不同的思维方式观察、联想、分析，根据问题的特定条件探索出一系列解题思路，达到“一题多解”的效果。

丘成桐先生在北京师范大学附属中学110周年校庆的演讲中，也曾着力推崇“一题多解”。他说：“数学题的解法是有很多的，比如勾股定理的证明方法至少有几十种，不同的证明方法帮助我们理解定理的内容。19世纪的数学家高斯，用不同的方法构造正十七边形，不同的方法来自不同的想法，不同的想法导致不同方向的发展。所以，数学题的每种解法有其深厚的意义，你会领会不同的思想，我们要允许学生用不同的方法来解决。”［1］

可以说，“一题多解”广受重视，其优越性不言而喻。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的效果，不仅能帮助学生多角度地串联知识、系统化地使用方法，而且能培养学生思维的广阔性、发散性、灵活性等。试想，对同一个数学问题，从代数、几何、三角、向量、复数、统计等不同的视角，探索出一系列解题思路（如函数ｆ（ｘ）＝3ｘ+3+2-ｘ最大值的求解［2］），无疑能激发学生发现、创造的强烈愿望，训练学生对数学思想方法的娴熟运用能力。

遗憾的是，“一题多解”也有它的教学之失：多数情况下停留在“一题多解”的境地，醉心于多种思路的呈现，缺少对各种方法优劣的评判、甄别与遴选，导致学生的解题水平迟滞于各种招式、技巧、模型的窠臼，难以触及批判性思维、反省性思维、创造性思维等高层次思维活动，造成一种不应有的损失。这导致在练习和考试中，很多学生总是采用“笨拙”的方法解题，不能找到适合问题的最优解法，解题的质量和效率大打折扣。鉴于此，在“一题多解”的基础上进一步深度思考，对比、鉴别、筛选出最优化的解法，成为数学解题教学的应然追求。

二、 “一题优解”的认识之乏与境界之求

相较于对“一题多解”的关注，数学教育界对“一题优解”的认识与重视尚显不足，相关的研究比较匮乏。实际上，作为数学的一个重要分支，最优化方法（也称作运筹学方法）广为人知，即利用数学方法研究各种系统的优化途径及方案。最优化方法已经广泛地应用于设计、管理、控制等各个领域，很好地诠释了最优化的魅力所在。遗憾的是，这种思想方法在数学学习的重要活动——数学解题中似乎并没有得到很好的运用。这归根结底在于对“一题优解”的认识不够，自然也就不会有相应的追求。

所谓“一题优解”，是指从某个数学问题的多种解法中找到最优化的解法。著名数学教育家G．波利亚称之为“最优解问题”。他认为：“解题需要做成本核算，在最优解问题中，既要到达目标，又要使成本最低，或利用率最高。如同给你一定的材料和操作构筑某种东西，但成本有限制，也许还有对材料和操作的使用的其他限制，解题者必须根据这些限制选定材料，科学地决策出最佳方案，制定施工程序（即操作序列），高效地完成任务。”［3］

“一题多解”是“一题优解”的前提与基础，“一题优解”则是“一题多解”的推进与升华。

例1 如图1，四边形ABCD中，AB⊥CB，AD⊥CD，∠BCD=60°，且AD=3，CD=53，求BC的长。

无疑，这是一道有多种解法的题目，运用平几法、解几法、三角法、向量法等，都可以有多个路径达到解题目标。只是，这林林总总的解法也是良莠不齐、特点各异：有的思路自然，但运算复杂；有的目标明确，但步骤繁绕；有的难以想到，但过程简捷。

我们利用此题在高二学生中做了测试。选取高、中、低三个层次的学生各100名，要求8分钟之内完成。结果发现：共出现了四类（平几、解几、三角、向量）18种解题方法，所有学生都选择了某种方法来解决问题，仅有15名学生没有得出最后的结论。

学生最普遍使用的方法是三角法（见图2，解题过程省略），约占60%。

出现解法种数最多的则是平几法思路，即基于图形特点添加辅助线，主要运用勾股定理解决。这类方法多达8种（见图3，解题过程省略），使用的学生约占32%。

此外，有少部分学生使用解几法思路（建立平面直角坐标系）或向量法思路解决，两者合计仅占8%。

应该说，本题形态各异的解法不可谓不精彩，对学生思维灵活性、深刻性的培养显然大有裨益。但是，如果解题教学仅停留在各种方法的展现和赏析上，而不去比较不同方法的价值和优劣，是有遗憾的，甚至可以说是败笔。

比较本题的多种解法不难发现，使用最多的方法（三角法）并非最优的解法。之所以使用此法的人数最多，恰恰是思维定式使然：思路自然但缺少必要的对比、判断与决策，自然造成相对烦琐的运算，解题效率也就较为低下。而8种平几方法，多数舍近求远，运算过程不简单，属于“花拳绣腿”式的招数，好看不好用；真正简单自然、高效实用的方法就是最后的两种往外延长四边形的一组对边得到两个直角三角形的解法，它们才是本题的最优解法。但是，选用这两种法的人数仅占2%。由此可见，解题方法优化意识与能力的培养在数学解题教学中亟待加强。

三、 “一题优解”的评判之难与推广之利

毋庸置疑，一个问题“最优化的解法”有时候并不能很清楚地评判出来——种种解法殊途同归、各有千秋，切入点不同，见解也不一样，难以评定孰优孰劣，这就涉及“最优化的解法”的评判标准问题。著名数学家厄尔迪什曾说过：上帝是一本书，好的解法全在那本书上。对此，单壿教授评述道：上帝自然是没有的，那本书其实就是由我们以及其他人的优雅解法组成的一本大书。［4］这些“优雅解法”或许各自有不同的特点，但也必定会形成一些共性的东西。以下是评判解法优劣的几个主要标准：

（一） 简单自然

好的解法应力求简单自然。最好单刀直入，直接剖析问题的核心，不兜圈子、绕弯子，能一招解决就绝不用两招，尽量减少废招。［5］不自然的解法，不仅难看，也很难想到。一种奇怪的现象是：解题研究推崇一些看上去很漂亮的解题技巧，将某些构思巧妙、手法奇特的解法奉为圭臬。其实，这些解法可能只是少数人苦思冥想勾画出来的个人“专利”，或者是解题者灵感闪现的产物，虽然有一定的创新性，但是难以复制；而且，大多数并不自然，镶嵌着人为雕琢的痕迹。从学习者解题的效率来看，可以欣赏，但不应当自惭形秽，产生“技不如人”的自卑感。

例2 （2021年“八省联考”数学卷第17题第2问）已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an。若a1＝12，a2＝32，求{an}的通项公式。

解法一：因为an＋2＝2an＋1＋3an，所以an＋2-3an＋1＝-（an＋1-3an）。因为a1＝12，a2＝32，所以a2-3a1＝0，从而an＋1-3an＝0，即an＋1＝3an。所以，{an}是以12为首项，以3为公比的等比数列。因此，{an}的通项公式为an＝3ｎ-12。

解法二：因为数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an，所以其特征方程为x2＝2x＋3，解得x1＝-1，x2＝3，因此an＝A·（-1）n＋B·3n。又因为a1＝12，a2＝32，所以-A+3B=12，A+9B=32，解得A=0，

B=16。因此，{an}的通项公式为an＝3ｎ-12。

有人认为，上述两种方法充分利用递推关系an＋2＝2an＋1＋3an的特征，漂亮、优越，简洁、有效。其实，解法一由an＋2＝2an＋1＋3an变换出an＋2-3an＋1＝-（an＋1-3an）谈何容易，颇具技巧性和经验性，并不能自然得出；解法二使用特征方程，背后又需具备多少课外拓展知識，对此不了解的学生只能望题兴叹。因而，这类所谓的“巧解妙招”不具有代表性和普遍性。

解法三：因为an＋2＝2an＋1＋3an，a1＝12，a2＝32，所以a3＝92……归纳猜测：an＝3ｎ-12。下面用数学归纳法证明：① 当n＝1时，a1＝12＝31-12，成立；② 假设当n≤k时，an＝3ｎ-12，则当n＝k＋1时，ak＋1＝2ak＋3ak-1＝2×3k-12＋3×3k-22＝3k＋1-12，即an=3n-12也成立。因此，an＝3ｎ-12。

这一方法着眼于从特殊到一般的归纳猜想，再用数学归纳法证明，简单自然，很容易想到，也符合学生的思维习惯。有不同观点认为，这一方法没有思维含量，“套路化”明显，显得“笨拙”。实际上，像解法一、解法二等技巧性太强的解题方法，可能只是少数人的妙解、奇想；对于大多数解题者而言，像解法三这样简单自然的解题方法才应该是被广泛接受和推崇的。

（二） 效率为先

解题需要拓展思维，也需要讲究效率。方法虽然可行，但效率低下，则不能称为好方法。正所谓“条条大路通罗马，高效趋直方为优”，不追求效益的解法算不上好方法。尤其在各类考试中，一般都有时间限制，考查学生的综合素养，题目不仅要做得对，还要做得快，讲究解题的效率。

例3 （2022年新高考数学Ⅰ卷第18题第1问）记△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知cos A1+sin A=sin 2B1+cos 2B。若C=2π3，求B。

本题最自然有效的解法应该是，将等式cos A1+sin A=ｓｉｎ 2B1+ｃｏｓ 2B右边关于2B的三角函数化为关于B的三角函数，这样与等式左边对应起来，问题迎刃而解。具体如下：

解法一：由题设得ｃｏｓ A1+ｓｉｎ A＝2ｓｉｎ Bｃｏｓ B2ｃｏｓ2 B＝ｓｉｎ Bｃｏｓ B，于是cos Acos B=sin B+sin Bsin A，所以cos （A+B）=sin B。又因为A+B+C=π，C=2π3，所以sin B=cos（π -C）=12，因此B=π6。

调研发现，不少学生解答本题时，舍近求远，绕来绕去，将问题做“难”、做“繁”了。

解法二：由cos A1+sin A=sin 2B1+cos 2B，得cos A（1+cos 2B）=sin 2B（1+sin A），得cos Acos 2B-sin Asin 2B=sin 2B-cos A，从而ｃｏｓ（A+2B）＝ｓｉｎ 2B-ｃｏｓ A。又因为C=2π3，所以A+B＝π3，即A＝π3-B，因此ｃｏｓπ3+B+cosπ3-B=sin 2B，从而cosπ3cos B-sin π3sin B+ｃｏｓπ3ｃｏｓ B+ｓｉｎπ3ｓｉｎ B＝ｓｉｎ 2B，所以ｃｏｓ B＝2ｓｉｎ B·ｃｏｓ Ｂ。又因为Ｂ∈0，π3，所以sin B=12，B=π6。

该方法直接“交叉相乘”，将本来角的倍数关系的暗示条件“淹没”在等式中，使得后续三角关系的寻找、等式的变换、角的替换等运算要求增加不少，也使得解答的难度明显上升，解题效率大大降低。

解法三：由二倍角公式知cos A1+sin A=cos2 A2-sin2 A2cos2 A2+sin2 A2+2sin A2cos A2，由“弦化切”得该式＝1-tan2 A21+tan2 A2+2tanA2=1-tanA21+tanA2=tanπ4-tan A21+tan π4tanA2=tanπ4-A2，sin 2B1+cos 2B=2 sin Bcos B2cos2 B=sin Bcos B=tan B。

由条件式得tan π4-A2=tan B。又因为C=2π3，所以A+B=π3，因此A、B∈0，π3，进而π4-A2∈π12，π4，所以π4-A2=B，从而B=π6。

该方法对等式两边分别使用二倍角公式，化成了tanπ4-A2与tan B两个正切函数，应当说达到了目的，也能看出解题者的良苦用心，但是变换出tanπ4-A2的过程需要的信息量、运算量实在太大，至少是解法一计算量的两三倍。这样粗浅“蛮干”的方法不应鼓励。

（三） 结构完美

众所周知，数学具有深邃的结构美。诸如科赫曲线、希尔伯特曲线、248维晶体对称结构等，都给我们展示了数学的结构魅力。在解题时注重呼应数学的结构美，往往能使问题完美解决。爱因斯坦就是注重结构思维的典型代表，其“相对论”理论体系正是得益于其一贯的完整、对称的结构思想方法。一些经典的问题探求也体现了结构美的思想。例如勾股定理的证明、代数基本定理的证明、杨辉三角形的各种性质等，都很好地体现了对数学结构美的认识与欣赏。注重从数学结构美的特点切入，构思出的解法往往能提升解题者对数学的理解与感悟能力。

如对前述例3，如果注意到条件式的结构特点，利用“同构函数”思想，则可得到下述解法：

解法四：由cos A1+sin A=sin 2B1+cos 2B，可得sinπ2-A1+cosπ2-A=sin 2B1+cos 2B。令f（t）=sin t1+cos t，ｔ∈（0，π），则fπ2-A=f（2B）。而f（t）=2 sin t2cost22cos2t2=tant2，在（0，π）上单调递增。又因为C=2π3，所以A+B=π3，因此A、B∈0，π3，进而π2-A2∈π6，π2，2B∈0，2π3，从而π2-A=2B，所以B=π2-（A+B）=π6。

该方法利用“同构函数”的思路，有一定的灵活性和创新性，也能看出解題者利用所学知识解决问题的意识与能力，是比较智慧的一种解法。

数学中的基本结构类似那种成批制造产品的机器，短时间内能够制造出许多件，并且每一件都造得相当完美。数学解题也是这样：充分把握并利用某类数学问题的基本结构特点，往往能获得漂亮、有效的解题方法。

例4 因式分解：

（1） （x+y+z）3-x3-y3-z3；

（2） （a+b）5-a5-b5；

（3） （x-y）5+（y-z）5+（z-x）5；

（4） （2x+3y）3+（3x+2y）3-125（x+y）3。

如果不注意观察各式的结构特点，不充分利用结构美的思想寻找解题方法，而一味地展开、组合、分解，则会使解题过程烦不胜烦。如果注意到每个式子的结构美以及其元素的对称性，就可直接发现各自的因式，简洁、完美地使问题得解。

具体来说，（1）的因式有x+y、y+z、z+x，（2）的因式有a、b、a+b、a2+b2+ab，（3）的因式有x-y、y-z、z-x、x2+y2+z2-xy-yz-zx，（4）的因式有2x+3y、3x+2y、x+y。由此，只需再依据式子的恒等性，利用“特殊值法”，即可确定分解因式后的系数，从而完成因式分解。

应当说，利用题目本身所具备的结构美构思解法，在数学解题中比比皆是，应当成为数学解题的一种基本思想，也是判断解法是否优越、寻求“最优解”的一个重要标准。

当然，判断一道题目的解法是否最优化确实有相当的难度，以上几种方法仅提供了一些观察视角。题目千差万别，解法也琳琅满目，还应该根据具体情境，结合实际情况综合判断，选择最优化的解法。

总之，从“一题多解”走向“一题优解”，应当作为数学解题教学的境界追求。尽管对某个问题探寻出多种解法已非易事，评判、甄选出其中的“最优解”自然更加困难，但是具备了这样一种意识，在持续不断的探索尝试中，学生的“一题优解”能力必将不断提高。

参考文献：

［1］ 丘成桐.学问、文化与美——在北京师范大学附属中学的演讲［J］.人民教育，2011（24）：33.

［2］ 丁里顺.贯通学科分支，形成整体认识——一道根式函数最值问题的多解教学［J］.教育研究与评论（中学教育教学），2022（11）：82-87.

［3］ G.Polya.How To Solve It： A New Aspect of Mathematical Method［M］.New Jersey：Princeton University Press， 1973：20.

［4］［5］ 单壿.解题研究［M］.上海：上海教育出版社，2013：183，183.