自然联想出困境 有效生成巧解题

【摘 要】 从问题的条件和结论出发，联系已有的知识、原理、方法、经验进行自然联想，去粗取精，去伪存真，生成有效的解题思路是解决问题的重要策略.结合一道尺规作图题的求解过程，对此进行剖析和思考总结.【关键词】 等分面积；自然联想；生成

1 试题呈现

（2023春南京市秦淮区统考第27题）如图1，AB是⊙O的弦，AB=2，∠AOB=60°.P是优弧AB上的一个动点（不与点A和点B重合），PA，PB， AB 组成了一个新图形（记为“图形P AB ”），设点P到直线AB的距离为x，图形P AB 的面积为y.

（1）求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；

（2）记扇形OAB的面积为S 扇形OAB ，当y=S 扇形OAB 时.

①在图2中，作出一个满足条件的点P；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

②在第①题所作图中，连接PA，PB.再画一条线，将图形P AB 分成面积相等的两部分.（画图工具不限，写出必要的文字说明.）

（注：第②题满分4分，如果你画的是折线，答案正确得1分；如果你画的是弧，答案正确得2分；如果你画的是直线，答案正确得4分.）

2 解法探究

本题第（1）问略.第（2）①问，点P需满足条件S △APB =S △AOB .因为两个三角形同底，所以需等高，依此原理，可按“以点A为圆心，OA长为半径作弧交⊙O于点P”实现作图.笔者主要探究第（2）②题的解法.

第一步，弄清条件：什么已经确定了？从线段、角等局部元素到整体图形以及它们之间的关系中去找.本题中的“注”也暗示着一种确定，只是实现的难度不同.第二步，审视结论：任务的实质是什么？等分图形P AB 的面积就是要分出面积为S 扇形OAB 一半的部分.第三步，审视自己：会做什么？困难是什么？即自己掌握了哪些原理、方法或已积累的经验可以得到面积相等.本题的困难是如何画线分弓形、如何处理 AB 使面积被等分.

正如，雅思贝尔斯所说：生成来源于历史的积聚和自身不断重复努力 [1] .弄清经验，有了努力的底蕴；弄清难点，有了努力的方向，难点就是突破点.

路径1 化整为零，分别等分

将等分图形P AB 的面积转化为分别等分△PAB和弓形的面积.等分△PAB的面积，可画中线得面积比为1∶1，也可画平行线用相似分面积比为1∶2，学生都比较熟悉.难的是如何在弓形中实现等分面积？难处就是痛处，首先考虑如何等分弓形的面积.

思路1 面积比为1∶1

从图形的对称性出发，最自然的想法是连结弧的中点D和弦的中点C画线段CD，再顺势画出中线PC，则折线PCD为所求.

法1 如图3，过点O作OC⊥AB交⊙O于点D，垂足为点C.连结PC，CD，则折线PCD即为所求.

如图3，由垂径定理得AC=BC，∠AOD=∠BOD，则S △PAC =S △PBC ，S △AOC =S △BOC ，S 扇形OAD =S 扇形OBD ，所以S ACD AD  =S BCD BD  ，则图形P AB 被折线PCD分成面积相等的左右两个部分，如图4，5，6.

思路2 面积比为1∶2

数缺形时少直观，形少数时难入微.法1从图形的对称性突破了平分弓形面积的难点，能否从数的角度来探讨一下呢？算算看！由AB=R，∠AOB=60°知S A-B- AB  =60360πR2-34R2.将分出的部分记为①，则S ① =12S A-B- AB  =60360π（22R）2-34（22R）2=60360πr2-34r2，其中r=22R，即r∶R=1∶2.構造以r为半径，圆心角为60°的扇形，连结弧所对的弦就可得到①.需同时将△PAB分出一部分（记为②），使S ② ∶S △PAB =1∶2.由三角形的面积比自然联想到相似.常用方法是画平行线.两个三角形的相似比为1∶2.也是1∶2，多么美妙的相遇！其实，图形 P CD  与图形P AB 是相似的.

法2 如图7，作MN=PA，以MN为直径作圆，则MT∶PA=1∶2.以点P为圆心，MT长为半径作弧交PA于点C.以点C为圆心，PC长为半径作弧，两弧交于点E.以点E为圆心，EC长为半径作弧交PB于点D， CD 即为所求.

路径2 通盘考虑，一分为二

将等分面积转化为在图形P AB 中分出一部分，使它的面积为图形P AB 面积的一半.

思路1 美丽弧线，为所善为弧、面积两者有关联吗？有，它们的关联点就是扇形.画出弧，连接半径就能形成扇形.故只需在图形P AB 中分出一个扇形，使它的面积等于S 扇形OBD .∠P=12∠AOB=30°，PA=OA=2，显然可以实现.

法3 如图8，以P为圆心，PA长为半径作弧交PB于点F， AF 即为所求.简洁美丽！

思路2 化折为直，巧成新解

画折线PCD得图5、图6，其面积都等于图形 P AB  面积的一半.能否化折为直找到新解呢？难点是如何处理 AB 使面积能被等分.联想到 AB 的中点D.由图3，S ACD AB  =S BCD BD  ，S A-D- AD  =S BD BD  .所以求作的直线必过点D.难点得到了突破！

在图51中，过点D任意画一条直线试试.若直线能平分图形P AB 的面积，则它还需使阴影部分的两个三角形面积相等，所以需MC∥PD，则点M确定.法4 如图9，过点O作OC⊥AB交⊙O于点D，垂足为C.连接PD，过点C作CM∥PD交PB于点M，画直线MD即为所求.

法5 如图10，过点O作OC⊥AB交⊙O于点D，垂足为C.连接PD，过点A作AE∥PD，交BP的延长线于点E.取BE的中点M，画直线DM即为所求.

在图6中补上△OBC，如图61，再看看.所求的直线要平分图形P AB 的面积，则需满足：1.过点D；2.在图形P AB 中分出面积等于S 扇形ODB 的部分，则需作OM∥BD.较法4、法5更为简单明了.法6 如图11，过点O作OC⊥AB交⊙O于点D，垂足为C.连接BD，过点O作OM∥BD交PB于点M，画直线MD即为所求.

拓展引申 学以致用，自然生成

若本题第（2）问删去条件y=S 扇形OAB 和问题①，还能完成问题②的作圖吗？你能自然联想到什么？又能生成哪些方法呢？试一试.3 思考总结

在解题中如何才能从自然联想开始，突破难点，最后生成合理有效的解答呢？

3.1 凑两头，立足原理，让思绪有章可循

“授之以鱼”不如“授之以渔”.“鱼”是解决问题的方案，“渔”是工具箱和方法策略.问一问我有什么？我能做什么？要我做什么？有哪些实现的路径？难题之难在于条件和任务两头的对接更发散、更曲折，常常求而不得！这时再问一问这几个问题，思路就不会混乱.

3.2 巧转化，突破难点，让联想自然顺畅

学之道在于悟，悟之道在于通.解题之难在于思而不通.如何突破？要弄清它是什么？它在哪里？联想到什么？如何转化？从最容易想到的折线到最难想到的直线只有一步之遥，越朴素的想法往往越能催生妙招，紧扣关键属性进行转化并一以贯之，才能让联想自然顺畅.

3.3 辨真伪，动态调整，让生成合理有效

做学问讲究审问、慎思、明辨.自然联想通常是开放而且多元的，要加以辨析，去伪存真，逐步靠近目标.联想要联系条件、结论和基本原理，结合基本图形和已有经验来进行，在此过程中不断地反思和质疑，作出选择和调整，寻找出路，才能生成解决问题的有效方案.

总之，正如雅思贝尔斯所说，人的生成似乎是于不知不觉的无意识之中达到的，但这无意识曾是在困境中以清醒意识从事某事的结果 [1] .在经历思辨的痛苦之后，形成自己的理解和感悟，才能生长为自我的解题能力和数学思维能力.

参考文献

[1]雅思贝尔斯.什么是教育[M].上海：三联书店，1991：14.

作者简介 何一鸾（1979—），女，江苏如皋人，硕士，中学一级教师；研究方向为数学课程与教学论.