培养直观想象的核心素养教学策略

邹婷婷

［摘  要］ 直观想象是数学核心素养之一，培养学生的直观想象能力能够发展学生的抽象思维，能让学生将抽象的问题变得更加形象，并学会利用空间图形解决问题. 在教学中，教师要引导学生在空间事物中感受元素关系，在图形描述中进行数形结合，利用空间图形建构数学模型，使学生发现知识、图形以及数学模型之间的联系，从而提升综合素养.

［关键词］ 直观想象；核心素养；空间图形；数学模型

培养学生的核心素养，提升学生的综合素质是新课程改革的目标和发展趋势. 核心素养是学生适应社会的综合品质与关键能力，数学学科的核心素养主要包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象和数据分析等方面的能力. 其中直观想象能力对于转变学生的思维方式，提升学生的思维能力，助力学生建构数学模型都具有非常重要的作用. 下面笔者结合教学实践，谈一谈在教学中培养学生直观想象能力的具体教学策略.

直观认识事物，感受空间关系

数学概念是从具体事物中归纳出来的抽象的性质和特征，理解抽象的数学概念需要借助具体事物和空间想象能力. 学生通过观察具体事物，能提升对空间关系的认识；通过作图、识图，能提升几何语言的转化能力.

案例1理解“角”的概念.

教学过程如下.

师：我们生活中有哪些实物具备角的形象？你能举几个例子吗？

教师根据学生的回答在课件中展示一些实物图片，如圆规、钟面、剪刀，使学生了解生活中的事物与角之间的密切关系，感受角的具体形象，认识到学习的必要性.

师：我们已经学习过直线、射线、线段的一些知识，你们还记得哪些内容？根据直线、线段、射线的相关内容，你们能猜出我们会研究角的哪些知识吗？

学生通过类比线的学习经验，猜想会学习角的哪些知识，从而建构学习内容，如图1所示.

师：请大家拿出三角尺，摸一摸三角尺的边，你感受到了什么？

生1：我摸到三角尺的顶端有一个点.

生2：要组成一个角，需要两条边和一个点.

师：你们能将角画出来吗？根据你们自己的画法，跟大家说一说你的理解. 你们能描述出角的定义吗？

学生动手画角，感受角由两条射线和一个公共顶点组成，从而归纳出角的定义.

师：现在让我们把各自画好的角表示出来. 观察图2，从角的顶点出发，在角的内部引出一条射线，请问图2中一共有几个角，应该如何表示这些角. 可以用一个大写字母将这些角表示出来吗？

生3：我们之前学习过用字母表示直线，现在同样可以用字母表示角，但是角的表示要注意与角的顶点和边相结合.

师：非常好，所以我们认识角可以从生活中的实物出发，先用文字表示，再用图形表示，最后用符号表示，这三种表示方式可以相互转化.

设计意图在本案例中，教师从学生的认知水平出发，首先带领学生观察身边的事物，对角产生初步感受，进而引导学生说一说对角的认识，再通过摸三角尺对角产生直观认知，最后将自己的认识画下来形成角的图形. 这样的过程使学生通过多种感官认识到角是由点和射线组成的，理解了角的组成元素为公共顶点和两条射线.

培养直观想象能力的第一步是从实物中抽象出几何图形，在几何图形中研究问题的数学本质. 教师通过活动引导学生在直接观察、实践操作和空间想象、相互交流中学习角的概念，培养学生的直观想象能力. 数学概念的学习不能进行强行灌输和记忆，教师教学时要遵循概念形成的过程. 学生将实物模型抽象为几何图形，先学会用文字表示角，再理解用图形表示角，最后掌握用符号表示角，经历了语言、图形、符号之间的转化，发展了直观想象能力.

借助图形理解问题，建构数形联系

图形能够帮助学生通过直接观察形成直觉判断，从而使数学结果被直接“看出来”，这种直觉判断建立在学生长期有效的思维训练基础上. 因此，在教学中教师运用图形描述问题，可以有效提升学生的观察能力，助力学生形成直觉判断. 函数是中学数学中的难点知识，在解决代数和几何问题中都有非常重要的意义. 理解函数概念的核心是建构数形联系，教师可以用“学函数用图象”的观念来引导学生学习函数知识，通过图象引导学生从“形”的角度理解函数的概念、函数的性质，渗透数形结合思想.

案例2基础课：数形结合思想.

教學过程如下.

情境创设：大家看一下代数式x2-3x，你们能否从二次函数、因式分解以及几何图形的角度进行联想？

生1：这个代数式可以作为二次函数的解析式，即y=x2-3x，它的图象是一条抛物线，根据图象我们可以知道这个二次函数的对称性、增减性，以及最值等.

生2：可以将这个代数式进行因式分解，得到x2-3x=x（x-3）.

生3：因式分解后的代数式可以作为长方形的面积计算式，x为长方形的长，（x-3）为长方形的宽.

师：数形是结合在一起的，它们是同一个知识点的不同描述方式，一种是通过数学符号来描述，另一种是通过图形来描述，解决实际问题时它们可以相互转化. 数能够精确表述数量关系，具有抽象性，图形则直观形象，两者结合有助于我们理解函数的概念. 下面我们一起来看一道例题.

例题：如图3所示，已知△ABC的顶点A，B，C的坐标分别为（0，2），（1，0），（2，1）.

问题1：假设反比例函数y=的图象和图中阴影部分（包含边界）一定有公共点，求实数k的取值范围.

问题2：假设一次函数y=kx-2的图象和图中阴影部分（包含边界）一定有公共点，求实数k的取值范围.

变式训练：假设一次函数y=kx+k-2的图象和图中阴影部分（包含边界）一定有公共点，求实数k的取值范围.

问题3：假设二次函数y=x2+bx+1的图象和图中阴影部分（包含边界）一定有公共点，求实数b的取值范围.

师：刚才我们解决了与函数相关的几个问题，你们能不能根据数形结合思想总结一下解决这类问题的基本方法？

学生用框架图将这种方法描述出来，如图4所示.

设计意图教师先借助代数式引导学生联想，从而归纳出代数与图形各自具有的特点，以及数形结合的必要性与优势，进而在解决具体问题的过程中渗透数形结合思想，最后归纳出用数形结合思想解决具体问题的方法和策略，实现数形结合思想和方法的内化与升华.

培养直观想象能力的第二步是通过图形描述具体的数学问题，使代数与图形建立联系. 函数的表示方式包括函数解析式、函数图象、表格，从函数的图象中可以得到该函数的相关性质与特点，因此，函数本身就具有数形结合特征，是培养学生直观想象能力的最佳载体. 在本案例中，教师利用例题及其变式，使学生能够直观地通过观察函数图象与阴影部分交点的变化情况，并在分析图形特殊点变化的趋势中理解图形的特征，将特殊点的坐标转化为方程或不等式，从而解决问题. 整个解决问题的过程包含从图形的分析到代数的解析，从定性分析到定量研究，实现了“以形助数，以数解形”的目标.

利用图形解决问题，建构数学模型

利用数形结合思想研究问题的核心是数与形的顺利转化与有效联系. 因此，在教学中教师要注重探源开流，找寻知识的背景与生长点，从而拓宽学生的视野，发展学生的逆向思维，增强学生的创新意识. 如可以根据代数式进行图形联想，找到解题思路，或根据图形直观想象并构建数学模型，从而使无形的代数问题变成有形的几何问题，使抽象问题变得具体、形象.

案例3拓展课：数形结合思想.

【教学课例1：数轴】

问题1：求x-2+x+3的最小值.

学生交流、讨论后一致认为需要对x进行分类讨论，从而找到最小值.

师：这种解决问题的方法是对的，但有些烦琐. 能不能进行数形结合，将代数式转化为几何图形来解决呢？大家想一想绝对值的定义，觉得可以转化为什么图形呢？

生：绝对值代表的是数轴上点与原点之间的距离，所以我们可以把这道题转化为数轴上两点之间的距离之和.

接著，师生一起解决问题1，并归纳出此类问题的解决策略——用代数式的几何意义表达数量关系，或用图形的性质来分析数量关系，具体解题步骤如图5所示.

变式1：x-1+x-2+x-3的最小值是多少？

变式2：x-1+x-2+x-3+x-4的最小值是多少？

变式3：x-1+x-2+x-3+x-4+…+x-2018的最小值是多少？

设计意图把含绝对值的代数式求最值问题转化为数轴上两点之间的距离之和，能强化学生对绝对值的理解. 将绝对值问题与数轴相结合，实现了数与形的相互转化. 将复杂的代数问题转化为通过直观观察可以解决的几何问题，彰显了数形结合的意义.

【教学课例2：平面直角坐标系】

问题2：已知平面直角坐标系中点A的坐标为（2，1），点P是x轴上的一个动点，坐标为（x，0），你能用含有x的代数式表示线段PA吗？

追问：假设点B的坐标为（-1，3），请用含有x的式子表示线段PB.

问题3：当+取得最小值时，x的值是多少？代数式的最小值是多少？

教师引导学生解题，并归纳解题策略，根据勾股定理把所求的代数式转化为求线段的和，最终求得最小值.

设计意图教师将代数式求最值问题转化为求两点之间的距离，根据勾股定理确定代数式的几何意义，从而根据线段和探讨数量关系. 直观的图形能使复杂的代数问题变得简易.

【教学课例3：方程、函数、图象的结合——换个角度看问题】

问题4：假设方程1-（x-a）（x-b）=0的两个根分别是m和n（m

变式1：假设关于x的方程x2-4x+3=m有4个不同的实数根，请求出m的取值范围.

变式2：假设关于x的方程x2-4x+3=m有4个不同的实数根，请求出m的取值范围.

解决上述问题后，教师引导学生归纳解决此类问题的策略——换一个角度，将研究方程的问题转化为研究方程两边的函数图象关系问题.

设计意图教师将方程问题转化为函数图象相交问题，能让学生感受到数形结合的优势，学生能够通过直观的函数图象看到方程根的变化，这对于解决复杂的函数问题来说具有非常重要的意义，能锻炼学生思维的灵活性.

在本案例中，教师根据学生的认知规律，从数轴中的数形结合到平面直角坐标系中函数图象的应用，实现了思想认识的飞跃；从研究直线上两点之间的距离到平面上两点之间的距离，进而到函数的具体应用，由浅入深，由易到难，引导学生深入思考.

培养直观想象能力的第三步是构建数学模型，深化数形结合思想，通过探索图形解决问题. “案例3”把抽象的代数式与形象的图形联系起来，发挥了图形的直观优势，使学生建构起了直观的形象，从而达到以图形解决代数问题的目的. 如x-2结合数轴表示数x对应的点与数2对应的点之间的距离. 我们在解决绝对值问题时可以结合数轴采用数形结合思想建构数学模型. 运用数形结合思想解决代数问题，能让学生对代数与几何之间的关系有更深入的理解.

综上所述，培养学生直观想象能力需要教师先引领学生从具体实物中感受几何元素，接着解析图形帮助学生理解问题，最后让学生在图形探索中解决问题，建构数学模型. 在教学中，教师要立足学生的认知水平，引导学生展开想象，在数形结合中寻找新旧知识的联结点，力求做到代数问题几何化，几何问题代数化，进而培养学生的数形结合意识.