模式识别:结构化的深度教学*

童玉峰 (江苏省苏州高新区第五初级中学校 215151)

《义务教育数学课程标准(2022年版)》课程理念部分要求设计体现结构化的课程内容,强调课程内容是实现课程目标的载体．在组织课程内容时,重点是对内容进行结构化整合,探索发展学生核心素养的路径．重视数学结果的形成过程,处理好过程与结果的关系;重视数学内容的直观表述,处理好直观与抽象的关系;重视学生直接经验的形成,处理好直接经验与间接经验的关系[1]．

模式识别是初中几何教学重视知识的结构化整合,是结构化的深度教学,是完成上述任务的教学手段与载体．

1 深度教学

深度教学源于深度学习．黎加厚教授等人[2]在布鲁姆教育目标分类学的基础上,认为深度学习是指在理解学习的基础上,学习者能够批判性地学习新的思想和事实,并将它们融入原有的认知结构中,能够在众多思想间进行联系,并能够将已有的知识迁移到新的情境中,作出决策和解决问题的学习．

郭元祥教授在对深度学习进行研究的基础上,认为从深度学习走向深度教学有着必然性．深度教学是基于变革教学价值观、知识观、学习观、教学过程观、教学资源观和评价观的一整套教学理念和策略,是促进学生学科知识、学科思想、学科能力和学科经验发展的教学模型[3]9．

余文森教授主张从如下四个视角理解深度教学的特征与要求[4]:(1)从学科的教学讲,有深度的教学指的是体现和反映学科本质的教学．用学科特有的精神和文化去打造学生的学科素养,用学科特有的魅力和美感去激发学生的学习动力,这才是课堂教学应有的深度．(2)从知识的角度讲,有深度的教学指的是超越知识表面结构而进入深层结构的教学．深层结构是蕴含在知识中的思维方式和价值倾向,它揭示的是知识的深层意义及知识背后的智慧意义、文化意义和价值观念,反映的是人的精神世界和价值世界．(3)从教师角度讲,有深度的教学指的是教师对教材钻得深、研得透的教学．不能简单地把深度教学理解为仅仅是教学内容有深度和难度,还需要学生学习活动有深度和高度．(4)从学生角度讲,有深度的教学就是让学生进行深度思维的教学．要求教师在传授教材的知识内容的同时,引导学生的思维深入到知识的发现或再发现的过程中去．

郭元祥教授还认为,深度教学有助于发展 学科核心素养,教学中要关注学科知识结构化、学科思想体系化、学科能力表现化和学科经验连续化[3]160-164．

如上所述,数学教学应是结构化的深度教学,以完善学生的认知结构,形成学生的学习结构,促进深度学习．初中几何解题教学中的模式识别就是一种结构化的深度教学．

2 模式识别

2.1 模式识别概述

在几何解题教学中,模式识别是基本图形(或基本问题)的基本结论、基本思想和基本方法．我们往往可以通过对基本图形(或基本问题)进行各种变式,在解决问题的过程中探寻出基本图形(或基本问题)及诸多变式的共同特征,概括出它们的一般规律,总结出基本图形(或基本问题)的基本结论,归纳出一般的数学思想和方法,构建出解决问题的模式．运用迁移、化归等数学思想方法,进行直接识别应用、间接识别应用、转化识别应用、变式识别应用、迁移识别应用、拓展识别应用,最终达到问题解决的目的．

图1

2.2 模式识别举例

2.2.1 模式的构建与理解

例1如图2,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D．

图2

问题1 你能从题中得出哪些与角有关的结论,是如何得出的?

问题2 △ABC被AD所截得到的两个三角形之间有什么关系,你是如何得到的?

问题3 由这两个三角形相似,可以得到哪些线段之间特殊的数量关系?

问题4 根据上面的探究,你还能得出什么类似的结论,你是如何得到的?

问题5 你能对上述的探究和结论做一个小结吗?(在直角三角形中,斜边上的高将其分成两个小的直角三角形,它们与原三角形相似．并且,存在着三组有比例中项的比例式．)

这个模式就是射影定理．初中阶段不学习这一定理,而它恰是一类结构特殊的相似三角形(有公共边的两个三角形)的特殊结论——存在以公共边为比例中项的比例式．模式的构建过程就是一个定理的探究过程,学生经历角相等到三角形相似,再到比例式的存在,最后得到等积式,是一个在逐步探究中逐步得到结论并形成结构的过程,有利于对这一类几何问题的解决．

例2如图3,⊙O的半径为2,点A是⊙O上的动点,点P是⊙O外一点,且OP=3,连接AP．

图3 图4

教学时,教师可以提出如下的问题串:

问题1 观察图形,结合已知条件,在点A的运动过程中,你能发现什么规律?

问题2AP的长度是如何变化的?你能通过计算来说明AP的最小值吗?

问题3 你能通过计算来说明AP的最大值吗?通过例题,可以得到什么样的结论?(连接圆外一点与圆心并延长,与圆有两个交点,该点与远交点的距离就是最大值,与近交点的距离就是最小值.)

问题4 在问题解决过程中,重要的依据是什么?

例题从具体的问题出发,在点A的运动过程中,观察点A的位置与AP长度之间的关系,进而猜想并证明AP的最大值与最小值,发展学生的几何直观,以及发现问题、合情推理能力;通过“两点之间线段最短”这一基本事实进行证明,进一步发展学生的推理能力,使其体会合情推理、演绎推理之间的相辅相成．

接着展示下面的问题:如图4,⊙O的半径仍然为2,点A仍是⊙O上的动点,将点P改变为⊙O上一点,连接AP．教师继续提出问题:

问题5 你能得到类似上面的问题吗?如何去解决呢?

问题6 你还想探究什么问题?可以得到什么结论?你会证明吗?

问题7 通过对前面三种不同位置关系的研究,同学们可以得到怎样的一般结论?

问题8 你会用图形语言和符号语言来表示上面的结论吗?(表1)

表1 用图形语言和符号语言刻画研究问题

在上面解决问题的过程中,构建出一个“模式”——基本图形的基本结论、基本思想和基本方法．基本图形——连接点与圆上的一点.基本结论——点连接圆心并延长,与圆有两个交点,该点与远交点的距离就是最大值,与近交点的距离就是最小值．基本思想——构造三角形．证明这一结论的基本方法——利用基本事实“两点之间线段最短”．

如上的研究,是平面内定点到圆上动点的距离最值问题．通过点与圆的三种不同位置关系的分类讨论,研究了特殊位置关系与特殊数量关系的相互转化,并找到了不同位置关系中数量关系的共性,归纳出不同图形的共同特征与本质属性,进而构建出模式．

2.2.2 模式的识别与应用

·直接识别应用

例3如图5,已知∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AD=4,BD=9,则CD的长为．

图5

此题中,可以直接识别出例1中的模式,由△ACD∽△CBD得到比例式,进而得CD2=BD·AD=9×4=36,舍去负值,得到CD=6．

这里是对模式的直接识别和直接应用,这是一种直觉思维,式是几何直观的外部表征．直接识别和应用模式,可以缩短思维路径,增加解题效果,增强学生学习数学的成就感,激发学生学习数学的兴趣,增强数学学习信念．

·间接识别应用

例4如图6,在矩形ABCD中,动点E,F分别从C,D两点同时出发在边BC,CD上移动(其中一点到达终点时另一点也随之停止),其中点F的运动速度是E的两倍,连接AF和ED交于点P,由于点E,F的移动,使得点P也随之运动．若AD=4,CD=2,则CP的最小值是．

图6 图7

这里的⊙Q是隐形的,需要根据Rt△APD找出隐圆,再结合图形的结构间接得到例2中的模式,然后运用模式的结论与思想方法去解决问题．

·转化识别应用

例5如图8,△ABC中,AB=AC,BC=16,AD⊥BC于点D．AD=6,P是半径为4的⊙A上一动点,连接BP, 若E是BP的中点,连接DE,则DE长的最大值为．

图8

本题考查的是点和圆的位置关系、等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形中位线定理,根据题意将DE长的最大值转化为CP的最大值,再结合例2中的模式来解决问题．

·变式识别应用

例6图9是某小区内“儿童乐园”的设计示意图．已知⊙O的直径AB为24 m,点C在⊙O上,且CA=CB．P为AB上一动点,连接CP并延长,交⊙O于点D．连接AD,BD．过点P分别作PE⊥AD,PF⊥BD,垂足分别为E,F．按设计要求,四边形PEDF内部为沙坑,阴影部分地面铺设塑胶,圆内其余部分为绿化区．研究设计方案后发现,沙坑(四边形PEDF)的面积为49 m2时,整体布局比较合理．试求当四边形PEDF的面积为49 m2时AP的长．

图9

这里的△ACP与△DCA是例1的变式,虽然图形不完全相同,但是它们都是通过两角相等证明两个三角形相似,然后通过对应边成比例得到比例式,进而得到以公共边为比例中项的比例式．所以,在用模式识别来解决数学问题时,不仅要注意外形上的分析,还应该对题目的结构进行分析,而且要注意内容上的理解,要能够从一个孤立静止的数学形式中找出关联的数学内容．在解题过程中,不仅要注意方法、技巧和已有数学结论的应用,而且要揭示数学内容上的转化,注意从内容的联系上去寻找解题思路[6]．

2.2.3 模式的反思与完善

上述的例1和例2是从基本图形的属性探究和不同分类中概括和抽象出模式的,在这一构建的过程中,需要不断地对过程、方法、结论等进行反思,不断地认清模式的数学本质．在模式识别应用的过程中,模式本身也在不断变化,需要我们不断反思与完善．

如例1中的模式,从特殊的有公共边的直角三角形相似结构变化为有公共边的一般三角形相似结构;还可以和其他数学知识进行综合,如例6中,将变式后的模式嵌入圆的背景中,就是模式的进一步发展．

再如例2中的模式,从一般的结构发展成例4的隐圆结构,再发展到例5中通过三角形中位线定理转化的模式．

3 模式识别教学是深度教学

3.1 模式识别教学是问题解决的深度教学

初中几何模式识别符合一般问题解决的理论,是一个问题解决的认知模式:通过对基本图形的属性探究和不同分类的研究,探寻其共同特征和共同属性,概括一般规律,总结基本结论,归纳蕴含的数学思想和方法,构建解决问题的模式．运用迁移、化归等数学思想方法,进行直接识别应用、间接识别应用、转化识别应用、变式识别应用、迁移识别应用、拓展识别应用等,探寻出解决这类问题的一般思路和方法,最终达到数学问题解决的目的．

如图10所示,模式的构建是一个开放多元的概括和抽象的过程,模式的识别是一个化归的过程,模式的应用是一个迁移的过程．因此,学生运用模式识别学习是一种深度学习,教师运用模式识别教学是一种基于问题解决的深度教学．

图10

3.2 模式识别教学是结构化的深度教学

·模式识别教学有助于完善学生的认知结构

在模式识别教学中,教师通常可以采用如下的教学策略:

(1)以“模式的构建—理解—识别—应用—反思—完善”为教学与学习过程．在过程中引入知识,关注知识之间的联系,在体系中去学习知识,产生方法、经验,扩充原有的认知结构,形成新的认知结构．

(2)以结构形成方式进行教学．以若干例证为观察对象,概括出这些例证共同的、本质的特征与属性,构建模式,形成图式．这样形成的图式有助于学生识别新的例证,更有助于识别模式和应用模式．

(3)让学生在学习的过程中提出样例．模式识别的课堂教学需要更加开放,鼓励学生提出新图式的样例,并将其与基本图形的基本结论进行比照,加深对模式的理解．这样的认识和练习将使学生养成发现和提出问题、分析和解决问题的习惯．

(4)知识的综合应用．模式的构建过程中会用到许多知识,并且在识别应用的过程中会更多地关注知识之间的内在关联,形成特定的知识结构,在将陈述性知识转换为程序性知识的同时形成过程性知识．这样的教学,会使得学生的认知结构更加优化、更加完善．

如上的阐述,形成了如图11所示的一个学习和教学的过程,所以初中几何模式识别进一步强调知识结构化、方法和经验的积累与迁移．让学生在模式的构建与理解中学会用数学的眼光观察世界,在模式的识别和应用中学会用数学的思维分析世界,在模式的反思和完善中学会用数学的语言表达世界,通过模式识别落实“四基”和“四能”,促成数学课程标准的落地．

图11

·模式识别教学有助于形成学生的学习结构

模式识别教学是通过对基本图形的属性探究和对基本图形不同分类的研究,抽象出不同例证的共同特征与共同属性来构造模式——基本图形的基本结论、基本思想与基本方法,在学生理解模式的基础上构建了一个全新的解决这类问题的例证．在后续出现要解决的例证时,将其与构建的模式进行比照,发现图形的共性、方法的共性,即识别出模式．然后运用模式中蕴含的基本思想和基本方法得到基本结论,即应用模式．在模式的构建、识别和应用过程中,对模式进行反思,包括反思图形、结论、方法等,对模式进行矫正和完善,也有可能形成新的模式．这样便构成了一个教学结构,如图12所示．

图12

在这样的教学的长期影响下,学生会在快速、高效解决问题的过程中获取成功的体验,进而产生一种积极的心态,在这种积极心态的影响下,学生也会自主、主动地尝试着去发现和构建新的模式,并尝试着运用模式识别去解决问题．当他们再次有了成功体验后,这种尝试便得到了强化．那么这样的教学过程就是一个学生学习的过程,这样的教学结构滋生出一个高效的学习结构．

总之,模式识别这种结构化的深度教学有助于促进学生的深度学习,有助于发展学生的数学核心素养,有助于落实数学的育人价值．