以问题驱动改进随机变量分布的教学

龚丽莎

【摘要】在随机变量分布一章的教学中，存在一些学生不易掌握的难点如随机变量，概率密度函数概念以及容易混淆的知识点如分布函数，分布律，概率密度.针对这些问题，采用几个关键问题进行驱动，贯穿本章的整个教学过程.使各部分内容层层递进，自然衔接，促进学生主动思考，加深基本概念的理解，区分易混淆概念，从而达到提升教学效果，培养学生思维能力的目的.

【关键词】随机变量的分布；问题驱动；教学模式

【基金项目】2015年1月—2017年12月电子科技大学教学改革研究项目：移植小班教学优势，促进大班工科概率统计课程的创新和应用（2015XJYYB055）.

一、存在的问题

在讲授概率统计课程中随机变量及其分布这一章时，一种常见顺序是：随机变量的分布函数，离散型随机变量及其分布律，连续型随机变量及其概率密度函数[1].这种安排基本合理，但在实际讲授之后往往效果不佳，常出现学生对分布函数的重视程度不够，难以理解概率密度函数概念，易混淆分布函数，分布律和密度函数以及书写时符号混乱等问题.究其原因，主要是对初学者来说：随机变量概念很难理解到位；概率密度函数概念的出现太过突兀；分布函数，分布律，概率密度三者相互之间既有联系又有区别，易造成混淆.

二、问题驱动式解决方案

针对以上症结，在不改变上述顺序的前提下，本文对随机变量及其分布一章的主要知识点采用6个关键问题进行驱动，促进学生主动思考，加深基本概念的理解，区分易混淆概念，使内容层层递进，各部分自然衔接，知识点融会贯通.同时适当融入研究型教学方式，培养学生的思维和创造能力.

以下将按各教学内容详述此问题驱动式教学过程.

内容一：随机变量

随机变量是本章的首个关键概念，它在概率统计中的重要地位和对后续内容的深远影响不言而喻.然而，此前学生关注的一直是各种随机事件的概率计算，如何引入随机变量概念才能让他们认识到其必要性和重要性？为此提出第一个问题：

问题1何为随机变量？为什么要引入随机变量的概念？

从生活实例出发，让学生初步体会随机变量.如生活中常关心的一些量：某城市一个月的降雨量，某银行一天接待的顾客数，这些量的取值看似随机变化，但在多次观察时又呈现某种确定的统计规律.这种变量就是随机变量，对之常关注：（1）变量可能取哪些值；（2）取各值的可能性大小.

在引入随机变量的概念之后，由以下问题自然带入随机变量的分布函数.

问题2随机变量的本质特征在于其可能取值和取值的概率分布情况，用什么工具来描述随机变量的概率分布情况？

直接给出分布函数的定义会稍显生硬，可通过例子引入.

实际中，人们常关心随机变量在某范围内取值的概率.如：产品质量检查时，随机抽取的n件产品中次品件数X不超过3的概率P{X≤3}，某公司生产的某一型号液晶电视寿命X在（45000，55000）（小时）之间的概率P{45000

若对任意实数x，都存在概率P{ω：X（ω）≤x}=P{X≤x}=F（x），以上问题就迎刃而解（这也解释了为什么随机变量的定义中要求对任意实数x，事件{ω：X（ω）≤x}的概率都是可确定的）.这个函数F（x）就是随机变量的分布函数，它可描述随机变量在任一区间取值的概率P{x1

在此讲解分布函数有如下好处：体现了分布函数的重要性和一般性，与本章最后内容：随机变量除了离散型，连续型外还有奇异型前后呼应.

内容三：离散型随机变量及其分布律

问题3对取值离散的随机变量，如何描述其概率分布比较方便？

用一实例引入离散型随机变量及其分布律，并用柱状图或火柴棍图来直观表示.提问：对离散型随机变量来说，分布律和分布函数都可描述其概率分布，哪种描述方式比较直观方便？学生能够自己看出是分布律.在教师引导下讨论总结：分布函数与分布律均可描述离散型随机变量的概率分布，二者可互相转化，只是描述方式不同而已.对离散型随机变量往往选择更直观的工具——分布律.

内容四：连续型随机变量及概率密度函数

很多现行教材都直接给出连续型随机变量及其概率密度函数的定义[1，2]，这固然是由于教材限制所致，但若在课堂讲授时也直接抛出此概念，会让学生觉得非常突兀，造成理解和学习上的困难.实际上，离散型随机变量与连续型随机变量有诸多可类比性质[3]，故本文的解决办法是由离散型随机变量的分布律进行类推，过渡到连续型随机变量的概率密度.具体为讲完分布律后提出如下问题.

问题4对取值连续的随机变量来说，能否用分布律来直观描述其概率分布？

例：一半径为2米的圆盘靶子，击中靶上任一同心圆盘的概率与该圆盘的面积成正比，若射击均能中靶，用X表示弹着点与圆心的距离.能用分布律来描述X的概率分布吗？

学生会发现不行，因为X的取值是连续的！继续提问：

问题5能否找到类似离散型随机变量分布律的工具来直观描述这种取值连续的随机变量的概率分布？

此处需事先做好两项准备工作.

1.理解频率直方图.

例：为了解某地区成年男子的身高情况，从该地区所有成年男子中随机抽取100名进行调查.问：如何根据这些数据（略，单位：cm）分析该地区成年男子身高X的分布情况？

用此例讲解频率直方图的做法以及含义.重点在于指出：频率直方图利用将连续取值离散化的手段直观体现了身高X这个取值连续的随机变量的大致分布情况，具有与分布律类似的特征.

2.基本弄清频率与概率的关系.

因后面学习大数定律时才能明确频率依概率收敛于概率，现只需学生理解随试验次数增多频率会逐渐稳定于概率即可，用抛硬币例子数据进行说明.

现在可向概率密度过渡.在频率直方图中，随机变量在某一区间取值的频率，为该区间上小矩形的面积之和.当样本数据很多，组距很小时，各小矩形会非常密集.设想：n趋于无穷，组距趋于0时，直方图中变量的有限多个离散取值范围将趋于无限多个连续取值，而图中小矩形边缘将逐渐稳定在一条光滑（或分段光滑）曲线附近，设为函数f（x）.

易知f（x）非负，但怎样具体确定函数f（x）？考虑随机变量在任一区间[a，b]取值的频率：该区间上小矩形的面积之和.它将逐渐稳定于随机变量在该区间取值的概率：曲线f（x）下方曲边梯形的面积.即P{a

单位长度上的质量相对应，故称为概率密度.于是根据概率密度曲线的高低，就能大致判断连续型随机变量在各处取值概率的大小，它正是我们所寻找的直观描述连续型随机变量概率分布的工具.

与离散型情况类似：分布函数和概率密度均可描述连续型随机变量的概率分布，只是方式不同，二者可相互转化，但概率密度较分布函数更为直观.

内容五：其他类型的随机变量

问题6除了离散型随机变量和连续型随机变量之外，还有其他类型的随机变量吗？

例：若随机变量X的分布函数为F（x）=0，x<01+x2，0≤x<11，x≥1，判断X是哪种类型的随机变量.

在教师引导下，学生发现此分布函数不符合离散型或连续型变量分布函数的特征，故其对应随机变量既非离散型，也非连续型.这时不能用分布律或概率密度来描述其概率分布，但分布函数仍适用，体现了分布函数的一般性和重要性.

三、总结

如上，通过六个问题逐步带出本章各重要概念和知识点，有利于激发学生自主探索的欲望，使本章内容保持一致性与连贯性，学生对分布函数，分布律，概率密度各概念的理解更深入，应用时不易产生混淆.并利用类推与研究式教学较好地处理了概率密度这个教学难点，其中运用的微积分知识还加强了不同学科知识的融合，提高了学生分析处理问题的能力.

【参考文献】

[1]徐全智，吕恕.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2008.

[3]马生昀.概率统计教学改革中两类随机变量的类比教学[J].内蒙古农业大学学报（社会科学版），2012（06）：119-123.