基于新课程标准的初中数学有效课堂教学——以“圆周角的平分线”的课堂设计为例

广东省广州市荔湾区西关广雅实验学校(510000) 王丹丽

1 自主设问,培养创新意识

《义务教育数学课程标准(2022 年版)》在课程理念中提出: 学生通过数学的眼光,可以从现实世界的客观现象中发现数量关系和空间形式,能够在实际情境中发现和提出有意义的数学问题,进行数学探究;能够合乎逻辑地解释或论证数学的基本方法与结论,分析、解决简单的数学问题和实际问题;逐步养成从数学角度观察现实世界的意识与习惯,发展好奇心、想象力和创新意识[1]. 在中考备考的一次复习课中,笔者以教材的一道典型例题为蓝本,让学生可以根据原题的图形结构和题文提出问题,进行分析、探究、解答,进而改编成能运用已学的知识和方法解答的问题.

原题[2](人教版九年级上册教材第24 章24.1.4 圆周角例4 题干)如图1,⊙O的直径AB为10cm, 弦AC为6cm,∠ACB的平分线交⊙O于D.

图1

这个图形融合了对角线平分一角的对角互补四边形、等腰直角三角形等基本图形的核心知识,教师引导学生分析题干条件,挖掘图形中的隐含的性质与结论,可进一步加深对基础知识的理解,如根据圆周角相关定理,弧、弦、圆心角、圆周角的等量转化,可以发现∠ACB= ∠ADB=90°,∠ACD= ∠BCD= ∠DAB=∠ABD=45°,弧AD=弦BD,弦AD=BD等数量关系,学生清楚了图形特征,在这种情境之下发布任务由学生自主设问,提出更有意义的问题.

2 合作探究,提高发现问题的能力

在日常教学中,采用分组教学,有些作业任务是以小组合作完成的方式布置的. 针对圆的复习,本人设计了这样的一个作业任务: 根据原题题干自主设问并想好解题策略,并由小组合作汇总后通过智学网提交合作成果. 任务发布后,同学们非常感兴趣,都进行认真探究,得到一个个丰富多彩而富有趣味的问题,教师从中筛选对本节复习课有意义的问题,根据解题的难易按顺序排列如下:

(1)求BC、AD、BD的长;

(2)求S四边形ACBD;

(3)求CD的长;

(4) 若AB与CD相交于点E, 求SΔACE:SΔBDE、SΔBCE:SΔADE;

(5)若AB与CD相交于点E,求AE、BE、CE、DE;

评注这里提出的5 个小问题,用到了勾股定理、三角形面积公式、相似三角形、构造全等三角形等基础知识,所用的知识点比较简单,也涉及到初中数学几个最基本的核心知识和解题最常用的技能方法,将它们放在一起,可以起到以点带面的串联作用,学生在设问和寻找解题策略的过程中,也很好地回顾复习数学基础知识、基本方法、基本技能;而通过提前推送任务,一是能减少课堂思考时间,二是能让老师有更充分的时间汇总更多问题,解法,有更多的思考如何整合的时间,备更高效的课堂教学.

通过课前批改小组汇总的作业中,笔者发现有多个小组提出问题(3),通过了解发现,在求解的过程中有较多的学生没能短时间求解,或是需要借助同伴帮忙解答,同时还发现有两个小组用了多种方法解答,于是重点讨论问题(3),由各小组代表展示不同的解题思路,整合如下:

解法1如图1-1,过点D作DF⊥CB于F,可得等腰RtΔCDF,设CF=DF=x,则BF=8-x,在RtΔBDF中,利用勾股定理求得x,从而求得CD的长;同理过点D作DH⊥AC于H,同理解得.

图1-1

解法2如图1-2, 过点D分别作DF⊥CB于F, 作DH⊥AC于H. 由角平分线的性质, 可得DH=DF, 故RtΔADHRtΔBDF(HL),设AH=BF=a,易证四边形CHDF为正方形,由AC=CF得方程6+a=8-a,求得a=1,从而求得CD的长.

图1-2

解法3如图1-3, 过点A作AM⊥CD于M, 作BN⊥CD于N. 可得等腰RtΔACM, 等腰RtΔBDN, 故求AM、BN的长度, 易证ΔADMΔBDN, 故CD=CM+DM=AM+BN.

图1-3

评注以上的三种解法其本质都是利用45°构造等腰直角三角形,从而转化线段关系. 教师对此及时做了点评与总结. 其中解法2 是结合条件中角平分线,想到了常用的作辅助线的方法——双垂直; 解法3 则是构造了全等的经典图形——三垂直. 这些都是学生非常熟悉的解题方法,但此题以圆做背景,大多数学生无法将圆的知识与前面所学的几何知识联系起来,这些解法在此刻出现,让学生感受从不同角度切入的一题多解,体会到解圆的综合题要灵活运用以前的几何知识,从而提高分析问题的能力.

问题讨论到此时,学生的思维非常活跃了,这时又有学生提出新的方法,

解法4如图1-4,将ΔACD绕点D顺时针旋转90°至ΔBDG, 先证C、B、G三点共线, ∠CDG= 90°, 易得等腰RtΔCDG,CG=BC+BG=BC+AC=14,即可求CD的长.

图1-4

该学生提到, 他发现等腰RtΔABD中,AD=BD,∠ADB= 90°, 满足“等线段, 共端点”的特点, 因此想到用旋转来求解,同理,旋转ΔBCD也可以. 正在此时,又有学生发现一些新的结论,,显如然许多同学都有了更深入的思考.,

3 变式探究,发展逻辑推理能力

经过以上的合作探究,学生对圆周角的平分线的基本图形特征有了一定的熟悉度,这时将题干稍作变式,进一步培养学生发现数学问题、数学结论的能力.

变式1由特殊到一般,培养应用意识

问题1(2020 年广州市中考第24 题改编)如图2,⊙O为等边ΔABC的外接圆,半径为2,点D在劣弧AB上运动(不与点A,B重合),连接DA,DB,DC.

图2

(1)求证:DC是∠ADB的平分线;

(2)试探究AC、BC与CD的数量关系;

(3)四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数吗? 如果是,求出函数解析式;如果不是,请说明理由;

答案:(1)略; (2)AC+BC=√2CD; (3)S=

问题2如图3,已知ΔABC内接于⊙O,∠BAC的平分线交⊙O于点D,连接DB,DC. 若BC=m,BD=n,求的值(用含m,n的式子表示).

图3

评注问题1,2 的图形结构与例题基本相同,条件表述有所不同,其中的数量关系均可由弧、弦、圆心角、圆周角的关系推到得到, 这几题所用的知识点与技能方法基本相同,只是原来的等腰直角三角形变成等边三角形,等腰三角形所得结果不尽相同,应引导学生分析相同与不同之间的某些关联,积累解题经验,培养解决问题的能力;问题3 将问题拓广到一般的等腰三角形,由特殊到一般,引导学生发现图形的共性,体会多题一解的数学本质;通过简单的归纳或类比,猜想或发现结论,发展推理意识;学生在独立思考,合作探究中,主动的参与数学活动,分析解决数学问题的过程中提高思维能力,同时培养学生合作交流的能力. 教师在这里是观摩者,引导者.

变式2变换几何图形,挖掘思维深度

问题3(2016 年广州市中考第25 题改编)如图4,点C为ΔABD的外接圆上的一动点(点C不在上,且不与点B,D重合),∠ACB=∠ABD=45°.

图4

(1)若ΔABC关于直线AB的对称图形为ΔABM,连接DM,试探究DM2,AM2,BM2三者之间满足的等量关系,并证明你的结论.

(2) 连接OA,P为半圆DAB上任意一点, 过P点作PE⊥OA于点E,设ΔOPE的内心为M,当点P在半圆上从点B运动到点D时,求内心M所经过的路径长.

解析(1)如图4-1,过点M作MF⊥MB于点M,过点A作AF⊥MA于点A,MF与AF交于点F,连接BF,由对称性可知∠AMB= ∠ACB= 45°,先证ΔAMF是等腰直角三角形,由ΔABFΔADM(SAS)得RtΔBMF,根据勾股定理得到BM2+2AM2=DM2.

图4-1

(2) 如图4-2, 由ΔOPE的内心为M, 易得PM,OM是ΔOPE的角平分线, 求得∠PMO= 135°, 由角平分线的对称性可得ΔPOMΔAOM(SAS) 得∠AMO=∠PMO= 135°, 所以内心M所经过的路径长为弧AMO的长度.

图4-2

图4-3

问题4(续问题1: 2020 年广州市中考第24 题)

(4)若点M,N分别在线段CA,CB上运动(不含端点),经过探究发现,点D运动到每一个确定的位置,ΔDMN的周长有最小值t,随着点D的运动,t的值会发生变化,求所有t值中的最大值.

解析如图2-1, 作点D关于直线AC的对称点E,作点D关于直线BC的对称点F, 可得DMN的周长=DM+DN+MN=FN+EM+MN,当点E,点M,点N,点F四点共线时,ΔDMN的周长有最小值,则连接EF,交AC于M,交BC于N,连接CE,CF,DE,DF,作CP⊥EF于P,所以ΔDMN的周长最小值为EF=t,由对称性证CF=CD=CE,∠ACE= 2∠ACB=120°,再证EF==t,因此当CD为直径时√,有最大值4,EF有最√大值即t的最大值为

图2-1

评注问题3 保留了例题中的图形结构,将图形变换,圆周上的动点,让图形动起来,问(1)是探究线段关系,实质是问题2 的解法——旋转的性质的再应用,教学中引导学生有意识的应用例题的方法,发展实践能力;问(2)是动点轨迹问题, 主从联动, 还要结合对称性, 构造全等三角形发现定角,难度大大的增加,这种解法学生比较陌生,需要积累解题经验,在解决难题的过程中,通过一步步的逻辑推理,感悟数学的严谨性,培养分析问题、解决问题的能力;问题4 是圆的综合题,考查了圆的有关知识,等边三角形的性质,轴对称的性质等知识,灵活运用这些性质进行推理是本题的关键. 课堂中由于时间关系,并没有涉及,留作课后的练习.

4 反思与总结

4.1 数学教学,要培养学生提出问题意识

本节课设计由学生自主设问,探究解答,初次尝试发现不少学生不善于表达,不愿提出问题,虽如此,但也发现了不同层次的学生的参与度都有所提高,学生的积极主动性更强了;而智学网的作业平台也能较好的辅助,使得这次任务顺利达成. 传统的教学中,师生都认为提问题是教师的责任,回答问题是学生的天职;在新的课程标准提出: 学生通过数学的眼光,在实际情境中发现和提出有意义的数学问题[1],所以在平时的教学中, 教师要有意识地培养学生提出问题意识,通过营造民主宽松的教学氛围,使师生之间、同学之间形成良好的人际关系,营造自由学习气氛,让学生在课堂上敢说、敢问,敢于表达自己的见解. 另外布置作业要注重实践与思考相结合,提出开放式问题,尽量给学生提供实验、操作、思考、讨论、提问的机会,拓宽学生提问的渠道,从多方面进行培养, 学生机会, 拓宽学生提问的渠道, 从多方面进行培养,学生的提问意识就会有改观[3].

4.2 学生设问,立足教材,演绎精彩[3]

让学生自主设问,提出合适的问题,不是胡乱编造怪题、难题,有意义的问题是要结合题目背景经过思考,并有依据有逻辑的说明命题正确,但又一时找不到解题思路,需与其他同学一起思考,交流讨论后得出解题过程的问题,如例题中的第(3)问. 本节课取材于课本的经典问题,具有“入口宽、寓意深”的特点, 是教学的有效再生资源, 也是学生最为熟悉、贴近的素材,所编的5 个问题,融合了初中阶段最为核心的基础知识: 圆、等腰三角形、直角三角形、全等、相似、面积求法等,这样编题的做法与中考命题“源于教材,高于教材”理念相吻合;从后面的变式中看到,区统考的试题、中考试题也选用这个经典问题进行改编,课堂变式将这些题整合成一个系列的题组,既有高立意的设计,又有低落点的规划,有较强的针对性和实效性[3].

4.3 基于能力的发展,设计有效教学

有效的教学活动是学生学和教师教的统一,学生是学习的主体,教师是学习的组织者、引导者与合作者[1].传统的数学课堂主要是解题,形式单一,思维容量很大,相对其他学科来说,是比较枯燥的,往往是思维较敏捷的学生的展示舞台,师生对话更多的是面向思维好的学生. 特别是中考备考的复习课,有效的数学活动既能培养学生的思维能力,形成学生的核心素养,还能让更多的学生参与;本节课的第一个数学活动是: 用课本题编题并让学生一起分析探究,第二个活动是整合了经典的真题,进行变式,避免了机械重复的大量盲目解题,提高了解题效益,从而获得最直接的解题经验和思想方法,建构与完善学生学思维体系;通过提出问题、探究解决问题过程,促进学生理解和掌握数学的基础知识和基本技能,获得数学的基本活动经验;课堂中立足于对问题进行全方位的剖析,揭示本质,体会和运用数学的思想与方法,也使学生真正体悟到数学真谛,逐步形成核心素养[3].