一道中考题的变式探究与思考*

广东省佛山市顺德区北滘镇君兰中学(528311) 李美兰

对“一题”逐层变式的深入研究,充分聚焦核心知识,有助于拓宽解题思路,发展学生的思维能力,提高学生应变能力,增强学生面对新问题敢于联想分析、敢于创新的自信,从而提高学生解决问题的能力.

考题呈现如图,ΔABC沿DE折叠,点A落在边BC上的点F处,且ED//BC,下列结论中,一定正确的是1○ΔBEF是等腰三角形; 2○ED=2BC; 3○四边形ADFE是菱形; 4○∠BEF+∠FDC=2∠A

解析: 本题的立意考查学生的几何素养: 空间观念、几何直观、轴对称和推理能力. 并考查做题技巧:排除与推理相结合. 考查的知识侧重点: 1○侧重考查等腰三角形和菱形的判定; 2○侧重考察中位线的判定与性质; 3○侧重考查对折的性质运用. 由平行的同位角、内错角相等,以及对折的对应角相等,可知1○是对的;因为E,D不是中点,易知2○是错误的;由对折的对应边相等可得AE=EF,AD=EF,但不具备菱形的判定条件,故3○是错的;由对折的对应角相等及两对互补的平角可得4○是对的.

在本题作为例题的讲解时,若只就题讲题,学生的思维是不能得到提升与拓展的,我们在教学中,若能对例题进行多角度的变式与改编, 并发挥学生主动参与思考的能动性,教学便能事半功倍,下面笔者以该题为例来阐述变式教学的的改编思路与方法:

1 将题目条件一般化

改编1 如图, ΔABC沿DE折叠, 点A落在边BC上的点A1处, ∠A=70°,CΔABC= 8, 则下列的结论: 1○ΔBEA1是等腰三角形; 2○DE//BC; 3○∠2+

本题的改编多了周长的计算,实际上该题是综合考查对折的对应边与等量代换思想,教学中可设问:

师: 比较上一题,条件发生了哪些改变?

师: 除了该题的改编,你还可以将题目进行怎样的变化?(接下来进行“你出题,我来做”小组活动)

2 将题目条件特殊化

改编2如图,RTΔABC沿DE折 叠, 点A落 在边BC上 的 点A1处,∠A= 70°,CΔABC= 8,则下列的结论: 1○AE=AD; 2○∠1-∠2 = 20°; 3○∠2 + ∠3 + 2∠C= 180°;4○CΔEBA1+CΔDCA1=8. 正确的有( )个.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

为增加角度的计算和代换,笔者在本题将任意三角形换成了直角三角形,并增加了一个已知的锐角,在原题基础上稍稍降低了难度. 课堂上为了引导学生思考我们可以在学生独立思考后,再增加问题引导:

师: ΔDEA1是等腰三角形吗?

师: 题目中直角三角形能得出哪些性质?

师: 这个性质能解决题目中哪些结论?

以上三个设问让学生独立思考后,把想法与小组其它同学进行交流.

3 继续将条件层层递进更特殊化

改编3如图, 等边ΔABC沿DE折叠, 点A落在边BC上的点A1处, ∠A= 70°,CΔABC= 8, 则下列的结论: 1○ΔDEA1是等腰三角形; 2○ΔBEA1与ΔCDA1相似;3○∠2+∠3 = 120°; 4○CΔEBA1+CΔDCA1= 8. 正确的是

本题改编增加了相似三角形的考查,通过角的关系,学生容易得到∠1 = ∠2, 而∠B= ∠C= 60°,由此得知两个三角形相似, 所有2○是正确的.

该题中我们将选择形式改为填空题,实际上是提高了难度,减少学生利用排除法等因素来做题、排除法是选择题完成的重要方法,但有时未理解知识,却猜对了,那将原题的设问改编为填空题、就避免这种情况,使学习真正发生.

我们还可以在这基础上,继续让图形更加特殊化: 若点A1是BC的中点,让学生继续探讨能从图中得出哪些其它结论?

在这变化过程中,渗透研究问题的数学思想和方法从一般到特殊,或者从特殊到一般,在特殊的图形里探索开放性的结论,难度说大也不大,但却能拓宽学生事业,培养学生批判性思维.

4 将某些条件发生改变,结论同时改变

改编4如图,RTΔABC,∠BAC= 90°,∠C= 30°,RTΔABC沿DE折叠,点C落在边BA上的延长线的点C1处,若C1D⊥BC,则下列的结论: 1○C1F=EF;2○ΔDFE是等边三角形;3○ΔABC与ΔDBC1相似;结论是正确的有( )个.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

改编分析: 直角三角形的性质, 特殊角三角函数, 等边三角形的判定,三角形相似的判定,以及三角形相似的性质等知识综合起来, 综合性开始逐渐增强, 难度也有所增加,题目变式中,学生进一步理解对折图形的性质. 有折叠可知∠C=∠FC1E=30°,利用直角三角形的两个锐角互余可得∠B= 60°,∠AC1D= 60°, 由此可得∠FC1E= ∠FEC1,1○正确;由对折可知∠CDE= ∠FDE= 45°,所以2○错误;由两个角对应相等的三角形相似可得3○正确;由两个三角形的相似比是可知4○错误,综上所述,共有2 个结论正确,选B.

5 继续设置开放性问题

让学生思考完成上题改编问题后,继续设置开放性问题,对学生的思维火花继续推波助澜,使学生的思维浪花一波未平一波又起一波.

改编5 追问: 上题中, 你还能从中得到什么正确的结论?

此时的开放性设问像是及时雨,学生本以为就要解决问题了,此时心理学有研究说明,在接近问题解决的尾声时,人的思维会逐渐成放松疲惫状态,注意力也会开始下降,而此时及时的进一步设问,对学生的思维火花继续推波助澜,使学生的思维浪花一波未平一波又起一波.

教学中教师不仅要善于诱导学生去发现问题,更要善于帮助引导他们总结归纳问题,使其认知水平逐步提高. 有了反思要求,就不会出现一味反复操练的盲目性,有了反思,就会既见树木,又见森林,就很容易把数学过程抽象化,而不只是把数学看作就是一些过程,一些细枝末节.

6 将题型改成填空题,让知识进一步落实到位

改编6如图,RTΔABC沿DB折叠, 点A落在边BC上的点A1处∠BAC=90°,∠C= 3. 则下列的结论: 1○A1C=A1B; 2○连接AA1, 则ΔABA1是等边三角形; 3○四边形ABA1D是菱形; 4○连接A1F, 则A1F=A1C; 以上正确的结论是

改编分析: 当图中对称轴发生改变时, 出现了四边形ABA1D,在原题的基础上,增加了菱形的判定知识的考查,这样的改编,将三角形—直角三角形—四边形—菱形等知识进行串联,由点带线,由线带面逐步组建知识结构. 而且将考题改为填空题的形式,学生不能再使用排除法解题,无疑难度相对是增加了. 学生必须具备空间观念、几何直观和推理能力等综合能力才能解题,让知识进一步落实到位.

7 继续进行开放性设问,并结合小组交流,在课堂中期给学生注入了新鲜的思维生命力与激情

改编7上题解决后,老师进一步设问: 具备什么条件,四边形ABA1D会是菱形?

在数学中问题无处不在,疑问无处不在. 因此课堂设疑提问是课堂教学重要环节,也是体现我们教师的基本功是否深厚的一把标尺. 该问题具备有充分的开放性,学生可以回答: 对边平行,对角线互相垂直平分等等条件. 开放性的问题有利于培养学生的发散性思维,不被封闭性条件所拘泥. 在前面这么多题的训练下,学生的无疑可能开始进入疲惫与容易开小差时间,此时的设问与小组交流无疑在课堂中期给学生思维注入了新鲜的思维生命力与激情,继续攀登.

8 将上题的开放性设问改成解答题,完成后进行小组展示和交流

改编8如图, RTΔABC沿DB折 叠, 点A落 在 边BC上的点A1处, ∠BAC=90°,∠C=30°,若A1D⊥AC,

(1)求证:四边形ABA1D是菱形;

(2)连接AA1,DC,若AB=2,求四边形ADCA1的面积.

改编分析: 本题的改编,将三角形的折叠问题逐步过渡到特殊四边形的研究中去,让学生从题目的自然变化中感受到四边形与三角形的密切联系,进一步梳理三角形与四边形的知识关系. 从上题的3○结论的排除,自然会想到具备什么条件它会是菱形的思考中来,在此基础上,将上题的填空进一步改编成大题,自然顺畅而且水到渠成. 第二个问题是计算题,综合运用直角三角形的性质、特殊角的三角函数、菱形的判定与面积计算等知识. 两个问题结合在一起,紧密相连,环环相扣.

实际上我们还可以把三角形这个条件换成平行四边形、矩形、菱形和正方形,这样的教学充分体现方法体系、思想体系、知识结构的整体性教学,根据上述方法进行条件和结论得出一般化或特殊化再进行层层深入的变式, 这将是一个“图形的折叠专题”综合性学习,在这里因为篇幅影响,将不再对改编进行一一阐述了.

像本文中改变题目的条件会导出什么新结论,保留题目的条件,结论能否进一步加强,条件做类似变换,结论能扩大到一般,等等,像这样富有创造性的全方位思考,常常是发现新知识、认识新知识的突破口. 通过这种反思,由一题多变,侧重训练了思维递进性;由条件和结论的换位,侧重训练思维的变通性;由多向探索,侧重训练思维的广阔性. 掌握一类题型的解法,可以达到事半功倍的效果.

笔者在长期的教学实践中渐渐摸索出数学变式教学的几种有效策略:

策略一: 正向与逆向相互转化

一个命题的题设和结论是因果关系的辨证统一,题型变式时,不妨从它的正面出发,逆向思维,培养学生正向思维、逆向思维,发散思维. 例如我们在教学中可将题目将某些条件发生改变,结论同时改变. 在数学习题教学中,一题多变也得循序渐进,步子要适宜,变得自然流畅,使学生的思维得到充分发散,而又不感到突然. 总之,在数学习题教学中,选用一些非加探索不能发现其内在联系的习题. 采用一题多解与一题多变的形式进行教学,可以帮助学生对知识系统性、特殊性、广泛性的深刻理解.

策略二: 从一般到特殊,或者从特殊到一般

变式教学中渗透研究问题的数学思想和方法: 从一般到特殊,或者从特殊到一般. 方法和思想的提炼无疑让学生从知识层面的理解到达一个升华的的过程. 在特殊的图形里探索开放性的结论,难度说大也不会大,能够让学生在思考研究之后得到一些结论,这能够使学生自信心增强,也拓展学生的发散性思维. 课堂教学要鼓励学生去大胆尝试,勇于求异,激发学生创新欲望.

策略三: 问题驱动,让学生思维火花熠熠生辉

教学中我们可以在下列重要环节进行问题驱动:

1. 导入新课时设问,创设问题情境,使学生的注意力集中,激发学生探求知识的欲望.

2. 围绕教材的重点和难点进行问题驱动,为学生搭建跳一跳能摘到果子的垫脚石,达到突出重点、分化难点目的.

3. 在容易混淆、模糊不清的地方进行问题驱动,有效帮助学生区分“黄豆”、“绿豆”何不同.

4. 设置错误的问题情境,在典型错题处进行问题驱动,引发学生的认知冲突,帮助学生深入分析、理解错误的本质从而牢固的掌握知识.

策略四: 题目设计由封闭向开放转化

例如当学生解决了某个问题是,我们可以乘胜追击设问:你还能从中得到什么正确结论? 设问的开放性不会限制学生的思维,能促进他们全方位的对图形进行研究和探索,开放性的设问重在引领学生的发散思维,期待直指解决问题的方法悟于变式的过程.

策略五: 将题型可在填空题、选择题、解答题、代几综合题相互转换,让知识进一步落实到位

题目变式中,逐渐将三角形—直角三角形—四边形—特殊四边形等知识进行串联,由点带线,由线带面逐步组建知识结构,而且将考题填空题、选择题、解答题、代几综合题相互转换. 例如将选择题变式为填空题,学生不能再使用排除法解题,无疑难度相对是增加了. 学生必须具备空间观念、几何直观和推理能力等综合能力才能解题,让知识进一步落实到位.

策略六: 从定点到动点逐渐变式

教学中题目的难度逐渐增大,图形逐步趋向复杂,需要学生由综合思考问题和解决问题的能力. 题目也由最开始的单一图形逐步变式为综合图形,或者由单一的两个三角形的全等变式成复杂图形的多次全等,由定点变成动点,但因为由浅入深,层层递进,学生开始具备了基础知识的储备,也有了解决这类问题的基本思路,使到他们有解决问题的信心与耐心. 这是攀登数学问题的两把金钥匙,有了这把金钥匙学生便有了勇气和忍耐力,这点尤其重要.

策略七: 从单一的纯几何题逐渐变式为代几综合题,尤其与二次函数最值结合,紧扣中考方向

要从中错综复杂的关系里寻找解题切入点需要的能力较高. 但因为变式循序渐进,逐步形成方法体系,思想体系,学生并不会觉得难以“高攀“,课堂上可让学生小组探索,让学生通过倾听他人的意见和想法,将解决问题的方法进一步梳理. 最后再让学生自行更正自己的解答过程.

策略八: 将最终想要呈现的重要几何综合压轴题进行处理,褪去繁华,回归最初雏形

在初三总复习压轴专题时,呈现的的图形复杂,综合动点、函数、最值的题型难度是很大的,如果一上课就把该题呈现,估计会让绝大多数的学生望而却步,全吓跑了. 因此科学在课堂里逐渐呈现从易到难,从常规基础题到代几综合压轴题也是数学教学的关键. 我们可以将该题处理一下,呈现本节课的“一题”最基础的模样开始进行初步探究.

就题做题的教学,学生对考题的思考是封闭的. 在解决问题中,知识没有得到进一步的整合,思维没有得到进一步的激活,思考到浅层就戛然而止. 我们反对就题论题的例题教学,倡导基于整体性的大单元复习课的教学设计,基于“一题”的深入研究,“借题发挥”,“一课一题”的深度变式教学是非常有意义的.