用实物工具“做”数学*

张 亮 (江苏省苏州工业园区星汇学校 215021)

李明树 (江苏省苏州工业园区东沙湖实验中学 215021)

王晓峰 (江苏省苏州工业园区教师发展中心 215021)

实物工具具有直观、易操作、贴近学生生活等特点．教学活动中,学生运用实物工具“做”数学,更容易形象化地观察、归纳、类比和猜想,调动多种感官参与学习过程,通过实物工具的操作,感悟数学概念,验证所学的数学原理和方法,自主探索发现新的数学知识,并用已有经验解决问题．

1 在实物工具“做”数学中理解数学概念

概念是反映事物本质属性的思维形式,正确的概念是科学抽象的结果．数学概念一般来源于现实的生活实践,是从现实中抽象概括出来的．教师在进行概念教学时,可以根据学生已有的活动经验和学习基础,从现实中寻找实物模型或通过实验帮助学生对概念形成感性认识,让学生在观察、实验、猜测、推理、归纳的过程中抽象出概念,揭示概念的本质,从而正确、清晰地理解概念[1]．

1.1 利用函数发生器,理解函数概念

实验准备:函数发生器、卡片若干．

实验操作:(1)如图1,请同学们将标有数字1的红色卡片从函数发生器进口处插入,卡片从出口处滑出,记下卡片滑出时朝上一面的数,两人一组,填入表1;依次将其他的红色卡片从函数发生器进口处插入,记录输入和输出的数字;在黄色空白卡片正反面填入数字,再次演示刚刚的过程并做好记录．(2)观察每一次的“输入数”与“输出数”,对比总结,你有什么发现?

图1

思考在这个问题中“输入数”和“输出数”是两个变量,给出一个“输入数”,都会对应着一个“输出数”,“输出数”随着“输入数”的变化而变化．一般地,如果在一个变化过程中有两个变量x和y,对于变量x的每一个值,y都有唯一的值与之对应,那么我们称y是x的函数．其中x是自变量,y是因变量．

最后请学生在黄色空白卡片的正、反面各写一个数,自行演示函数发生的过程,“输入”一个数x,“输出”一个数y,理解函数的概念．显然,上述过程是一个在“做”中发现的过程,在“做”中体会两个变量的对应关系,让学生的数学思考有所依托,让抽象难懂的概念变得直观生动起来,为后续函数的学习奠定基础．

上述“做”数学的过程,实质是让学生在“做”中发现“做”的素材与“做”的过程.正是经历了“做”后的观察、验证、发现,学生实现了对数学概念的深度理解．

1.2 制作“多功能筝形器”,理解三角形的外心、内心、重心、垂心等概念

实验准备:准备两根10 cm长、两根8 cm长的纸管,回形针若干,2 mm宽彩色细纸条一根,刻度尺一把,透明胶带一卷,剪刀一把,记号笔一支．用回形针把四根纸管的首尾钉在一起,形成一个筝形(图2),并用透明胶带和2 mm宽的彩色纸条在四根吸管上标记相等刻度,得到“多功能筝 形器”[2]．

图2

实验操作:(1)做出△ABC的外心和重心．我们知道外心是三边垂直平分线的交点,可从已知线段AB开始,利用多功能筝形器作线段AB的垂直平分线．调整多功能筝形器,使连接不相等两边的工字钉分别与点A,B重合(图3),用记号笔分别在另外两个工字钉的位置标记点D,E,作直线DE,就是线段AB的垂直平分线．分别作△ABC三边的垂直平分线,可以得到外心(图4)．若画出三角形的三条中线,三角形的“重心”就自然凸显出来了(图5)．若连接三角形的两条边上的中点,就得到了三角形的一条中位线(图6)．

图3 图4 图5 图6

(2)做出△ABC的内心．我们知道内心是三条内角平分线的交点,可从已知∠AOB开始,利用多功能筝形器作∠AOB的平分线．使多功能筝形器上连接较长两边的工字钉与点O重合,较长的两边上的另外两只工字钉分别落在角的两边OA,OB上,第四个工字钉在角的内部落点记为点P(图7),则OP为∠AOB的角平分线(图8)．分别作△ABC内角的角平分线,可以得到内心(图9)．

图7 图8 图9

(3)做出△ABC的垂心(图10)．在△ABC中,利用操作(1)的方法画出线段BC垂直平分线MN,延长线段CA,利用平移的方法过点A作BC的垂线,垂足为点D,则线段AD为BC边上的高(图11).三角形三条高所在的直线交于一点,此交点即为三角形的垂心(图12)．

图10 图11 图12

思考上述方法与尺规作图有怎样的关系?借助多功能筝形器的彩色纸条,还有没有其他得到垂直平分线和角平分线的方法?

学生对于外心、内心、重心、垂心四个概念一直容易混淆,究其原因,除了概念本身较为抽象以外,还在于大多数教师是直接告知学生的,学生并没有经历形象的感知过程．使用自制的多功能筝形器则可以让学生直观具体地体验概念的由来．借此工具,可以物化尺规作图,让学生对数学概念的理解更加深刻．

2 在实物工具“做”数学中探究数学原理

在传统教学中,教师对于数学原理大都是把它直接展示给学生,而忽视知识的发生过程,这样不经意间压缩了学生对新知识学习的思维过程,造成了感知和概括之间的思维断层,难以保证课堂质量,更谈不上发展学生的思维能力.在揭示知识的形成规律上,用实物“做”数学让学生动手做实验,自己去发现数学原理,这样得出的结论,记忆与理解均较深刻．

2.1 钉板围长方形,探究一次函数的图象

实验准备:一块透明含磁吸的钉板、若干相同的彩色皮筋、一张周长为12个单位长度的矩形纸片．

实验操作:(1)长方形的顶点O与坐标原点(钉板左下角的钉)重合．

(2)长方形的两条边分别落在x轴和y轴上．

(3)钉板相邻两钉的距离与平面直角坐标系单位长度一致,均为1,描出右上角的顶点B1,B2,B3,B4,B5．

(4)坐标满足一次函数y=-x+6的点B1,B2,B3,B4,B5在同一条直线上吗(图13)?生1拿尺子靠过去观察,发现这5个点在一条直线上．生2过两点画直线,观察另外3个点在不在这条直线上．上述两种方法好像都能得到这5个点在一条直线上,但都缺少理论依据．生3发现点在y=-x+6上,x增大1,y则减小1,可证明全等,进而5个点在一条直线上．

图13

(5)给出长宽未知但周长为12的长方形(如图14放置),其顶点B6是否满足上述猜想?B6坐标满足一次函数y=-x+6,所以它是函数图象上的点．抛开实际问题,y=-x+6中x可以取哪些值呢?学生发现是任意实数．

图14 图15

思考初步形成“一次函数图象上有限个点好像在同一条直线上”的基本认识后(图15),教师引导学生从“有限个点”到“无限个点”过渡,进一步深究,引导学生猜想一次函数的图象,这里始终不将其作为结论给出．

一次函数是学生接触到的第一类函数,其图象的探究方法对后续函数学习有借鉴作用.借助实物工具,引导学生自主研究坐标轴上的点及一次函数“图象”上的点,用直尺靠,用眼睛看它们的位置关系,锻炼学生“做”数学的能力,发挥学习的积极性和研究力,激发深层思维,培养合作精神.让学生初步体验、大胆猜想后,可借助画图软件对点的个数进行加密,最终得到一条直线．

2.2 借助火柴棒,探究数学图形的变化规律

实验准备:火柴棒若干．

实验操作:(1)数字变形．①如图16,是用火柴棒搭成的0到9十个数字．只移除1根火柴棒,哪些数字能够改变成另一个数字?②如果改为“仅添加1根火柴棒”,图16中的哪些数字会变成其他数字?

图16

(2)巧变等式．如图17,分别移动1根火柴棒,使得等式①②③④成立．

图17

(3)巧搭图形．①如图18,搭一个三角形需要3根火柴棒,那么搭两个三角形需要几根火柴棒?搭三个呢?搭四个呢?②按照图18的方式,利用9根火柴棒能搭出几个三角形?③搭四个三角形至少需要几根火柴棒?④假设每根火柴棒的长度为1,你能用12根火柴棒搭出面积为4的图形吗?(火柴棒不能多余或重叠);能用12根火柴棒搭出面积为5的图形吗?能搭出面积为8的图形吗?能用10根火柴棒搭面积为4的图形吗?能搭几种?

图18

(4)巧变图形:①如图19,是用15根火柴棒搭成的5个三角形．移动其中的3根,使其变成7个相同的三角形．②如图20,是用火柴棒搭成的“小鸟”图案．移动其中的3根火柴棒,改变小鸟的飞行方向．

图19 图20

思考从数字到图形、从平面到立体、从找规律到问题创新,在这个问题中,图形和等式变化的本质是什么?

在实物工具“做”数学中,让学生根据自己的实际操作和合理的猜想,体会从特殊到一般的思考过程,探究数学原理,体会数学的魅力和实验的价值．

3 在实物工具“做”数学中解决问题

利用实物工具解决实际生活问题时,需要学生结合基本的生活经验及所学数学知识和原理,在“做”数学中体验解决实际问题．通过实践 体验,学生需要不断尝试,在尝试中寻找解决问 题的方式与方法．合理运用手中的工具,互相合作,深入探究,提升解决实际问题的能力,体悟“数学的思考”,有效促进应用意识和创新意识的养成[3]．

3.1 测量旗杆高度

为了测量操场上旗杆的高度,让学生进一步体验和感受三角函数的价值,我们可以用工具“测角仪”来帮助学生直观体验“做”数学的过程．

实验准备:测角仪、皮尺等测量工具．

实验过程:(1)先确定测角仪与地面的高度以及对应的仰角角度α(图21);(2)向前走am,再次利用测角仪测对应的仰角角度β;(3)利用三角函数的知识计算．

图21

思考除了测量旗杆的高度以外,利用这种方法还可测量生活中哪些物体的高度?

上述利用实物工具(皮尺、测角仪)在丰富有趣的情景中“做”数学,为学生提供了一个实际解决问题的场景,学生在做中思,在做中悟,打开了思维视角,获得了基本活动经验．正是这种实际体验,让学生对三角函数的知识和本质有了更加深刻的认识,也在解决实际问题中真实感受三角函数的应用价值,激发了学生学习数学的兴趣,增强了学生的问题意识和创新意识,为学生更好地理解数学、运用数学提供了坚实的基础．

3.2 探索多面体截面的形状[4]

实验准备:水立方、其他多面体．

实验过程:(1)探索正方体的截面形状．通过调节“水立方”的摆放方式,就能得到正方体截面的不同形状(图22)．思考:为什么截面会出现这些形状?你能利用2号“水立方”依次截出四边形、五边形、六边形形状的截面吗?通过动态演示,从本质上揭示了截面产生的原因及变化的过程,进一步发展学生的空间观念．

图22

(2)探索正方体截面形状的特殊性．①正方体截面可以是特殊的三角形吗?学生观察发现可以截出等腰三角形、等边三角形,但截不出直角三角形、钝角三角形.②截面除了是正方形外,还可能是其他特殊的四边形吗?发现可以得到矩形、平行四边形、菱形、梯形、等腰梯形等.③当截面为四边形时,这些四边形是否具有共同的特征?发现至少有1组对边互相平行,至少有1组面互相平行.④当截面为五边形呢?发现2组对边互相平行.⑤当截面为六边形呢?发现3组对边互相平行．

(3)探索切割后所得几何体特征．钻石原石经过切割后,剩下的余料当然也要尽可能利用起来,将其重新加工成小的钻石．那么,正方体切割后,余下部分(液体部分)是怎样的几何体(图23)?①当截面为三角形时,余下的部分会是怎样的几何体?②当截面为四边形时,余下的部分又会是怎样的几何体?③这些截面为四边形的几何体是否具有共同的特征?如果有,请说明原因．当截面为五边形或六边形呢?④其他多面体形状的钻石原石截面会是怎样的形状?切割后所得的几何体呢(图24)?

图23

图24

上述活动中,学生经历观察想象、思考发现、分析说理,“由体到面”,“由面到体”,构成了两个互逆的探究过程,在“静态推理”中揭示问题中隐藏的结论,在“动态操作”中不断地发现、提出问题,进而分析、解决问题,从而发现蕴藏在问题中更为一般、更加丰富的结论、规律与方法．通过“做”数学解决钻石切割面问题,引导学生学会如何

透过现象看清本质,给学生提供了想象空间.学生产生、形成了数学活动经验,发展了空间观念,提高了推理能力,促进了思维与实践经验的不断累积和叠加,并最终升华为方法与策略．

4 结语

用实物工具“做”数学,给予了学生时间和空间上的实践媒介,在运用实物工具“做”数学时,抽象的数学知识变得直观形象,复杂的问题变得通俗易懂,更能培养学生的创新意识和实践能力,能够让学生更好地经历知识的生成过程,渗透思维的发展,激发学习数学的热情．教学中可以结合具体的学习内容,利用所需的实物工具设计有效的“做”数学活动,使学生经历数学的发生发展过程,体验各种数学活动过程的结果,在“做”的过程和思考的过程中积淀,从而科学有效地培养学生的思维能力,落实核心素养．