对一道中考几何压轴题的探究与反思

董涛

［摘  要］ 2021年福建省中考数学试卷第25题是一道以正方形为背景，证明线段数量关系为定值的几何压轴题，该题的图形结构经典，能一题多解，可考查学生的思维广度、深度、创造性及解题能力，文章对此题图形结构进行分析，并探究解法、拓展延伸、解后反思.

［关键词］ 数量关系；构造；含参运算；一题多解

试题呈现

如图1所示，在正方形ABCD中，点E，F为边AB的两个三等分点，点A关于DE的对称点为A′，AA′的延长线交BC于点G，求证：A′C=2A′B.

解后反思

1. 执果索因，为何定形

定形的根本原因一定是数，三角形定形往往是因为具备判定两个三角形相似的条件，如定两个角的大小、定三边比值不变、定两边比值不變及定一角大小等.追寻定形原因，有助于探寻求解思路，恰当地进行边角转化.

2. 明确构图过程，分析图形结构

一个复杂图形的生成就是在题目条件不断累积下一个又一个基本图形的有序组合，当出现等边三角形、等腰直角三角形时，图中就会有特殊角度的角、数量关系不变的角和线段、中点、角平分线、垂直平分线、中位线，全等或相似等关系的图形，这些都为后面数量关系的转化和线段长度的计算提供了条件.

3. 探寻桥梁，确定求解方法

对于定形的几何综合题，题目条件通常没有具体线段的长度，无论直接联系，还是间接联系，都需引入参数进行运算. 求解时要能恰当地选择勾股定理、相似三角形的性质或三角函数进行直接计算或列方程.

4. 构造基本图形或关系图形，提升运算能力

几何背景下的运算同空间观念、逻辑推理能力分不开，这里的运算能力指的是通过识别、构造基本形和关系图形进行简化运算. 构造的关键是发现图中不变的几何量.

5. 渗透模型思想和构造思想

将“模型思想和构造思想”渗透进初中几何教学之中，既可以增强学生的空间观念和创新意识、应用意识，又能培养学生的思维能力，提高学生的数学学科素养.