APOS理论指导下的初中数学概念课教学

王悦 马旭

［摘  要］ 数学概念是初中数学教学的重要内容，如何帮助学生正确理解数学概念是提高教学质量的重要环节之一. 目前，概念教学侧重学生对数学概念的应用，弱化了学生推导数学概念的过程，忽略了学生理解数学概念的本质，切断了学生延伸数学概念，阻碍了学生学习数学概念背后的数学思想和方法. 针对以上概念教学的弊端，文章基于APOS理论，研究如何有效帮助学生领悟数学思想，并提出了优化初中数学概念教学的策略.

［关键词］ APOS理论；初中数学；概念教学

《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确指出：数学教学应强调对基本概念和基本思想的理解和掌握，核心概念和基本思想教学要贯穿数学教学的始终［1］. 如何帮助学生正确理解并灵活运用数学概念仍是数学教学面临的挑战. 当前数学概念教学“轻过程+重应用+去思维”的现象屡见不鲜，这严重阻碍了学生对数学概念本质的理解. 因此，从APOS理论视角审视当前的初中数学概念课教学对提升学生的数学核心素养及改进教师的教学方法具有重要的现实意义.

APOS理论概述

APOS是20世纪80年代美国学者杜宾斯基提出的一种数学教学理论，主要被运用在数学概念的教学中，分为操作、过程、对象和图式四个阶段［2］. 操作阶段（Action）：通过从现实生活中抽象出数学模型贯彻数学现实思想，帮助学生建立便于加工的数学对象；过程阶段（Process）：以学生已有经验为基础，通过一定的抽象得出数学概念及性质；对象阶段（Object）：升华整个数学活动的过程，将抽象化的数学概念利用符号使其形式化，便于学生进一步分析和使用概念；图式阶段（Scheme）：引导学生基于对前面阶段的理解，从特殊推导一般，对数学概念的基本性质产生相对清晰的认识，并进行进一步的理解. APOS理论强调通过操作、探究生成数学概念，并结合已有的知识经验用积极的思维活动来获得数学概念，通过对概念进行准确的定义且形成心理图式，构建起自身的数学知识结构.

剖析当前初中数学概念课存在    的问题

1. 数学概念的本质理解容易被忽略

符号化是数学概念的重要特征. 因此，数学概念教学的首要目标是让学生掌握数学概念的符号形式. 学生只有深刻掌握数学概念的符号形式，才能更加深入地学习数学概念的逻辑形式和数学概念蕴含的思想方法［3］. 然而，在现实教学中，很多教师，特别是新教师，容易忽略数学概念符号化的深层理解，不太注重数学概念符号的分析与比较，教学时仅仅停留于让学生对数学概念进行机械记忆和背诵，没有引导学生在了解概念由来的基础上对概念进行理解，更别说引导学生领悟概念蕴含的数学思想方法了，這就造成了学生对数学概念的机械理解.

2. 数学概念的前后联系容易被切断

在概念教学中，如果教师设计的教学问题不连贯，会导致学生无法将新的数学概念与已有的数学概念串联起来. 原因是教师在上课前没有了解学生的数学学习心理和已有的数学知识经验，加上数学是一门知识体系结构螺旋上升的学科，需要不断地同化新知识与旧知识，假如学生无法联系新、旧数学概念，自然无法顺畅理解新概念.

3. 数学概念的展示方式过于抽象

初中阶段的学生以形象思维为主，而数学概念多是抽象、不具体的，学生在日常生活中难以接触到，这就导致学生难以理解抽象的数学概念［4］. 比如，对于函数概念的教学，教师如果只是在概念新授时直接点出自变量和因变量以及它们之间的关系，那么学生对函数概念的理解就仅仅是机械的记忆，并不能正确地理解函数的概念，更别说灵活地运用函数的概念了. 很多教师在设计概念课教学时往往过多地采用“开门见山”的教学方式，没有依据学情创设符合该学段学生心理特点的教学情境，导致学生难以在已有的知识经验上找到新概念的生长点，本就抽象的数学概念就变得更加捉摸不透了，这不仅会影响学生的学习兴趣，还会导致学生对数学概念的学习产生排斥心理.

4. 数学概念的形成过程被弱化

数学概念的形成是掌握数学概念的重要阶段，是学生思维从特殊到一般的过程，是概念越来越趋向一般化的思维活动. 然而，数学概念的推导过程往往被教师淡化，学生对于某一数学概念的获得多数是通过大量的习题演算得到的，这就导致数学概念教学正逐步让位于习题式教学，也就是所谓的“考点或概念知识习题化”. 学生往往只知道这个数学概念是什么，能用在哪种题目上，却不知道这个概念的定义过程，更没有在自主探究中掌握推导此概念所需要的数学思想和方法，甚至在需要运用到多种数学概念的综合题中不知从何处下手，也没有相对应的数学方法可加以运用. 这与数学课程标准中要求的“学生能通过推导数学概念从而掌握数学思想方法”的本意背道而驰. 可见，当前的概念教学忽视了概念的形成过程，导致学生还未完全理解和掌握概念便要学会运用概念去求解未知的问题.

5. 数学概念的例题设计被轻视

例题巩固是学生学好新知识或数学概念的重要途径. 适量的例题讲解可以促进学生对数学概念的理解和掌握. 然而在实际教学中，许多教师仅在课堂上讲解数学概念的定义，没有围绕该概念布置相应的基础性练习，导致学生没有得到运用概念的机会，对概念的认知也没有起到巩固的效果. 同时，由于没有通过相对应的课堂测试等活动了解学生对本堂课的接受和理解程度，所以学生对数学概念的理解比较模糊，这会影响学生对后期概念的学习和迁移.

基于APOS理论的初中数学概    念课教学案例

1. 教学内容分析

“直线、射线和线段”是七年级的教学内容，属于初中几何的入门知识，是学生日后学习其他几何知识的重要基础. 教材是沿着“发现生活中的三种线（图形语言）——小组探究三种线的定义（文字语言）——用符号表示三种线（符号语言）——三种线的性质”这一主线展开的. 通过本节课的学习，学生要掌握图形概念学习的思维模式，并迁移到日后几何知识的学习中，为今后几何知识的学习提供知识基础和活动经验.

2. 学情分析

在小学阶段，学生对“直线、射线和线段”有一定的感性认识，初中阶段的主要任务是将这种认识提升到理性层面. “如何用数学符号对直线、射线和线段进行表示”是本课学习的重点. 由于学生只学过用一个大写字母表示点，所以教师要在学生已有知识储备的基础上进行扩展，帮助学生实现教学目标. 因此，本节课要求学生能独立完成图形语言、文字语言和符号语言这三种几何语言之间的相互转换，并掌握“两点确定一条直线”和“两点之间，线段最短”这两个基本事实，体验数学在生活中的广泛应用.

3. 教学流程

（1）操作阶段

教师展示“央视激光舞、绷紧的琴弦、孙悟空的金箍棒、延伸的公路”等图片并进行讲解，在此基础上通过问题引发学生思考.

问题1？摇 你们能从中找到我们熟悉的直的线吗？能说说射线和直线的概念吗？它们能怎样表示？射线AB和射线BA是同一条线吗？直线AB和直线BA呢？

设计意图 ？摇在实际生活中，学生已经接触过类似的图形，有趣的图片能充分调动学生的已有认知经验，从而吸引学生快速进入课堂.

（2）过程阶段

问题2？摇 要在墙上固定一根木条（如图1所示），使它不能转动，要求用尽可能少的钉子. （引导学生思考：最少需要用几根钉子？一根钉子够吗？）

活动？摇 学生先钉一根钉子（如图2所示），转动木条，发现木条可以轻易地转动，这表明过一个点可以画无数条直线. 学生在木条上再增加一根钉子（如图3所示），发现木条不能转动了，说明木条被固定住了，这表明两点确定一条直线. 通过固定木条的数学建模过程，学生学习了基本事实一“平面内过两点有且只有一条直线”，即“两点确定一条直线”.

设计意图 ？摇通过数学建模的方式，学生理解了基本事实一，从游戏中学生明白了数学来源于生活，并且服务于生活.

接下来教师创设“探讨路线怎么走最近”的问题并进行讲解，即引导学生掌握基本事实二“两点之间，线段最短”. 教学时教师可通过问题吸引学生的注意，再利用几何画板软件测量出曲线和線段的长短，从而得出“两点之间，线段最短”这一结论. 接着教师提出问题（即下面的问题3），引导学生思考.

问题3？摇 距离代表的是什么线？距离的概念是什么？可以怎样表示？线段AB和线段BA相等吗？

设计意图 ？摇引导学生自主探究和动手画出有长度的线段，并与刚刚所学的直线和射线进行类比，从而得出线段的基本概念和性质，让学生接受新的概念.

（3）对象阶段

问题4？摇 给出射线、直线、线段的定义，并说出它们的主要联系与区别. 可以从射线、直线、线段的表示方法、端点个数、延伸情况和可否度量等角度来考虑.

设计意图 ？摇引导学生自己总结射线、直线、线段的定义，明确它们之间的联系和区别，突出本节课的重点，发展学生的抽象概括能力.

（4）图式阶段

在学生掌握直线、射线、线段表示方法的基础上，教师先给一定的时间让学生自主思考，并让他们通过自己动手画图，感受射线、直线、线段的变化过程. 接着教师带领学生对有遗漏的地方进行补充，最后对整节课进行归纳总结. 特别地，教师带领学生回顾本节课所学的知识，明确三线之间的区别和联系，有助于学生进一步理解直线、射线、线段之间的联系和区别.

设计意图 ？摇引导学生在比较中及时复习和巩固新学到的知识，并且明确直线、射线和线段之间的区别，从而提高学生的辨析能力.

基于APOS理论的初中数学概    念课教学策略

1. 在教学设计中深化对概念本质的理解

传统的数学概念课教学往往更注重机械记忆、重复训练，APOS教学理论要求教师要引导学生从主动收集和处理信息中获得概念，并提升发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力. 因此，教学时教师首先要结合学情和课程标准提出教学目标，清晰明了地告知学生哪些知识是需要被掌握的，同时在学生自主探究、发现数学概念的学习过程中强化学生对概念所涉及的数学思想与方法的掌握. 教师在设计教案时应注意体现数学概念的本质，应着重钻研数学课程标准，并结合学生的学习情况和心理特点，将课程标准中的要求适当地落实到课堂教学中.

2. 在教学引入中构建数学概念的前后联系

APOS理论表明，教学要根据学生的已有知识经验，通过自主探究等一系列活动完成对新的知识经验的同化［5］. 因此，教师教学时要加强数学概念与学生生活的联系，以学生已有经验为教学出发点，关注学生的学习兴趣，了解学生当前阶段的认知结构与学习数学概念的心理状态，知晓不同阶段的学生处于不同的认知发展阶段，从而设计出既具有引导性又符合学生认知发展阶段的问题，指导学生在操作探究中对概念之间的关系有一个完整的结构体系，能在新旧概念之间建立起有意义的联系，能自觉地从旧概念引申到对新概念的理解.

3. 在教学展示中优化对数学概念的抽象理解

数学概念往往抽象难懂，与学生生活相距甚远. 初中生习惯用形象思维来理解数学，所以对于学生难以理解的数学概念，教师要充分利用信息技术，将晦涩难懂的数学概念转化为易于学生接受的数学知识，从而激发学生的学习兴趣. 此外，教师要改变传统的师生互动模式，将课堂还给学生，引导学生在互动中体会丰富多彩的数学课堂，从而加深对数学概念的深刻理解.

4. 在教学生成中加强对数学概念的变式理解

课程改革指出，教师要勇于将课堂归还给学生，凸显学生在教学过程中的主体地位，教师要知道学生是有独立思想的个体，有不同的知识储备. 因此，教师不应该把课堂当成制作“好学生”的加工厂，而应将课堂作为学生提升知识与能力、开阔思想与思维的跳板. 所以，在概念课教学中，教师要乐于将课堂还给学生，以学生学习引导者的身份，鼓励学生在独立思考和自主探究过程中构建数学概念，感悟数学概念背后的思想和方法，并且能够将其迁移到往后的数学学习中，达到认识数学概念本质、掌握数学思想、运用数学方法、获得数学经验的目的.

5. 在教学练习中升华对数学概念的认识

课堂练习是课堂教学的重要组成部分，是巩固数学概念的重要手段，是学生掌握心智技能和动作技能的基本途径. 所以将高质量的例题当作学生的课堂测验，能较好地体现学生对一堂课的理解程度. 因此，教师进行概念教学时，要精挑细选典型例题并进行精心讲解，确保学生能通过解答例题理解概念. 需要说明的是，要避免选择代表性差的例题，以免误导学生对概念的理解. 此外，例题数量过少，不利于学生从解答过程中归纳出数学概念的本质特征；例题数量过多，又会因用时过长而影响课堂效率.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］濮安山，史宁中. 从APOS理论看高中生对函数概念的理解［J］. 数学教育学报，2007（02）：48-50.

［3］李昌官. 在数学概念教学中发展数学关键能力［J］. 数学通讯，2021（12）：1-3+34.

［4］丁晓军. 关注学生认知过程，促进数学概念建构——基于APOS学习理论的教学思考［J］. 数学教学通讯，2019（15）：67-68.

［5］蒋网健，周建香. 基于APOS理论视角下初中数学概念课的教学实践——以苏科版“合并同类项”一课为例［J］. 上海中学数学，2018（z1）：52-55.