极小值原理及应用

刘海燕 麻芮

摘要：本文主要由偏微分方程的极大值原理推广到偏微分方程的极小值原理以及极小值原理的应用。

关键词：极大值原理；一致椭圆方程

假设Ω是一个在Rn中的有界连通域，在Ω中考虑算子L

[JZ]Lu=aij（x）Diju+bi（x）Diu+c（x）u

对于u∈C2（Ω）IC（Ω[TX-]），我们总假设aij，bi，c是连续的，因此在Ω[TX-]上有界，L是Ω中的一致椭圆方程有下面情况：

[JZ]aij（x）ξiξj≥λ|ξ|2x∈Ω，ξ∈Rn

〖KH*2〗对于存在正常数λ。

引理1.1假设u∈C2（Ω）IC（Ω[TX-]）满足Lu>0且c（x）≤0，如果u在Ω[TX-]上有非负极大值，则u在Ω中不能达到极大值。

由此推出当Lu<0时，如果u在Ω[TX-]上有负的极小值，则u在Ω中不能达到极小值。

推广1.1假设u∈C2（Ω）IC（Ω[TX-]）满足Lu<0且c（x）≤0如果u在Ω[TX-]上有负的极小值，则u在Ω中不能达到极小值。

证明 假设u在x0∈Ω上获得Ω[TX-]上的负极小值，则Diu（x0）=0且矩阵B=（Diju（x0））是半正定的，通过椭圆率矩阵A=（aij（x0））是正定的，因此矩阵AB是半正定的，所以aij（x0）Dij（x0）≥0，所以Lu≥0，与假设矛盾，所以u在Ω中不能达到极小值。

定理1.2（极小值原理）假设u∈C2（Ω）IC（Ω[TX-]）满足Lu≤0且在Ω中c（x）≤0则u在Ω上有Ω[TX-]上的负极小值。

证明：对于ε>0，考虑w（x）=u（x）εecα1且α有待确定，则我们有

[JZ]Lw=Luεecα1（a11α2+b1α+c）

因为b1，c有界，又因为a11（x）≥λ>0，对于xΩ，通过选择α>0足够大，我们有

[JZ]a11（x）α2+b1（x）α+c（x）>0

对于xΩ，意味着Lw<0在Ω中，通过引理1.1，w在Ω上获得负极小值，即

[JZ]su[DD（X]Ω[DD）]pw≥sup[DD（X]Ω[DD）]w

则

[JZ][XCimage88.tif；%95%95，JZ]

通过ε→0得证。

极小值原理的应用

命题1 假设uC2（Ω）∩C（Ω[TX-]）满足

[JZ][JB（{]Lu=finΩ[SX（]u[]n[SX）]+α（x）u=φonΩ[JB）]

这里n[TX-]是指向Ω的外向法向量，如果在Ω中c（x）≤0且在a（x）≥α0>0则有

[JZ][XCimage97.tif；%60%60]

这里c是正常数仅依赖与λ，Λ，α0和diam（Ω）。

证明：特殊情况：c（x）≤c0<0我，我们将得到

[JZ][XCimage101.tif；%50%50]

定义[XCimage102.tif；%50%50，JZ]则有

[JZ][XCimage103.tif；%50%50]

如果u在Ω[TX-]中有负的极小值，则通过定理1.2v在Ω上获得负的极小值，也就是说x0εΩ。这意味着对于n[TX-]=n[TX-]（x0）在x0处的外法向量有[SX（]v[]n[SX）]（x0）≤0，因此可得

[JZ][XCimage112.tif；%50%50]

这是矛盾的，因此我们有在Ω[TX-]中v≥0。特别的

[JZ][XCimage115.tif；%50%50]

对于特殊的情况c0，α0比依赖于λ，Λ

一般情况：对于xΩ有c（x）≤0。

考虑辅助函数u（x）=z（x）w（x），这里z在Ω[TX-]中是一个正函数且有待确定，直接计算w满足

[JZ][XCimage123.tif；%50%50]

[JZ][XCimage124.tif；%50%50]

这里[XCimage125.tif；%50%50，JZ]，我们需要在Ω[TX-]中z>0使得有

[JZ][XCimage127.tif；%50%50]

[JZ][XCimage128.tif；%50%50]

或

[JZ][XCimage129.tif；%50%50，JZ]

[JZ][XCimage130.tif；%50%50]

成立

假设领域Ω取决于{0

[JZ][XCimage135.tif；%50%50]

如果选择β使得β2a11+βb1≥1，则我们有

[JZ][XCimage138.tif；%50%50]

如果选择A足够大，有归结到了特殊情况。

参考文献：

[1]保继光，朱汝金.偏微分方程[M].北京：北京师范大学出版社，2011：120.

[2]普劳特，温伯格.微分方程最大值原理[M].北京：科学出版社，1985：194.

[3]O.A.奥列尼克，郭思旭译.偏微分方程讲义（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2008.1.

作者简介：刘海燕（1993），女，汉族，新疆乌鲁木齐人，硕士，研究方向：基础数学。