2023年新高考Ⅰ卷第22题解法探究

李园园 (江苏省苏州市吴中区苏苑高级中学 215128)

2023年新高考Ⅰ卷第22题考查了轨迹问题以及内接矩形周长范围问题,该题体现了课标的要求:掌握抛物线的定义、标准方程,会用坐标法推导抛物线的方程,突出理性思维的考查;回归数学本源,突出学科基础性．本文从圆锥曲线知识与函数、不等式、参数方程等知识综合的视角,给出该题的多种解法,并提出若干教学建议．

1 问题呈现

图1

(1)求W的方程;

2 解法探究

反思 将抛物线顶点平移到原点,可以简化计算．将AB,AD用k表示出来后,利用参数k与x0的关系合理放缩,消去x0得到k的函数结构,再通过导函数求出最值．放缩这一步是难点,在教学过程中遇到类似的情况,教师要正确合理地引导学生理解和运用．

证法3(平移、双变量之主元变量法、“尖底锅”型)我们先来认识一些绝对值函数有关最值的模型:

反思 双变量之主元变量法是我们解决函数最值、恒成立问题等的通法,对于“尖底锅”型模型的学习和运用可以正确地理解函数最值情况,再结合配凑三元基本不等式可以有效地解决最值．

图2

3 方法活用

下面我们解决一个类似的问题:

(1)求抛物线E的方程;

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)(x1>

4 教学建议

数学重在培养学生的逻辑推理能力．2023年高考数学命题打破常规,改变了相对固化的试题模式．出题者更加注重考查内容的全面性,引导教师依标施教;试题突出对学科概念、原理的考查,强调知识点之间内在联系,引导学生形成学科知识系统;更加注重本原性方法,淡化特殊解题技巧,强调对通性通法的深入理解和运用,促进学生将学科知识纳入自身的知识体系．虽然命题趋势不定,但是重视基础概念和掌握通性通法不会改变,教学的着力点应放在数学素养和创新能力的培育上．

(1)数学素养

新高考Ⅰ卷设计现实性和综合性问题,实现对逻辑推理、直观想象、数学运算、数学抽象、数学建模、数据分析六大素养综合考查．学生在系统掌握基础知识、基本技能、基本方法上,不可以脱离课本,在复习的过程中应学会串联概念、定理和公式．平时要求学生读题、审题时了解涉及哪些概念,可以得到哪些结论或者还缺少哪些条件等,解题后多引导学生反思,举一反三、触类旁通．

(2)创新能力

应对新颖性题型的策略是要根据数学“万变不离其宗”的特点,围绕基础知识、基本技能、基本方法,通过问题的变式,掌握透过现象看本质的本领．不管命题方向如何变化,逻辑分析推理能力至关重要,从试题信息找到联系并列出关系,根据线索发现破题方法．

教师一方面要正确引导学生掌握基本功,夯实基础,另一方面要鼓励学生不要有畏难情绪,敢于联想,敢于挑战,以提升学生学习数学的信心和能力．