一题一课,问题驱动的数学思维复习课

邱志刚

[摘  要] 不少的初中数学复习课仍以知识重现、典例讲解和技巧应用为主，忽视了对章节知识体系的构建以及对学生思维能力的培养. 文章以“二次函数”复习课为例，采取重构教学目标、精心设计问题的教学策略，通过问题的解决让学生构建起知识框架，培养他们的数学思维能力.

[关键词] 问题驱动;一题一课;数学思维;复习课

传统的数学复习课以知识重现、典例讲解和技巧应用为主，注重问题解决和解法归类，依靠着简单的知识回顾和反复的刷题来提高教学效率，对学生数学能力提升、核心素养培养及数学思维锻炼没有太大的帮助，这样的课堂处于一种低阶思维状态.

新课程标准要求培养和提升学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，由此可见数学单元（章末）复习课的必要性、重要性和实效性.而数学单元（章末）复习课的教学，应培养学生从已有的“数学现实”出发，将数学知识“数学化”“再创造”“反思”等;让学生在最近发展区发现问题、提出问题，激发学生学习兴趣，逐步培养学生分析和解决问题的能力，让学生在“问题驱动”下学会“数学复习”.

笔者在教授“二次函数”复习课中，尝试设计了一系列问题，学生在问题驱动下，再认识概念、构建知识体系和解决不断生长的问题，不仅仅提升了学习能力，重要的是学生始终处于高阶思维状态，对培养自身的核心素养有较大帮助.

基本情况分析

1. 内容及内容分析

本节课是北师大版数学九年级下册第二章“二次函数”复习课，以二次函数的定义和性质、求解二次函数解析式和综合运用为主. 在此之前，学生已系统学习了上述知识，初步掌握了一些二次函数的研究方法，积累了对应的活动经验. 本节复习课的学习方法和探究过程，区别于传统的复习课形式，为后续学生自主构建知识体系、梳理知识点、培养数学思维奠定基础.

2. 学习目标

（1）通过微课中的几何画板演示，借助图象的变换建立起“二次函数”的定义与性质的内在联系，让学生在观察和思考中自主构建知识体系，培养学生归纳以及建模的能力.

（2）通过开放性题目探究，进一步理解和应用二次函数图象变换下的问题生成，开拓学生一题多解的能力，培养学生创新能力和批判性思维能力.

（3）通过对图形线段的增删、变换衍生出不同的问题，让学生感受问题的进阶，培养学生的问题解决能力.

3. 教学重难点

重点：二次函数的定义与性质的应用.

难点：学会探索与分析二次函数图象中线段的各种关系.

教学过程

1. 预习反馈，归纳总结

问题1：提前录制微课，让学生在几何画板演示下观看如何建立二次函数图象，通过图象上下、左右平移以及180°旋转，观察二次函数解析式的系数与图象之间的联系，学生通过微课后的几个追问进行思考、讨论和回答，学会用思维导图构建起二次函数的知识架构.

追问1：二次函数图象是一个怎样的图形？形如怎样的式子是二次函数的一般形式？

追问2：改变二次函数各项系数（先改变a，再改变c，最后改变b）对二次函数图象有怎样的影响？

追问3：你能说出二次函数各项系数对二次函数图象的变化会起到哪些作用吗？

追问4：通过合作讨论，你能说出二次函数有哪些基本性质吗？

追问5：通过合作讨论，你能总结出二次函数系数与二次函数图象特征的关系吗？

设计说明：通过微课学习，让学生观察、思考二次函数系数与图象之间的联系，进一步深化和总结二次函数的性质，并利用思维导图把知识串联起来，避免复习课中因为知识点较多、较碎而重温一遍，让学生自主构建知识体系. （附学生的思维导图，如图1所示）

2. 构建模型，知识生长

问题2：如图2所示，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图形与x轴相交于A，B两点，下面的信息正确的有______.

①abc>0;②4ac-b2<0;③4a-2b+c>0;④a-b+c=0;⑤a+c>0;⑥8a+c<0.

设计说明  通过多结论问题的设计，让学生对已进行了定义和性质的归纳的知识体系有一个更清晰的认识. 同时，通过知识的应用能够厘清知识之间的关系，进一步帮助学生理解性质，在结论设计中，从简单到复杂，从特殊到一般，通过挖掘系数和图形之间的关系促进学生深度思考，培养学生的高阶思维能力.

问题3：如果抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的圖形经过点A（-1，0）和B（3，0），你能通过图象得出哪些基本结论？

师生活动：问题3是一个开放性问题，通过这个问题打开学生的思维，进一步让学生思考二次函数系数与图象之间的联系. 设计条件不完整的问题，可以为后续发展问题增添更多的可能，也可以在得出的众多结论中抽出若干个结论作为问题生长的基础. 当学生回答完问题后，给出两个追问.

追问1：你能求出该抛物线的关系式吗？如果不能你觉得还需要添加什么条件？

学生回答：可以给出a或b或c的值，也可以给出第三点的坐标，或者给出△ABC的面积……

追问2：选取其中一位同学给出的条件——图象经过点C（0，3），请求出该抛物线的关系式，你有多少种求解方法？

设计说明  问题3既需要学生会用知识，又需要感悟知识间的内在联系. 感悟得越深，学生能提出的问题就越多，这样的感悟有助于学生理解数学和开拓思维. 通过两个追问引导学生在问题的研究上由浅入深、由特殊到一般. 同时，追问2让学生清晰了解函数的解决方法具有多样性，每一种方法就能涉及不同的知识. 教师鼓励学生用不同的方法求解析式，这些方法的运用能让学生进一步理解二次函数，培养其思辨能力.

问题4：在追问2的条件下，点D是抛物线上的一个动点，作DE⊥x轴，垂足为E，连结AC，BC，BC与DE相交于Q点.

追问1：当点D在x轴上方， 且S=S时，求点D的坐标.

追问2：设点D的横坐标为m，则点Q的坐标为______. （用含m的代数式表示）

追问3：追问2中的线段DQ的长为______. （用含m的代数式表示）

设计说明  问题4中设计了三个追问，三个追问让学生的思维能力逐步提升;考虑到学生刚学完这一章，还没有完全构建起知识间的体系，因此把动点设计在x轴上方，可以减少因符号而分类讨论所带来的麻烦. 三个追问联系密切，环环相扣，为后面继续提出新的问题埋下了伏笔，這样的反复追问能让学生的思维始终处于高阶水平.

追问4：如图4所示，当线段DQ的长最大时，求点D的坐标及DQ的最大值.

追问5：过点D作DH⊥BC于H，当DH的长最大时，求点D的坐标及DH的最大值.

师生活动：先让学生独立思考一段时间，再让小组合作进行思维碰撞，交换小组间不同的想法，几分钟后展示讨论的成果.

设计说明  随着问题不断生长，学生的思维得到了充分锻炼. 以上两个追问重在解决线段的最值问题，这是学生比较畏惧的一种题型，但通过前面三个追问的引导，学生基本能将这类最值问题转化为线段的和差问题. 问题的生长，呈现出了由易到难、由简到繁的难度变化，由低阶到高阶的思维变化. 追问5涉及的解法较多，考虑到“思维不是自然发生的，但它一定是由‘难题和疑问或‘一些困惑、混淆或怀疑引发的”，因此教师没有把解决问题作为最终目的，而是通过小组合作、思维碰撞，让学生得出多种解法. 实践课堂里，学生提出了相似法、等面积法以及根的判别式法（相切）等，尽管有些方法超出了学生所学的知识，但教师可以鼓励学生应用这些方法. 随着对问题的研究和解决，学生的能力得以较快发展和提升.

3. 问题拓展，迁移应用

变式1：如图5所示，抛物线y= -x2+2x+3中，点D是抛物线上的一个动点，连结CD，BD，当S=S时，求点D的坐标.

变式2：如图6所示，抛物线y= -x2+2x+3中，点E是抛物线上的顶点，在直线AC上，是否存在一点P，使得△BEP的周长最小？若存在，请求出点P的坐标;若不存在，请说明理由.

设计说明  课堂结束不是知识学习的终结，设计的拓展问题不能脱离原有的思维，应达到巩固学习的目的. 两个变式分别对应着面积和周长问题，在原有的基础上把求线段的最值深化为求周长的最值，这样的问题深化和延伸，让学生经历知识从具体到抽象的转变，属于方法的再认识和再创造.

4. 总结提升，课堂评价

如图7所示，在图6的基础上作直线BC关于x轴对称的直线BC′，交抛物线于点B，D，交y轴于点C′，连结CD.

（1）求∠BDC的正切值;

（2）将抛物线向下平移几个单位长度后，与x轴只有一个公共点？

设计说明  在图6的条件上继续延伸题目，既是对前面思维的一个总结，又可看作是本节复习课的教学评价. 这样的教学评价能让教师及时了解学生对知识的掌握情况，可为下节课适当调整教学顺序，同时教师能观察学生的思维发展趋势，为今后的教学设计提供改进的措施和方向.

1. 精心设计问题，构建知识体系

常见的复习课仍以重现知识、重现方法和强化训练为主，这样的复习更注重的是对题型的熟练，是一种典型的应试教育，对学生理解知识间的联系以及培养数学思维的帮助不大. 本节复习课中，教师通过几何画板画出图形变化，让学生感受二次函数系数和图象的关系，引导学生用思维导图的形式把这些关系串联起来，有助于学生构建知识体系. 对经过思考后构建的知识体系，学生的理解是深刻的，比教师简单罗列知识点所带来的效果好很多，同时让学生不再机械记忆二次函数过多的性质.

2. 母题精挑细选，拓展学生思维

复习课里无论是多题一解还是一题多解，多强调以知识的运用为主，没有真正达到培养学生思维的目的. 本节复习课中，教师精挑细选母题，找到富有开发空间的母题，然后由母题设计出丰富的变式题、拓展题，生长出有针对性的问题，每个问题都引起了学生极大的兴趣，他们发现问题原来是这样生长出来的. 每个追问让学生产生了独特的想法，教师鼓励学生说出和分享想法，不断拓展学生的思维. 值得指出的是，与开放题相比，由开放题带来开放式教学是更重要的教学取向. 课堂中教师应重视“对话教学”，即让学生说、让不同学生表达不同思维，并且让学生的“思维”带动师生进一步“思考”. 这样的教学才会是一个意蕴生动、育才育人的课堂教学.

3. 大胆让教于生，内化数学素养

在复习课的教学过程中，教师针对问题不断提出新的追问，给予学生足够的时间，让学生通过独立思考、小组合作、深入研讨和积极展示去完成这些追问. 成果展示中，学生给出了很多教师没有思考过的奇思妙想，这些想法体现了学生思维的变化，让教师清晰了解了他们的思维发展，这样的追问以及研讨也让学生的思维在整节课中始终处于高阶状态. 学生在课堂活动中的成果展示，其实是他们自身知识内化为思维能力的一种体现，教师应当善待这些充满思考的成果，让思维转化为学生的数学素养和数学能力.