数学核心素养导向下的单元整体教学设计——以“二次函数”单元设计为例

华南师范大学附属中学(510620) 许 健

《义务教育数学课程标准》(2022 版)明确指出“为实现核心素养导向的教学目标,不仅要整体把握教学内容之间的关联,还要把握教学内容主线与相应核心素养发展之间的关联.”核心素养是指学生应具备的能够适应终生发展和社会发展需要的必备品格和关键能力,是数学课程目标的集中体现. 数学的核心素养主要抓好四个方面:“情境与问题”、“知识与技能”、“思维与表达”、“交流与反思”,所以对应的教学任务设计应该要设计合适的教学情境、把握好数学内容的本质、启发学生独立思考、积累数学思维经验. 为了达成以上的教学目标与课堂要求,在《义务教育数学课程标准》(2022 版)中的“教学建议”部分提出了要“注重教学内容结构化、注重教学内容与核心素养的关联以及重视单元整体教学设计[1].”

章建跃博士提出单元整体教学设计可以充分“体现数学的整体性、逻辑的连贯性、思想的一致性、方法的普适性、思维的系统性, 切实防止碎片化教学, 通过有效的“四基”“四能”教学,使数学学科核心素养真正落实于课堂[2].”可见单元整体化教学的核心是追求教学系统化,但系统化有时需打破教材已有的章节框架,正如新课程标准里指出“要改变以课时为单位的教学设计,应整体分析教学内容和学生的认知规律,合理安排整合教学内容,整体设计,分步实施,促进学生对数学教学内容的整体理解和把握.”

整体分析教学内容是单元教学设计的起点,全方位了解知识的结构,教师整体把握教学的知识、内容与思想,需要落实的核心素养;符合学生的认知规律是落脚点,偏离学生认知的总是难以达成理想的效果,所以了解学生的已有认知及思维特征和能力是教学设计的重要环节;落实教学的内容、知识和思想是教学设计的突破点, 结合知识和思想的分析,教师针对性的对单元教学进行设计,设计出既能贴近学生认知,又能落实知识、思想、重点核心素养的教学方案.

1 数学核心素养导向下单元整体教学设计的准备

单元整体教学设计由宏观到微观共分四个层次: 数学学科内容之间及其与相邻学科的联系、高等数学与初等数学的联系、数学单元之间的联系、单元内部各个课时之间的联系.[3]通过对整体的深入研究,形成核心素养落点的重要载体、模块知识学习的基本思路、辨析定义、定理、结论的思想方法、探究、解决问题的策略体系的架构.

1.1 分析单元的地位——以大单元为舵,指导教学要求

通过了解上位知识从宏观层面了解“研究内容的本质是什么”、“为什么要研究”,由下位知识从微观角度分析“用什么研究方法”“研究哪些内容”“如何应用这些知识”等. 二次函数的上位知识是函数. 下位知识是二次函数的图象、性质及其应用等.

函数是现代数学中最基本的概念,是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言,是解决客观、实际问题非常重要的工具. 它贯穿了整个数学学习生涯(如图1).

图1

史宁中教授将数学的基本思想归结为三个核心要素: 抽象、推理、模型[4]. 函数的知识是实现三大基本思想的优良载体,函数是从现实中的变量关系抽象而来,再在形式抽象的基础上进行二次抽象,实现符号化、形式化和公理化的表达.运用形象思维、逻辑思维和辩证思维进行推理,实现函数体系的完善和研究手段的丰富,最终运用函数思想与模型思想解决现实问题. 整理函数知识的整体框架,从现实中的一些变量关系引出函数的概念. 由离散的视角初步认识和学习函数,进而用连续的视角分析性质;以一次函数、二次函数和反比例函数作为基础示例帮助学生建立认知,并借助这些基本初等函数的研究,了解函数的一般研究方法,特别需要注意的是,函数这套研究方法是一以贯之的,因此让学生熟练掌握函数研究方法是一项重要的教学目标.

1.2 分析课程要求——以小单元为轴,确定单元目标

何小亚教授提出“先从整体知识的研究对象、研究方法和用途等方面给学生一个全面的概述,使学生对知识单元有一个整体的认识,然后逐个学习[5]”的教学策略. 明确培养的一般方法,关键能力,基本思想方法和核心素养的情况下,教师思考如何把这些内容合理且有效地嵌入课堂. 现以“二次函数”为例探究单元整体教学设计,结合整体要求,制定本单元学习目标.

第一、理解变量的二次关系,学会运用不同的方法刻画变量的二次关系,培养学生的辩证思维,提升学生的数学抽象能力.

第二、会灵活运用二次函数的不同表达形式. 函数表示的三种基本形式: 列表法、图象法、解析法. 图象的探究不能只停留于描点法,还应掌握运用图象变换探究函数图象的方法;对于解析法应要求学生能够根据不同的条件选用不同的解析式表达,并理解交点式的丰富内涵.

第三、掌握二次函数的性质并熟练运用. 函数的性质是函数学习重要的外显、输出部分,掌握二次函数的最值、增减性和对称性,会运用这些性质解决相关问题.

第四、掌握函数的研究方法. 不难发现,函数的主干内容和学习路径类似(如图2 所示). 研究时特别关注以下几个方面: 1、代数的运算与图象的表达并形成数形结合思想;2、探究函数与方程、不等式三者的密切联系,形成转化与化归思想;3、通过二次函数的分类讨论,提升学生的逻辑意识,培养学生的严谨推理的思维.

图2

第五、主要数学核心素养的发展. 经过二次函数的学习提升学生的数学运算、逻辑推理和数学建模等核心素养,特别是数学建模能力.

总而言之,二次函数的单元整体教学设计采用“总—分-—总”的方式,在上位知识——函数的一般性概念和常用研究过程与手段的指导下,进行下位知识的单元主题教学,教会学生函数的研究角度和方法,结合不同课时内容,合理地培养知识能力、落实数学思想的培养,建构学生的抽象、推理、模型的数学思想,发展学生的相关核心素养.

2 核心素养导向下的学情、教法学法分析

根据核心素养的要求,教学要关注学生的“四基”“四能”的发展. 所以进行学情分析时则应关注已有的“四基”“四能”的水平,明确通过单元学习后需要达到的水平,而两者的“中间区域”则是学生需发展与提升的. 因此学情分析应了解学生现有水平,结合“中间区域”寻找有效的教法,学法指导则是保证学生在清晰的逻辑下自主的发展与提升,形成继续学习的能力.

2.1 学情分析——以学情为桨,帮助知识吸收

知识与技能方面: 学生已经学过了函数的概念及其性质,一次函数的概念、图象及其性质、一次函数、方程、不等式的关系;了解函数的结合图象的定性研究方法,具有运用数形结合处理数学问题的经验,但灵活运用不足;

经验与活动方面: 学生处于抽象思维初建阶段,从客观事物抽象出数学知识以及对抽象对象的二次抽象能力欠缺;严晴,喻平在《初中生逻辑推理能力的现状调查》得出了“初中生掌握了基本的逻辑推理能力,对逻辑形式的认识不足难以保证推理的顺利进行”[7]的结论.

发现与提出问题方面: 这个阶段的孩子大多以被动学习为主,主动发现问题的意识不够强,但是在认识问题后提出问题的能力尚可.

分析与解决问题方面: 学生具备一定分析问题的能力,但是由于逻辑推理的能力所限,有时会提出一些想法,但推导过程的严谨性不足;解决问题能力主要依靠模仿,自主解决问题的意识不足.

2.2 教法及学法的指导——以学生为能,驱动自主学习

知识与技能方面: 借助同化的形式帮助学生学习二次函数的概念、探讨二次函数的图象与性质,运用图式的形式学习二次函数的图象变换,培养学生作图意识,引导学生发现函数与方程、不等式在图象上的表达,培养学生的数形结合能力. 以问题导向型课堂为主, 引导学生发现问题、思考问题、提出问题,强调学生利用已有知识和经验进行知识自主建构和自发研究.

经验与活动方面: 采用顺应的方式研究二次函数的最值,二次函数、方程及不等式关系,函数的应用则可以鼓励学生留意生活中与二次函数相关的问题;设计探究式课堂,激发学生思考和思维的互动,组织学生个人反思及小组讨论学习,最终达到学生思维水平的提升,在顺应的过程中可以在教材的基础上增加部分内容,以加深学生的认识.

在整个单元的学习过程中,学生要做好两个方面: 一要建立知识思维导图,结合所学知识更新思维导图并尝试突破章节限制,与其他的所学知识构成更为庞大的知识系统. 二要总结学习模式,归纳思想方法,形成一套有清晰逻辑线的函数单元体系及函数知识的学习体系.

3 单元整体教学设计

为了达成学生对知识的系统认识,思想方法的融会贯通,核心素养的顿悟提升,结合“研究什么? ”“怎么研究? ”“研究目的? ”“如何运用? ”“存在哪些外延和内涵? ”“如何实现思想方法的渗透和核心素养的提升? ”等问题,进行二次函数的单元整体教学设计.

本单元整体设计并未严格按照人教版的的章节,考虑知识的延续性和思维、方法的一贯性以及学生的已有能力,对个别知识内容进行了调整,如添加了二次函数在给定区间的最值讨论和一元二次不等式;加强一次函数与二次函数的关系研究,引导学生分析一次函数和二次函数的交点的分布问题. 具体设计方案如表1.

表1

4 单元整体教学设计评价

教学评价是对教学效度的重要评判依据,PISA 关于数学素养的评价中强调“超数学情境”能够有效的测试学生的核心素养,数学核心素养强调的过程、思想和经验,并不独立于知识、技能、思想、经验之外,曹一鸣教授提出了探索学生的“表现性评价”与“真实性评价”来评价核心核心素养[8].

“表现性评价”主要体现在学生课堂上的表现,通过设计现实的、可操作性的任务,学生在探究和解决问题上的表现,以及研究过程中提出问题的能力及问题的深度进行学生学习的评价. 如探究二次函数的最值问题,结合“过山车”的模型,探究车体的最高位置与最低位置,教师观察学生对此问题的讨论及分类,结合学生进行该问题的迁移思考进行学习评价.

“真实性评价”则是力图纠正标准化纸笔测试的弊端,通过复杂的数学问题和不良结构的问题来检验学生的发展能力. 不应限于书面的作业、测试,还可添加研究性学习的活动.如学完二次函数与不等式的关系后,在习题中可以加入非二次函数与相关不等式的求解,以检验学生数形结合的掌握程度和函数与方程思想的理解程度.

单元整体教学设计的目的不只是停留在知识层面,更重要的是能力和思想上的提升,而以上两种评价方式恰与目标吻合,不是停留在程序的解答、复制及再现,而是评价学生潜在的思维水平和应用知识的能力.

5 核心素养导向下的单元整体教学设计的反思

5.1 以大单元为视角,看到数学知识的整体结构及本质

遵循数学的知识结构的的单元整体教学设计,凸显数学的概念(知识)的强逻辑性,按照一定的层次、网络结构形成一套有序的组织,函数的内容更是如此,如果教师和学生的眼光只是停留在二次函数, 最终很可能“只见树木, 不见森林”,不利于学生学习函数的其他相关内容. 通过搭建大单元的知识框架,教师先看清看透,带着“针”和“线”和学生一同串联知识,让学生的知识建构呈现体系化;学生在此过程中内化知识的体系,发现知识的本质,掌握研究的方法,发展数学建模、数学抽象等核心素养.

5.2 以“学生主体”为线索,摸索探究助学生走向深广

“以生为本”是在核心素养下教学的课堂要求,以学生认知水平和已有的学习经验为基础,明确需达成的思想、方法和核心素养,遵循学生的认知结构情况下,合情合理地进行教学设计,可有效地避免“下手过重”或者“意犹未尽”的情况发生. 一元二次不等式的求解问题是联系代数与几何、呈现数形结合的重要材料,虽然课本上并没有专列内容进行讲解,但当带着学生函数与方程时,再进一步发现不等式与方程、函数的关系,学生不存在思维上的阻碍和能力上的限制,因此,结合学生的具体情况和能力,联系教学内容的要求,对教学进行大胆的设计,引导学生探一探深度,看一看广度,让学生更全面、更深层地认识知识,促进学生数学学习品格的提升.

5.3 以整体分析作为节点,培养学生的自主学习能力

建立有序、整体、系统的知识脉络, 单元小结不容小觑,本着“总—分—总”的结构进行二次函数的教学设计充分考虑到总结归纳的重要作用,对于“二次函数”的单元总结甚至针对函数相关章节进行总结,在回顾重要知识点的同时,与学生一起理清脉络、归纳方法,梳理函数的研究过程,找出逻辑线,并将学生带往更“高处”,从更高的观点找到不同函数的共同点,透过一些简单基本函数看到函数的本质,形成举一反三的能力,并创造学生独立研究陌生函数的机会,提升自主学习的意识和迁移应用的能力.

单元教学的核心思想与重要成果与核心素养的培养是高度吻合的,重视学生的逻辑与思维的培养. 课堂不仅限于知识的讲解、方法的训练,更注重引领学生全面、宽广地了解知识,抓住知识的本质属性,抓住不同知识的共同特征. 单元整体教学设计恰是一个符合育人要求、学科需求、学生发展的可行路径,按照数学知识结构和学生认知结构科学地、有效地设计单元主体,组织合适的活动及相应的评价,促使学生数学思想的生成及核心素养的落地.