关联数式通性 提升数学素养——“二次根式的加减(1)”教学设计与教学实施反思*

李树平 (江苏省苏州高新区实验初级中学 215011)

《义务教育数学课程标准(2022年版)》(下称《课标2022》)在数与代数的教学提示中指出:数与式的教学,教师应把握数与式的整体性[1]61．二次根课程标准(2022式的加减是中学阶段最基本的运算之一,教学设计从数式通性入手,注重知识的理解与迁移,以及知识之间的逻辑关系,通过基于符号的运算和推理使学生经历观察、概括、验证等过程,建立符号意识,提升运算能力,培养学生的高阶思维．2022年10月,笔者有幸参加了苏州市初中数学课堂教学展示活动,开设了公开课“二次根式的加减(1)”,现将教学过程与思考整理如下,以飨读者．

1 教学分析

1.1 单元视角下二次根式加减的地位

本节内容是苏科版教材八年级下册第12章第3节,学生此前已学习过有理数、实数、整式、分式的加减运算,以及二次根式的定义、性质,二次根式的乘除,有许多可类比的数与式的学习经验,可实现基本活动经验的迁移．同时,本节课也为后续二次根式的混合运算、一元二次方程及函数等学习提供方法和经验上的借鉴．

1.2 运算视角下二次根式加减的理解

二次根式的加减是一种数学规则教学．学习过程通常是先研究算理再研究算法.算理即为运算依据,常为计算公式、运算性质,算法即为计算步骤、法则.二次根式的加减运算的数学本质是基本运算单位的累加,运算的数学原理是乘法分配律．

1.3 数式通性下二次根式加减的构建

二次根式的加减是在整式加减的基础上学习的,教学中需通过观察、分析、比较、归纳,勾联同类项的概念、合并同类项的法则及整式加减的一般步骤,构建同类二次根式的概念、二次根式加减的法则,归纳二次根式加减的一般步骤．

2 教学设计

2.1 生活数学,激趣引题

现有一块长9 dm、宽6 dm的木板,采用如图1的方式,在这块木板上能否截出两个面积分别是12 dm2和27 dm2的正方形木板?

图1

问题1 怎么理解“能否截出”?

追问 二次根式的加减如何运算呢?以前我们学过什么类型的加减运算?举例说明．

2.2 思考交流,探寻本质

下列3组二次根式各有什么共同特征?

问题1 你能给具有这些特征的二次根式取个合适的名字吗?(同类二次根式)

追问1 为什么取这个名字?

追问2 你能给同类二次根式下个定义吗?

师生交流后归纳:经过化简以后,被开方数相同的二次根式,叫做同类二次根式．

问题2 这个概念与我们以前学习的哪个概念有点类似?(同类项)

试一试:学习同类项后我们知道可以对同类项进行合并,你能尝试从上面14个二次根式中取两个进行加减法运算吗?小组内交流列出的二次根式的加减算式,并尝试运算,请小组代表发言．

问题3 你是如何计算的?

追问1 你是怎么想到这样计算的?

追问2 你知道这样计算每一步的运算依据吗?

追问3 情境中的木板能否截出?

设计意图先独立思考,然后小组交流．从3组二次根式中观察其共同特征,然后通过与同类项概念类比,得出同类二次根式的概念,从直观观察上升到数学抽象,这是数学概念学习的一般方法．通过取名活动与联想,将新旧知识产生关联,用合并同类项去类比合并同类二次根式,用整式的加减就是合并同类项来类比二次根式的加减就是合并同类二次根式,理解运算方法与乘法分配律的关系,让学生亲历法则的生成过程,积累有价值的学习活动经验,提升认知水平和抽象能力．除了探究算法,追问2归纳每个步骤的运算依据,让学生明晰算理,体会到代数运算需步步有依据,经历思维过程,理与法相融合．追问3体现学以致用,激发兴趣,培养学生的应用意识和创新意识．

2.3 问题解决,类比归纳

问题 你能总结一下二次根式加减运算的一般步骤吗?

师生交流讨论后总结如下:

1．一般步骤:

①化——最简二次根式;

②找——同类二次根式;

③并——合并同类二次根式．

2．二次根式相加减,先化简每个二次根式,然后合并同类二次根式.

3．整式加减的本质是合并同类项,二次根式加减的本质是合并同类二次根式．

例2如图2,两个圆的圆心相同,半径分别为R,r,面积分别是18 cm2,8 cm2.求圆环的宽度(两圆半径之差).

图2

设计意图运用二次根式的加减法解决问题,让学生感受到学习二次根式加减的必要性,体现所学知识的应用价值,培养学生的应用意识,提升数学素养．

2.4 总结感悟,重构体系

(1)谈谈你学习完本节课后在所学知识、探究方法及数学思想上的收获或困惑．

(2)学习了二次根式的乘除、二次根式的加减后,你觉得下节课将会学习什么内容?

(3)梳理归纳数与式问题学习的一般路径:定义→性质→运算→应用(图3).

图3

设计意图学生通过反思与归纳,畅谈对同类二次根式、二次根式加减法运算的知识及思想方法的认识、收获与展望．打破教材编写的时空界限,借住框架图把不同阶段学习内容联系起来,让学生对数与式内容进行概貌性的认识与回顾．不仅从研究内容上体现数与式教学的整体性,还从学习方法的整体性上归纳了数与式问题学习的一般路径．

2.5 课后作业,拓展延伸

必做题:习题12.3第1、2题．

选做题:展示图4,整理已学数与式的运算,尝试从知识内容或运算法则等角度自主构建知识框架．

图4

图5

设计意图分层作业满足学生多样化学习需求,特别是选做题的设计,伴随学生所学知识的数系不断扩充,构建所学数与式的知识构架,整理、比较、归纳运算法则,有助于学生理解数与式的整体性,激发学习兴趣,培养归纳能力．

2.6 板书设计

设计说明将本课需学内容与学生已有知识经验进行广泛联系和充分比较,把新旧知识串成线、结成网,使数学知识结构化,培养了学生思维的发散性和广阔性,促进了数学素养的提升．

3 对教学设计的几点思考

本节课从设计的立意到课堂的实施,从知识的传授到能力的培养,从学习结构到素养的落实,努力体现以学生发展为目标的教学理念,实现学科育人与核心素养落地的双重目标．

3.1 数式通性,养成良好思维习惯

章建跃博士在活动当天下午的评课活动中指出:“关联数式通性,实现算法迁移是本节课教学的关键．”从整体性上看,“式”是继承了“数”的运算法则与运算律;从思想方法上看,“式”是“数”的进一步抽象,是“数”的一般化[2],在式的运算中,数的运算本质不变．关联数式通性,从“数”向“式”自然迁移,将“数”与“式”从认知上进行统一,有助于学生养成良好思维习惯．

3.2 明晰算理,提升运算核心素养

3.3 单元视角,形成良好认识结构

《课标2022》在教学建议的条目2中,建议整体把握教学内容,注重教学内容的结构化,指出:“在教学中要重视对教学内容的整体分析,帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系．”[1]85在单元整体教学的视角下进行整体化教学,建构知识结构,了解后面将要研究的问题,探寻相通学习方法,铸就学生认知结构,提升思维水平．

二次根式是初中数学中数与式的最后一章内容,是代数知识结构化在代数式教学中的完美收官．课堂小结环节,在学生畅谈本节课在所学知识、探究方法及数学思想上的收获或困惑后,教师帮助学生构建知识结构图(图3),共同归纳数与式问题研究的一般路径:定义→性质→运算→应用．这既可让学生从知识层面感受到二次根式在数与式大单元学习中的发展与延续,也能从情感上激发学生的学习热情,将学生的思考引向了更深处．