勾股定理的“无字证明”教学思考

李发勇

【摘 要】 以勾股定理的“无字证明”为载体，利用数形结合的思想和方法，探究勾股定理的“无字证明”多样化思考方法，培养学生的几何直观核心素养.

【关键词】 无字證明;数形结合思想;多样化思考;几何直观

数学中，有一种利用图形直接给予证明的形式，称为“无字证明”，由于其不证自明的特性，这种证明方式被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理，深受数学家的喜爱.“无字证明”体现的正是几何直观的核心素养，蕴含数形结合思想的实际应用.

勾股定理的“无字证明”是现行华师大版八年级上册第124页一则阅读材料，让我们一起来领略“无字证明”的数学魅力吧！

1 创设情境，回顾感知

在学生自学的基础上，指出课题：勾股定理的“无字证明”.

出示勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.

师：勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，不断激发人们的探究热情，在教材勾股定理部分，我们学习了下面两种证明方法，你有什么收获呢？

如图1，勾股定理刘徽证法：

（b－a）2+4×12ab=c2，

化简得a2+b2=c2.

如图2，勾股定理赵爽证法：

（a+b）2=4×12ab+c2，

化简得a2+b2=c2.

这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”.

点拨1 “几何”主要是指“图形”，“直观”主要是指“直觉”.几何直观主要是指利用图形描述和分析问题，是数形结合思想的一种体现，是一种有效的数学学习方式和教学方式.2 全等图形组合，启迪探究证明

对于勾股定理，除了上述证法外，你还可以找到不同的“无字证明”方法吗？请你试一试.

2.1 分割镶嵌，等积拼接 [1]

作图：先画Rt△ABC，再以三边之长向外作正方形，按图3所示作DE∥AB，然后作FG⊥DE，端点均在边长为b的正方形上.

操作：剪下两个小正方形，再沿DE，FG剪下，这样边长为b的正方形被分割成1，2，3，4部分，分别平移至边长为c的正方形中，分别对应1′，2′，3′，4′部分位置，最后，将边长为a的正方形5平移至5′部分位置.

结论 由于拼接无重叠、无空隙，所以a2+b2=c2.

2.2 割补转移，直观拼接 [2]

如图4，以a，b为直角边，c为斜边作四个直角三角形，拼成图4所示的图形，使C，B，D三点在一条直线上.

由于c2=S1+S2+S3+S4，而S1=S2=S5=S6+S7，

所以c2=S5+（S6+S7）+S3+S4.

又S3+S5+S6=b2，S4+S7=a2，

代入上式，即得a2+b2=c2.

2.3 数形结合，等积计算

如图5，以a，b为直角边，c为斜边作两个直角三角形，拼成图5所示的图形，使C，B，D三点在一条直线上.

在直角梯形AEDC中，S=12（AC+DE）CD，

所以S=12（b+a）（a+b），

而S AEDC =2S △ABC +S △ABE ，所以

12 （a+b） 2=2×12ab+12c2，

化简，得a2+b2=c2.

点拨2 勾股定理的“无字证明”关键是通过几个全等直角三角形，组合成特定形状的图形，然后，利用图形特征获得巧妙证明

.3 图形变换，开启新思路

思路一 基于图1改组后利用面积关系

证法一 先以a，b为直角边，c为斜边作三个直角三角形，面积均为12ab，再以c为边长作正方形ABDE，拼成如图6所示的图形.延长DG交AC于点F，由于∠ABC=∠DBG，所以∠CBG=∠ABC+∠ABG=∠DBG+∠ABG=90°.

又∠C=∠BGF=90°，BC=BG=a，可推知四边形BCFG为正方形，所以DF=a+b，FH=b，AF=b－a.

在五边形ACBDE中，

S △ABC +S 正方形ABDE =S 直角梯形BCFD +S △DEH +S 直角梯形AFHE .

其中，S 正方形ABDE =c2，

S 直角梯形BCFD =12（a+a+b）a=a2+12ab，

S 直角梯形AFHE =12（b－a+b）b=b2－12ab，

所以12ab+c2=（a2+12ab）+12ab+（b2－12ab），

化简，得a2+b2=c2.

思路二 简化图1后割补利用面积关系

证法二 以a，b为直角边，c为斜边作两个直角三角形，面积均为12ab，拼成如图7所示的形状，点E在AC上.连结BD交AC于点F，由于∠BAD=90°，所以△ABD为等腰直角三角形，面积为12c2.在DE上截取DG=BC=a，则GE=b-a，作GH⊥DE交BD于点H，易证△DGH≌△BCF，所以GH=CF. 图7

S 直角梯形GEFH =12（GH+EF）·GE，

而EF+GH=EF+CF=CE=GE=b－a，

所以S 梯形GEFH =12（b－a）2.

因为S △ABD =2S △ABC +S 梯形GEFH ，

所以12c2=12ab×2+12 （b－a） 2，

化简，得a2+b2=c2.

思路三 基于图2改组后利用面积关系 图8

证法三 先以a，b为直角边，c为斜边作两个直角三角形，面积均为12ab，再以b為边长作正方形ACDE，拼成如图8所示的图形.在DE上截取EG=a，连结AG，可得△AGE≌△ABC，所以∠GAE=∠BAC，AG=AB=c，S △AGE =12ab.

∠BAG=∠BAC+∠CAG=∠GAE+∠CAG=90°，

又∠ABF=∠ABC+∠FBH=90°，由于AB=BF=AG=c，可证得四边形ABFG是边长为c的正方形.由于CD=BH=b，所以DH=BC=a.

在五边形ABFDE中，

S 正方形ABFG +S △FDG +S △AGE =S △BDF +S 直角梯形ABDE .

其中，S 正方形ABFG =c2，

S △FDG =12DG·DH=12（b－a）a，

S △BDF =12BD·FH=12（a+b）a，

S 直角梯形ABDE =12（AE+BD）·AC=12（b+a+b）b=b2+12ab，

所以c2+12（b－a）a+12ab=12（a+b）a+b2+12ab，

化简，得a2+b2=c2.

思路四 简化图3后利用面积关系

证法四 如图9，以a，b为直角边，c为斜边作Rt△ABC，以b为边长向外作正方形ACDE，由于∠BCD=∠ACB+∠ACD=180°，所以点C在BD上.

截取EF=BC，连结AF，易得△AFE≌△ABC，所以∠EAF=∠BAC，AF=AB=c.连结BF， 图9

所以∠BAF=∠BAC+∠CAF=∠EAF+∠CAF=90°，

所以△ABF是等腰直角三角形.

由于S ABDE =S △ABC +S ACDE =S △BDF +S △ABF +S △AEF ，

而S △ABC =S △AEF ，所以S ACDE =S △BDF +S △ABF .

又BD=a+b，DF=b－a，

所以S △BDF =12BD·DF=12（a+b）（b－a），

S ACDE =b2，S △ABF =12c2，

所以b2=12（b+a）（b－a）+12c2，

化简，得a2+b2=c2.

思路五 基于图4改变小正方形的位置，再进行割补拼接

证法五 先作边长为b的正方形ACEF，再以a，b为直角边，c为斜边作三个直角三角形，拼成图10所示的图形.连结BD交EF于点P，则∠BAG=∠AGD=90°，又AB=AG=DG=c，所以四边形ABDG为正方形.最后，作正方形BCMN，其边MN交AB于点K，面积为a2.由于DQ=BN=a，∠DQP=∠N=90°，∠DPQ=∠BKN，所以△DPQ≌△BKN，则S1=S5.

又BE=AM=b－a，∠E=∠AMK=90°，∠EBP=∠MAK，所以△BEP≌△AMK，则S6=S8.于是c2=S1+S2+S3+S4+S5，

因为S2=S4=S7+S8，

所以c2=S1+2S7+2S8+S3+S5，

所以c2=S5+2S7+2S6+S3+S5，

而S5+S7=a2，因为S3+S5+S6+S7+S8=b2，

所以a2+b2=c2.

证法六 先作边长为b的正方形ACEF，再以a，b为直角边，c为斜边作三个直角三角形，拼成图11所示的图形，连结BD交EF于点P，则∠BAG=∠AGD=90°，又AB=AG=DG=c，所以四边形ABDG为正方形，面积为c2.最后，作正方形DQMN，其边MN交DG于点K，面积为a2.

由于DQ=DN=a，∠DQP=∠N=90°，∠PDQ=∠KDN，所以△DPQ≌△DKN，则S1=S2；

又BE=GM=b－a，∠E=∠KMG=90°，∠BPE=∠GKM，所以△BEP≌△GMK，则S3=S7.

由于c2=S1+S8+S3+S4+S5，

因为S5=S6，

所以c2=S2+S8+S3+S4+S6，

而S2+S8=a2，S4+S6+S7=b2，

所以a2+b2=c2. 证法七 先作边长为b的正方形ACEF，再以a，b为直角边，c为斜边作三个直角三角形，拼成图12所示的图形，连结BD交EF于点P，则∠BAG=∠AGD=90°，又AB=AG=DG=c，所以四边形ABDG为正方形，面积为c2.最后，作正方形GFMN，其边MN交AG于点K，面积为a2.

由于DQ=GN=a，∠DQP=∠N=90°，∠PDQ=∠KGN，所以△DQP≌△GNK，则S1=S8；又BE=AM=b－a，∠E=∠AMK=90°，∠EBP=∠MAK，所以△BEP≌△AMK，则S5=S7.

由于c2=S1+S2+S3+S4+S5，

因为S2=S6，

所以c2=S8+S6+S3+S4+S7，

而S4+S8=a2，S3+S6+S7=b2，

所以a2+b2=c2.

思路六 基于图5平移后利用面积关系

证法八 先以a，b为直角边，c为斜边作两个直角三角形，拼成如图13所示的图形，点E在AC上.连结AD，BD，设AB，CD交于点F，由于∠ABC+∠BAC=90°，又∠ABC=∠DCE，所以∠DCE+∠BAC=90°，所以∠AFC=90°.

在四边形ACBD中，S ACBD =12AB·CD=12c2.

在直角梯形BCED中，S BCED =12（BC+DE）·CE=12（a+b）a.

在Rt△ADE中，AE=b－a，S △ADE =12AE·DE=12（b－a）b.

而S ACBD =S BCED +S △ADE ，

所以12c2=12（a+b）a+12（b－a）b，

化簡，得a2+b2=c2.

证法九 先以a，b为直角边，c为斜边作两个直角三角形，拼成如图14所示的图形，点E在AC上.连结BD，BE，设AB，DE交于点F，由于∠ABC+∠BAC=90°，又∠ABC=∠AED，所以∠AED+∠BAC=90°，所以∠AFE=90°.

在四边形ADBE中，S ADBE =12AB·DE=12c2.

在直角梯形ACBD中，S ACBD =12（BC+AD）·AC=12（a+b）b.在Rt△BCE中，CE=b－a，S △BCE =12CE·BC=12（b－a）a.

而S ACBD =S ADBE +S △BCE ，

所以12（a+b）b=12c2+12（b－a）a，

化简，得a2+b2=c2.

点拨3 利用平移、旋转、对折等方式，将一个简单图形制作成新图案的过程，经历观察、操作、想象的数学活动，发展学生的空间观念，培养学生的观察能力、动手操作能力和逻辑推理能力，学会欣赏数学美.

4 拓展延伸，创新思考

4.1 课外拓展：现在或课后请你和大家一起，查阅课本和其它有关书籍，或上网查阅各种相应的数据，相信你一定能够找到更多有趣的图形，验证勾股 定理.

4.2 应用

你还可以发现，“无字证明”也可以用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律.“无字证明”体现了数形结合的思想方法，展示了数学美.举例如下.

如图15，推导梯形面积公式：S=12（a+b）h.

如图16，验证两数和的完全平方公式：

（a+b） 2=a2+2ab+b2.

如图17，求自然数前n项的和1+2+3+……+n=？

用点阵表示各数，如图17.

将斜线左边的点阵旋转180°，行对齐放置在斜线右边，显然，每层都有n+1个点，共n层，共n（n+1）个点，则1+2+3+…+n=12n（n+1）.

5 反思

开发阅读材料作为数学知识和方法的一个生长点，源于教材，始于好奇，驱使学生产生强烈的求知欲，通过不断猜想、探究，获得创新成果.

勾股定理的“无字证明”是对课本知识在深度和广度上的进一步延伸和拓展，让学生体验割、补、拼等面积关系，使学生感受解决问题方法的多样性和开放性，从而激发学生的探究意识，享受几何直观数学思维的快乐，体会勾股定理的文化价值，培养学生良好的数学思维品质.参考文献[1]张青云.对勾股定理的一个无字证明的研究[J].数学教学，2008（4）：9，43.

[2]车勇.运用图形变换证明勾股定理[J].中学生数理化（教与学），2010（01）：35-36.