经历过程 助力发展

张红

[摘  要] 在数学教学中要打破功利教育的束缚，引导学生多经历一些实质性的思维活动，从而让学生在学习中实现知识、能力、态度的完美统一. 文章以“认识三角形”为例，通过“独立思、合作学”带领学生经历三条线段——产生、发展和应用全过程，以此促进“教”与“学”的全面可持续发展.

[关键词] 思维活动;过程;持续发展

在数学教学中，部分教师习惯依赖经验开展教学活动. 不过经验虽然宝贵，但其本身也存在一定的局限性，若在教学中仅凭经验教学，数学教学就变成了简单的机械重复，势必影响学生思维能力和学习能力的提升. 在实践教学中，经常会出现这样的情况：教师将重难点和易错点内容“反复讲、重复讲”，以帮助学生理解和消化，同时预防学生犯错;但在考试中发现，对于教师“反复讲、重复讲”的内容，学生解题时依然会犯错，究其根源就是过程的缺失，并没有让学生将知识学懂学会. 因此，教学中教师切勿将自己的经验强加给学生，应带领学生经历一些过程，从而让学生将自己的感悟逐渐转化为学习的内驱力，以此提升学习能力.

笔者以“认识三角形”第2课时为例，带领学生共同经历知识的形成过程，让学生在参与中有所感悟、有所提升.

教学实录

1. 明晰研究对象

师：上节课我们已经学习了三角形的概念，明晰了三角形的表示方法和计数方法，现在请大家结合图1思考如下问题.

若BC边上有一动点P，那么

（1）当P运动到什么位置时，线段AP平分∠BAC呢？

（2）当P运动到什么位置时，线段AP平分△ABC的面积呢？

（3）当P运动到什么位置时，线段AP的长最短呢？

虽然三角形相关知识是学生刚接触的内容，但对于对称、三角形面积等相关知识学生并不陌生，因此对于以上问题教师让学生独立思考，寻求解决问题的方法.

师：问题（1）谁来说一说？

生1：对于问题（1），若线段AP所在的直线为∠BAC的对称轴时，此时线段AP平分∠BAC.

师：很好，你们认同吗？（学生纷纷点头）

师：对于问题（2）呢？

生2：根据三角形的面积公式，若BP=CP，即点P为线段BC的中点时，线段AP能平分△ABC的面积.

师：很好. 问题（3）呢？

生3：当AP⊥BC时，此时线段AP的长最短.

师：大家说得都很好，不过以上线段该如何确定呢？又存在怎样的数量关系和性质呢？

设计意图  教学中，从学生的认知出发，以问题为铺垫引出主题，这样有利于调动学生参与的积极性，激发学生的求知欲.

2. 借助画图形成各线段的概念

师：对于问题（1）中的动点P，你认为应该如何确定呢？

生4：可以通过折叠的方法确定.

生5：可以用量角器测量后确定.

师：很好，请大家任意画一个三角形，选择适合的方法做一做.

学生动手操作，教师巡视操作结果，待操作完成后，教师让学生展示操作结果并陈述操作过程.

师：现在我们一起研究一下，看看问题（2），点P的位置该如何确定？

生6：与上面的操作方法基本相同，也可以通过折叠法和测量法来确定.

师：很好，现在大家画一个三角形体验一下，选择合适的方法确定点P.

（本环节以学生动手操作为主，教师预留一定的时间让学生动手操作，并让学生进行示范展示）

师：接下来思考一下，问题（3）中的点P该如何确定呢？

（学生借助折叠法和三角尺确定了点P，通过动手操作对以上三条线段有了清晰的认识，为接下来探究各线段的数量关系做好铺垫）

师：以上线段在今后的学习中会经常用到，为了便于交流，我们有必要给这些线段起一个名字，你们认为怎么命名会更方便呢？

设计意图  对于线段的命名，教师改变了传统的照本宣科，这样在教师的指导下，通过互动交流最终确认名称并形成相应的概念. 虽然互动交流会花费一定的时间，但是通过交流让学生参与其中，会使抽象的概念变得更加生动化，更易于学生理解和接受.

3. 探究区别与联系，明晰数量关系

师：想一想三角形有几条角平分线呢？

生齐声答：3条.

師：很好，中线和垂线呢？

生齐声答：3条.

师：三角形的角平分线与角的平分线相同吗？（学生思考片刻）

生7：不同，前者为线段，后者为射线.

师：很好，那么三角形的高线和垂线呢？

生8：也不同，前者为线段，后者为直线.

师：很好，虽然有些概念表面上看似乎相同，但是其本质及所代表的意义可能有所不同，在学习时不能只关注表面，而要善于关注问题的本质.

师：如图2所示，若AP为△ABC的一条角平分线，你可以得出怎样的数量关系？

生9：∠BAP=∠CAP=∠BAC.

师：很好！如图3所示，若AP为△ABC的一条中线，你又知晓什么？

生10：BP=CP=BC.

师：如图4所示，AP为△ABC的一条高线，你得出了什么结论？

生11：若AP为△ABC的一条高线，则AP⊥BC.

生12：∠APB=∠APC=90°.

师：根据以上的等量关系，是否可以说明“垂直”“直角”与“90°”属于同一概念呢？（学生陷入沉思）

生13：虽然根据三角形的高线得到了以上等量关系，但是并不能说明三者相同，它们不属于同一概念范畴，“垂直”是从位置关系上进行的表达，“90°”则是从数量关系上进行的表述，而“直角”是从几何图形上进行的表达.

师：说得非常好，理解得很到位，其中蕴含着“数”与“形”之间的一种对应关系.

设计意图  对于以上线段所对应的数量关系是教学的一个重点，教师放慢速度，与学生一同探究其中蕴含的等量关系及数学思想，便于学生更好地理解概念，为后面应用概念解决问题奠基.

4. 自主探究，挖掘“共点”秘密

师：刚刚我们只是画出了一条三角形的角平分线，现在请大家剪一个任意三角形，利用折叠法将该三角形的三条角平分线都画出来，仔细观察这三条角平分线，看看它们是否存在什么关系.

（刚刚学生已经动手操作过，同时又进行了示范，因此很快就画出了三条角平分线）

师：你们有什么发现？

生14：我发现三条角平分线相交于同一点.

师：很好！现在请大家按照以上步骤分别画出三条中线，看看它们有何关系.

（问题给出后，学生积极操作，很快得出了同样的结论，即三角形的三条中线也相交于同一点）

师：我们研究了三角形的角平分线和中线，接下来该研究什么呢？

生齐声答：三角形的高线.

师：很好. 现在请大家按照以下步骤进行操作：

（1）分别画出锐角三角形ABC、直角三角形DEF和钝角三角形PQR;

（2）分别画出这三个三角形的三条高线;

（3）观察这三个三角形三条高线的关系;

（4）比较这三个三角形三条高线的交点位置.

（学生操作，教师巡视，在巡视中发现有部分学生在绘制钝角三角形的三条高线时存在一些问题，教师给予了单独指导）

师：请大家说一说有什么发现.

生15：与前面的两个结论相同，三条高线也相交于同一点.

师：它们交点的位置呢？

生16：锐角三角形ABC三条高线的交点在其内部;直角三角形DEF三条高线的交点是其顶点;钝角三角形PQR三条高线的交点在其外部.

师：与你们的结果一致吗？（学生点头表示赞同）

师：很好！刚刚大多数同学是利用三角板画高线，如果利用折叠法可以画高线吗？

生17：可以. （学生示范）

师：结合以上动手操作结果，请大家完成表1.

教师先让学生独立完成表1，接下来组织学生交流反馈，最后教师进行点评，完善表格的填写.

师：大家回忆一下，“共点”的结论我们是如何发现的？

生18：折叠和画图.

师：很好，画图在发现几何结论、证明几何结论中都有着重要的应用，以上结论就是借助画图获得的，后面我们会通过推理的方法进行证明，同学们课后也可以尝试推理证明.

设计意图  在教学中，教师组织学生通过折叠、画图、观察、总结等数学活动最终完成了三角形“三线”知识体系的建构. 表面上看以上探究过程只是简单的操作，但是其中蕴含着重要的数学思想方法，如分类讨论等. 在教学中，教师应多鼓励学生去操作、去观察、去总结归纳，进而通过亲身经历发现数学规律，掌握数学研究方法，以此提升学生的数学学习兴趣.

5. 恰当练习，助力知识内化

师：相信通过以上探究，大家已经对“三线”有了清晰的认识，现在看看以下问题该如何求解. （教师用PPT展示例1）

例1  如图5所示，在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是△ABC的角平分线. 已知∠BAC=80°，∠C=40°，求∠DAE的度数.

师：思考一下，想要求∠DAE的度数，我们需要知道什么呢？

生19：已知∠BAC=80°，如果知道∠DAC和∠EAC的度数就可以求出∠DAE了.

师：这两个角如何求呢？

生20：已知AE是△ABC的角平分线，又∠BAC=80°，可知∠EAC=40°. AD是△ABC的高线，于是∠ADC=90°，又∠C=40°，所以∠DAC=50°.

师：很好，这样我们就容易得出∠DAE=10°.

师：现在给大家3分钟时间，将以上计算过程书写完成.

设计意图  借助简单的问题让学生初步体验知识的应用，通过“用”强化认知. 另外，师生交流得到∠DAE=10°后，教师又给学生一定的时间完成计算过程的书写，以此规范解题过程，避免解题时因过程缺失或书写不规范而失分.

師：对于例1的运算大家都是信手拈来的，可见大家对新知已经有了深刻的认识. 接下来我们一起探究一下，看看例2该如何求解. （教师用PPT展示例2）

例2  如图6所示，在△ABC中，点D，E，F分别为三边的中点. 设△ABC的面积为S，求△DEF的面积（用S表示）.

例2较例1的难度略有提升，教师没有急于帮助学生进行分析讲解，而是预留一定的时间让学生独立思考，确认解题思路，为接下来更好地合作交流奠定基础.

师：由点F是BC的中点，连结AF，你能够得到什么？

生21：S=S=S=S.

师：依据是什么？

生21：等底同高的两三角形面积相等.

师：很好. 在△AFC中，点E为AC边的中点，连结EF，能够得到什么？

生22：同理可知S=S=S=S.

师：很好，由此可知S=S. △ADE和△DBF的面积分别是多少呢？（学生思考片刻）

生23：同理可求△DBF的面积为S. 连结CD，可求得△ADE的面积也为S.

师：很好，这样我们求得△DEF的面积是多少呢？

生齐声答：S.

接下来教师预留时间让学生完善以上的计算过程，这样一方面可以帮助学生规范解题过程，另一方面可以给基础较弱的学生一定的时间理解和消化，从而实现全面进步.

师：结合图6，请大家思考一下，DE与BC存在什么样的关系？

生24：平行.

师：说一说理由.

生24：我是通过观察得出的，应该可以证明.

师：很好，观察是一种直观猜想，往往能够为探究提供方向，不过其具有一定的主观性，若想证明该结论成立需要进一步推理. 大家推理一下，DE∥BC是否成立呢？

生25：成立. 根据以上计算过程可知S=S，过点D和点E分别作△DBF和△FCE的高线，由底相等、面积相等，可得高线的长相等，于是点D，E到BC的距离相等，故DE∥BC.

师：很好，其实仔细观察图6还能得出许多结论，这里我们就不一一探究了，请大家课后思考一下，看看还有哪些发现.

设计意图  完成例2的计算后，教师在此基础上引导学生进一步探索，得到了DE∥BC，由此可以推广至EF∥AB，DF∥AC. 这样通过问题的扩展既有助于发散学生的思维，又为接下来学生学习三角形中线的性质及定理做好铺垫. 数学学习的过程更多的是一种自我发现和自主探究的过程，为此在日常教学中教师要改变单一的“就题论题”，多引导学生去发现和探究，以此促进学生自主学习能力的提升.

6. 课堂小结，反思提升

课堂小结是数学教学的重要一环，教学中教师要预留一定的时间指导学生进行总结和归纳，便于学生更好地把握本节课的重难点，厘清数学知识的研究方法，提炼出数学思想方法，从而通过总结归纳将活动经验逐渐轉化为学习能力，在掌握知识的基础上认清问题的本质，提升教学有效性.

教学反思

有时部分教师在数学教学中表现得过于功利，忽视了结果形成与应用的实质性思维过程，从而影响了全面、和谐的教学目标的落实，影响了学生核心素养的发展，显然这有悖于教育初衷，不利于学生发展.

在本节课教学中，教师以学生熟悉的三角形为载体，通过教师适度引导和学生自主建构共同经历了三种线段产生的过程. 在此过程中，学生通过动手折、动手画既体验了数学知识形成的过程，又感悟了蕴含其中的数量关系和运动的观点，还提炼出了重要的思想方法，不仅揭示了相近概念之间的区别与联系，而且在探索中掌握了数学研究方法. 另外，在教学过程中，教师既从全局出发引导学生经历知识生成、发展、应用的全过程，又不忘一些细节的处理，如书写规范、小结、反思等，促进了学生知识与技能的发展，使核心素养的培养得以落实.

总之，教学中教师要从学生学情出发，关注教学过程，关注“三维目标”的落实，为学生综合能力全面提升助力.