三角形角平分线夹角的一组性质及其应用

2023-07-27李菲菲

中学数学杂志(初中版) 2023年3期

【摘要】在近年中高考中，对角平分线的相关知识及性质的考查经常出现，尤其是三角形内角及外角角平分线是命题的重点.以一道经典的动点例题，引出三角形角平分线夹角的一组性质，最终直观地建立起三角形角平分线夹角之间的联系，突破难点，建构三角形角平分线夹角模型.

【关键字】三角形；角平分线；夹角

0 引言

角平分线是人教版数学教材八年级上册的学习内容，是平面几何中最基础、最重要的内容之一，《几何原本》第九命题就是介绍如何用尺规作图法作出角平分线的.在更深入学习平面几何的知识前，角平分线的内容是绕不过去的坎.初、高中考查角平分线知识及性质的命题中有相当多是放在三角形中的，其中有一部分是对三角形中角平分线夹角的考查.本文针对这一内容，总结归纳，探究其中的联系，加深对三角形及其角平分线的认识与理解，帮助解题人明晰思路，巡踪探迹.

1 原题呈现

如图1，ABCD为平行四边形，点M是AD上的一个动点，从点A向点D移动（不与A、D重合），BA、CM的延长线交于点O，若∠O=α，分别作∠BAD与∠BCM的角平分线，两条角平分线所在的直线交于点P，请用含α的代数式表示∠APC的大小.

分析看到这个题，首先要明确这是一个动点问题，当点M从点A向点D移动时，点O，P的位置是在发生变化的，∠O与∠APC的大小也在发生变化.要求角的大小，一般要把所要求的角放到多边形中来看，如三角形、四边形等.在这个题目中，∠O与∠APC最直观的联系是都为四边形APCO的一个内角，很容易想到利用四边形的内角和为 360 °来计算，又已知∠O=α，那么只要求出其余两个角就可以了.在这个题目中我们可以试着用∠B来表示它们.

根据平行四边形的性质可知：

∠OAP=∠OAM+∠MAP=∠B+12∠BAD=∠B+12180°-∠B=90°+12∠B.

根据△OBC的内角和等于180°，可知：

∠OCP=12（180°-∠B-α），

可以得到：

∠APC=360°-∠O-∠OAP-∠OCP=360°-α-90°+12∠B-12180°-∠B-α=180°-12α.

这个题目不难，只需要理清关系，再进行一些运算就可以了，但是这个题目能反映出一些更基础、更有趣的性质——三角形角平分线夹角的性质.通过观察，CP，AP分别为△OCB与ABCD的角平分线.假若通过平移将其转变为一个三角形中的不同角的角平分线，便可以将此问题转化为三角形角平分线夹角的问题.在此题中，我们过B点作AP的平行线，交直线CP于点Q，参见图2，那么BQ为△OBC的外角的角平分线，于是只需要计算△OCB的角平分线CP与外角平分线BQ的夹角.假若可以解决三角形内外角角平分線夹角的问题，此题便可迎刃而解.我们下面来介绍一些优美的性质，帮助大家建立起一些几何直观.

2 三角形角平分线夹角的一组性质

定理1 三角形任一角的内角角平分线与外角角平分线互相垂直.

说明参见图3，利用平角和角平分线的定义即可证明.

定理2 三角形两个内角角平分线的夹角等于第三个角的一半加 90 ° [1] .

说明如图4，在△ABC中，BP，CQ分别为∠ABC和∠ACB的角平分线，交点为O，那么有

∠BOC= 90 °+12∠A.

证明设△ABC中BP，CQ分别为∠ABC和∠ACB的角平分线，且交于O.根据三角形内角和为 180 °可知在△OBC中，∠BOC= 180 °-12∠B-12∠C.又因为在△ABC中，∠B+∠C= 180 °-∠A，所以

∠BOC= 180 °-12∠B-12∠C

= 180 °-12∠B+∠C

= 180 °-12 180 °-∠A

= 90 °+12∠A.

定理3 三角形一个内角角平分线与另一角外角的角平分线的夹角为第三角的一半 [2] .

说明如图5，在△ABC中，BP，CQ分别为内角∠ABC和外角∠ACD的角平分线，交点为O，那么有

∠BOC=12∠A.

证明设△ABC中BP，CQ分别为∠ABC和∠ACD的角平分线，且交于O.因为三角形内角和为 180 °，所以在△OBC中∠BOC= 180 °-12∠B-∠C-12∠ACD.又因为∠ACD= 180 °-∠C，所以，∠BOC= 180 °-12∠B-∠C-12 180 °-∠C= 90 °-12∠B-12∠C.又因为在△ABC中，∠B+∠C= 180 °-∠A，所以

∠BOC= 90 °-12∠B-12∠C

= 90 °-12∠B+∠C

= 90 °-12 180 °-∠A

=12∠A.

定理4 三角形两个角的外角角平分线的夹角等于 90 °减第三角的一半.

说明如图6，在△ABC中，BP，CQ分别为外角∠EBC和外角∠BCD的角平分线，交点为O，那么有

∠BOC= 90 °-12∠A.

证明设△ABC中BP，CQ分别为∠CBE和∠BCD的角平分线，且交于O.根据三角形内角和为 180 °，所以在△OBC中，∠BOC= 180 °-12∠CBE-12∠BCD.又因为∠CBE= 180 °-∠B，∠BCD= 180 °-∠C，所以∠BOC= 180 °-12 180 °-∠B-12 180 °-∠C=12∠B+12∠C.又因为在△ABC中，∠B+∠C= 180 °-∠A，所以

∠BOC=12∠B+12∠C=

90 °-12∠A.

这四个夹角并不是相互独立的，可以用一个图来表示这四个夹角之间的关系，如图7.

我们也可以用一个统一的公式表示为

∠BOC= 180 °-∠BQC= 90 °+∠BPC= 90 °+12∠A.

3 回归题目，拓展延伸

下面我们回到最开始的题目，因为所要求的∠APC是两个角平分线的交角，我们可以考虑把它们移动到一个三角形中来解决它们，参见图2，于是只需要计算△OBC的角平分线CP与外角平分线BQ的夹角.但是不要忽略了另一种情形，当M从点A向点D移动时，P点是可以跑到△OBC的外部的，如图8.

画清楚图形是完成几何题目的第一步，也是最重要一步，通过作图，可以建立起初步的几何直观感受，比如图2和图8中所求的角∠APC，很明显图2中的要大一些，比α都要大，图8中的很明显要小一些，这就说明，对于不同的情况，∠APC的含α代数表达式有可能是不同的.

我们先看第一种情况——交点在△OBC的内部，∠APC是△OBC外角角平分线与另一角的角平分线夹角的补角.所以通过定理3，可以得到∠APC=180°-12α.

第二种情况——交点在△OBC的外部，∠APC是△OBC外角角平分线与另一角的角平分线的夹角，更简单一些，直接利用定理3，可以得到∠APC=12α.

例题拓展1 如图9，在△ABC中，点P在BC边上，∠BAP= 100 °，∠ABC的角平分線交AC于点O，过点O作OQ⊥AB，交BA的延长线于点Q，且∠AOQ= 50 °，连接PO，求∠BOP [3] .

解析在Rt△AOQ中，由于∠AOQ= 50 °，可以得到∠QAO= 40 °，所以可以知道直线AO为△ABP外角的角平分线，又因为直线BO为△ABP的角平分线，所以点O为△ABP的旁心，所以直线PO为△ABP外角的角平分线，利用定理3，可以解得∠BOP= 50 °.