自组织视域下的“回想-联想-猜想-反思”教学模式初探——以2022年新高考Ⅰ卷第17题为例*

郭建华 (江苏省南京市金陵中学 210005)

蔡 欣 (江苏省南京市中华中学 210019)

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》非常重视学生自主学习的能力,这恰恰体现了教学本源的回归和自组织学习状态的重要性．后现代课程的自组织教学模式为我们提供了一个开放的、师生平等对话的从被组织(该组织只有在外界干预下才能进行演化．它的组织化不是自身的自发、自主的过程,而是在外部驱动下的组织过程或结果[1])向自组织(如果一个系统在获得空间的、时间的或功能的结构过程中,没有外界的特定干涉,我们便说该体系是自组织的．这里“特定”一词是指那种结构或功能并非外界强加给体系的,而且外界是以非特定的方式作用于体系的[1])转变的教学过程．将自组织理论应用于数学教学活动中,将会不断促进和深化数学教学改革．在教学活动中,要不断探索和创新教学模式,不仅重视如何教,更要重视如何学,将数学学科核心素养贯穿于教学活动的全过程．

1 自组织视域下的教学过程

教学过程的自组织是指在教师的引导下,学生的知识、技能和方法等参量之间进行相互协同和竞争,当学生的大脑进入从无序到有序的临界状态时,导致只有少数参量支配学生的认知系统,最终实现认知从无序变为有序,达到“教是为了不教”的目的[2]．

一般认为,构成教学过程的要素包括学生、教师、教材和环境等．其中教材是教学的客体,学生是教学的主体,而教师起主导作用,它们之间是多方向的、连续的协同作用．基于自组织理论的广泛适用性,特别是心理学家在脑、行为和认知方面研究的成功范例,将自组织理论应用于教学系统,实现了教学过程从被组织到自组织的转变,进一步深化新一轮课程改革．

教学的功能是由其结构决定的,要充分发挥数学课堂教学的育人功能,就必须对课堂教学系统进行优化组合,使教学各要素之间相互协作、相互促进,使其发挥出“整体大于部分之和”的整体效益,为探究有益的教学模式带来很多启示．

2 自组织视域下的“四想”教学模式

2.1 模式的认识

“回想-联想-猜想-反思”(简称“四想”)教学模式是指围绕某个具体的数学问题,开展自主探究、合作交流,让学生在“四想”教学模式实践中解决问题．“四想”教学模式是以自组织理论为理论基础,在教师的引导和启发下,让学生自己发现和提出问题,实现真实的交流,在开放的教学过程中让学生的思维处于非平衡态,敢于质疑和批判,在原有认知的基础上发生协同或竞争,使得学生的认知结构得到“充实和变革”,形成自组织,实现自我建构．

2.2 模式的操作

“四想”教学模式的基本程序是:创设情境(回想)—分析研究(联想)—猜测归纳(猜想)—操作验证(反思)—反馈评析(评价),其教学流程如图1所示．

图1 “四想”教学模式流程图

教学过程中一定要发挥教师、学生、教材和环境的多向性协同作用,注重“四基”的落实和“四能”的培养,培育学生的探究精神和创新意识,促进数学核心素养的达成．现对图1作如下说明:

(1)情境的设置是教学过程转变的基本因素

围绕本质的概念、原理和解决问题的思维方式来创设教学情境,问题的设计要具有开放性和多样性,为学生提供解决问题的机会．引导学生“回想”,从而建立新旧知识的关联．它是教学过程转变的基本因素．

(2)教师的引导是教学过程转变的重要因素

在交流互动、方法构建、总结提升等环节中,教师的角色要从“讲深讲透”式向“画龙点睛”式转变,为学生提供“反思”和“体悟”的“时空”;学生的学习要从“被动接受”式向“主动获取”式转变．教会学生学会学习,实现教学方式的根本变革．因此,教师是把教学从他组织转变为自组织的重要因素．

(3)方法的出现是教学过程转变的决定因素

方法是数学教学自组织过程演化的灵魂.根据协同学理论和林崇德“教育与发展”的教学实验,邢红军等人提出:教学过程的序参量就是方法[2]．学生是否掌握了科学的思想和方法,直接影响教学效果的好坏．

在教学过程中,只有通过相互协同作用的学生,用科学的方法将所学的知识进行网络化、系统化,才能不断吸纳新的信息并完善自己的认知结构,从而实现教学过程从被组织向自组织转变．在“四想”教学模式的教学实践中,注重教会学生研究问题的一般方法,即从一般到特殊的演绎推理(回想),再从特殊到一般的合情推理(联想和猜想),让演绎推理和合情推理相互协同,交织进行,把不同的知识结构转化为学生头脑中的认知结构(反思)．充分利用一般化与特殊化之间的辩证关系进行教学,使得教学过程远离平衡态,让学生自由灵活地思考、探究、交流,使学生的知识、技能在相互作用下发生“协同”或“竞争”．当学生的知识体系从无序到达有序的临界状态时,通过随机涨落现象(比如:鼓励学生大胆猜测和提出问题,师生、生生进行思想的交流和辩论,产生认同的理论知识与价值、态度取向等),学生创造性地、顿悟式地接受知识、掌握技能和领悟方法,实现其认知从无序走向有序,真正实现学习方式的变革．

教学系统具有明显的自组织特性．将自组织理论作为我们研究教学规律的理论基础,既符合教育科学的规律,又符合我国基础教育新一轮课程改革所面临的挑战,更有助于从一个新的视角来研究教与学的内部机制,为教学带来更多有益的启示(图2)．具体说明如下．

图2 教学系统的自组织过程

要实现教学过程自组织转变,它需要满足以下条件:首先,要满足开放的教学环境,发挥学生的主观能动性,主动发现和提出问题、分析和解决问题;其次,教学过程应远离平衡态,使学生原来的认知状态被远离平衡态的刺激所打破,发生“协同”或更深刻的“竞争”过程,使认知结构得到充实或变革,达到新的水平和新的平衡;再次,促进教学过程非线性相互作用的发展(协同学理论指出,只有在系统内各要素之间存在着非线性相互作用的情况下,才能形成自组织结构[3]);最后,利用涨落实现教学过程从被组织向自组织转变,通过师生、生生的对话,在思维的交流和碰撞中激起共鸣,进而实现“涨落导致有序”．

基于自组织理论,我们对教学过程有了一个更全面、科学的认识,使得数学教学建立在更加科学的基础之上,更有利于提升学生的数学素养,引导学生会用数学眼光观察世界,会用数学思维思考世界,会用数学语言表达世界．

3 教学案例

教学是教师与学生的双边活动．要实现教学过程从被组织向自组织转变,课堂必须以发展学生的数学核心素养为根本出发点和归宿点,转变学生传统的学习方式,让学生学会合作与探究、交流与反思,在掌握科学的思想和方法的前提下学会应用与创新．

下面以“2022年新高考Ⅰ卷第17题”的教学实践与同行交流．

3.1 真题再现

(1)求{an}的通项公式;

本题主要考查数列通项公式的求法,并结合“裂项相消法”证明不等式．体现了逻辑推理、数学运算等数学核心素养,实现了对“四基”和“四能”的考查．由于数列{an}的通项公式求法的切入点较多,学生付出的时间成本也不尽相同,这为本题带来探究的价值．

3.2 思路探究

正确求解数列{an}的通项公式是解决本题的关键,下面针对第(1)问作如下探究．

环节1合理设计关联问题,善于回想

回想其实就是进行从特殊到一般的演绎推理,把一般的定义、原理和方法用于解决具体的问题．

为学生创造自由民主的课堂学习氛围,鼓励学生自己发现问题和提出问题．

继续让学生思考:是否还存在其他的变形形式?通过问题引发思维出现涨落,再通过非线性相干和连锁效应将其迅速放大,导致学习系统发生突变,形成新的有序结构,于是产生如下解题思路．

环节2分析研究对象结构,类比联想

联想其实就是从特殊到特殊的一种类比推理,它是探索解题途径的一种方法．

在教师引导下,分析主导解题演化方向的关键因素,让学生在解题中类比联想,转换思维,探索解题新途径,推动学习系统达到“临界值”,学生的思维才会出现“协同”或“竞争”,实现自组织学习．同时,也将进一步完善已有的认知体系,从而形成更加稳固的新认知结构．

根据自组织理论,直觉思维是一种非线性思维(用猜测、跳跃的方式,直接迅速找到解决问题的方案)．为了促进教学过程的自组织转变,必须重视发展学生的直觉思维,于是产生如下解题思路．

环节3调动已有知识经验,大胆猜想

猜想1:an-an-1=n．

其正确性还要通过严格的证明来确认.如何验证猜想呢?在以上各种解法的基础上,鼓励学生去主动探究和发现证明的思路.其证明如下:

以上证明利用“化同原则”,找到条件与结论之间的内在联系,也就找到了转换途径和思维方向,即先消去Sn,再构造常数列．

这种通过猜想获得结论的方式更为直接,而归纳推理得到的结论通常具有猜测的性质,需要严格的逻辑证明．学生发现已知条件与要证结论差异太大,很难建立它们之间的联系．在教师引导下,探寻证明思路,发现它是与正整数有关的数学命题,从而尝试选择数学归纳法,证明如下:

猜想其实就是从特殊到一般的推理形式,它是一种不完全归纳推理．

归纳推理是一种具有创造性的推理．通过归纳推理得到的猜想还可以作为进一步研究的起点,帮助我们发现和提出问题,对问题再作进一步的探究和推广．

3.3 思维升华

让学生反思以上两种猜想和各种解法,还会有什么新发现?

图3 杨辉三角

新高考已经释放了明显的素养评价信号,学生思维水平的提高是重中之重[4]．在“四想”教学模式的实践中,为学生创设自由民主的课堂氛围,鼓励学生大胆提出新想法,让学生进行思维上的交流与碰撞,使得教学过程远离平衡态,将学生原有的认知状态被“新想法”所打破,发生“协同”或“竞争”,使原有的认知结构得到强化和变革,从而达到新的平衡,形成自组织．教学过程要充分尊重学生的个体差异,培养学生的直觉思维和科学洞察力,因为它是产生“涨落”的主要诱因之一,使得数学教学活动从无序走向有序,进而提升课堂教学效益．

4 结束语

基于自组织理论的“四想”教学模式,需要教师转变教学观念,以学生发展为本,实践新课程理念,重视数学核心素养的达成．只有将教师、学生、环境、内容等多方因素协同,为学生提供思考、表达、体验和反思的机会,才能真正实现教学过程的“自组织”转变,从而保证学生的主体地位和开放的教学过程．在教学过程中教师要适时启发和引导学生灵活地思考问题,这样才能保证学生的思维远离平衡态,学生的认知结构才能达到新的水平和新的平衡[5]．在教师的引导下,将学生的知识、技能和方法等参量之间进行相互“协同”或“竞争”,实现学生的自适应、自设计、自批判、自改造、自创生、自完善,从而挖掘学生的学习潜能,激发学生的学习兴趣,培养学生的数学核心素养,实现学生的认知从无序走向有序,达到“教是为了不教”的目的．