立足基础 深究本质 提升素养——2023年新课标Ⅱ卷第22题探究

黄刚锋 (浙江省湖州市安吉县高级中学 313000)

教育部教育考试院指出,高考数学全国卷在反套路、反机械刷题上下功夫,突出强调对基础知识和基本概念的深入理解和灵活掌握,注重考查学科知识的综合应用能力,落实中国高考评价体系中“四翼”的考查要求．新课标Ⅱ卷第22题将导数与三角函数巧妙地结合起来,通过对导函数的分析,考查函数的单调性、极值等相关问题,通过导数、函数、不等式等知识,深入考查分类讨论的思想、化归与转化的思想．

1 试题呈现

2023年普通高等学校招生全国统一考试新课标Ⅱ卷第22题:

(1)证明:当0

(2)已知函数f(x)=cosax-ln(1-x2),若x=0是f(x)的极大值点,求a的取值范围．

2 解法分析

(1)构造函数g(x)=sinx-x+x2,00,所以g′(x)在(0,1)上单调递增,所以g′(x)>g′(0)=0．因此,g(x)在(0,1)上单调递增,故g(x)>g(0)=0,即x-x2

同理,构造函数h(x)=sinx-x,0

注:由上述证明过程可以发现,如果把自变量的取值范围(0,1)推广到(0,+∞),上述不等式仍然成立,即当x>0时,x-x2

3 关键点分析

4 试题背景

高等数学教材《数学分析》[1]中关于极值判别有如下几个重要定理:

费马定理 可导函数在点x0取极值的必要条件是f′(x0)=0．

极值的第一充分条件 设函数f(x)在点x0连续,在某邻域U(x0;δ)上可导．

(1)若当x∈(x0-δ,x0)时,f′(x)≤0,当x∈(x0,x0+δ)时,f′(x)≥0,则f(x)在点x0取得极小值．

(2)若当x∈(x0-δ,x0)时,f′(x)≥0,当x∈(x0,x0+δ)时,f′(x)≤0,则f(x)在点x0取得极大值．

极值的第二充分条件 设函数f(x)在x0的某邻域U(x0;δ)上一阶可导,在x=x0处二阶可导,且f′(x0)=0,f″(x0)≠0．(i)若f″(x0)<0,则f(x)在x0取得极大值;(ii)若f″(x0)>0,则f(x)在x0取得极小值．

文献[1]还指出,对于应用二阶导数无法判别的问题,可借助更高阶的导数来判别．

极值的第三充分条件 设函数f(x)在x0的某邻域内存在直到n-1阶导函数,在x=x0处n阶可导,且f(k)(x0)=0(k=1,2,…,n-1),f(n)(x0)≠0,则(i)当n为偶数时,f(x)在x=x0取得极值,且当f(n)(x0)<0时取极大值,f(n)(x0)>0时取极小值;(ii)当n为奇数时,f(x)在x=x0不取极值．

证明过程可仿照极值的第二充分条件,本质上还是利用泰勒展开式分析．

5 追本溯源

事实上,以函数极值为命题背景的高考题目以往已经多次出现:

题1(2013年新课标Ⅱ卷(理))已知函数f(x)=ex-ln(x+m)．

(1)设x=0是函数f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;(2)略．

分析 由极值的必要条件(费马定理)f′(0)=0得m=1,再验证其充分性即可．

题2(2018年全国Ⅲ卷(理))已知函数f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x．

(1)略;(2)若x=0是函数f(x)的极大值点,求a．

题3(2013年浙江卷(理))已知e为自然对数的底数,设函数f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),则( )．

A．当k=1时,f(x)在x=1处取得极小值

C．当k=2时,f(x)在x=1处取得极小值

D．当k=2时,f(x)在x=1处取得极大值

分析 考查极值是函数的局部最值这一基本概念,只需讨论在x=1附近的函数值变化情况即选出答案C．

6 变式练习

基于以上高考试题,以下两道变式练习供读者参考:

变式1 已知函数f(x)=xcosax-ln(1+x),a∈R,证明:x=0是函数f(x)的极小值点．

变式2 (2023年5月成都三诊理科)已知函数f(x)=x4-ax3sinx,a∈R,若x=0是函数f(x)的极小值点,求a的取值范围．

7 教学反思

《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出[2]:学科核心素养是育人价值的集中体现,是学生通过学科学习而逐步形成的正确价值观念、必备品格和关键能力．通过高中数学课程的学习,学生能提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力(简称“四能”)．课堂教学是数学关键能力培养的主要渠道,培养和发展高中生数学关键能力需要在长期教学中逐步渗透．

基于以上分析,从发展学生核心素养和提高学生“四能”角度审视函数与导数教学,笔者有如下认识:

好的社交媒体营销离不开好的社交媒体营销人员。栾洁（2015）认为，一个好的社交媒体营销人员应具备勇于创新的精神，在快节奏的网络世界中，时刻准备着迎接新的挑战。网络营销人员的另一个特征是诚实。在这个随时能获得大量信息的时代，任何形式的欺骗和误导都很容易被消费者发现。因此，这就要求社交媒体营销者在与消费者建立联系时，应始终坚持倾听和了解消费者的价值观和期望值，不搞欺骗，坚持追求质量而不是数量。因此，受到社交媒体使用者的喜爱才是成功的关键，这也有助于提高企业的声誉[3]。

(1)重视基础,回归本质[3]

高考注重对函数与导数最基础知识和方法的考查,利用函数的单调性、函数极值等处理不等式证明问题,所以对导数大题复习备考要淡化技巧,重视基础,回归本质,凸显导数研究函数性质的工具性作用,重点掌握导数研究函数问题的基本方法和思想,注重通性通法,注重题型及解题方法的归纳．

(2)研磨真题,提高素养[3]

2023年新课标Ⅱ卷的导数问题可以追溯到2018年全国Ⅲ卷极值点问题,处理方法是类似的,因此在平时复习备考与教学过程中,我们应该认真研究高考真题,强调通性通法,以不变应万变,培养学生的创新思维、数学抽象、逻辑推理能力,真正提高学生的核心素养．

(3)适当拓展,深究本质

导数是高中数学与大学数学接轨的内容,高考命题者往往从高观点命制导数试题,这启发我们在平时教学过程中可以根据学生的实际水平,适当拓宽教学视野,通过强化训练,引导学生消化理解,不断提升对问题本质的理解,这对于培养数学尖子生大有裨益．