立足思维发展，促进素养生成

余叶军

［摘  要］ 文章以“勾股定理”复习教学为例，探讨发展学生数学思维，提升学生数学素养的有效路径，以帮助学生建构知识结构，形成数形结合思想，在感受数学文化中，培养学生的爱国情怀.

［关键词］ 数学思维；核心素养；初中数学

近日，笔者上了一节“勾股定理”复习课，着重讲解了勾股定理的发展历程，勾股定理的研究方法，勾股定理的证明，勾股定理的现实意义. 通过本节课的教学，学生感受到了数学的博大精深，学习了几何图形的研究思路. 以下，笔者对教学设计进一步梳理与改进，整理成文，与同人切磋琢磨.

确立价值，明确方向

勾股定理源于生产生活，凝聚了劳动人民的聪明与智慧. 我国和世界其他国家的学者对于勾股定理的证明层出不穷，在五百多种证明勾股定理的方法中，思路各异，精彩纷呈，推动了数学的发展与进步.

由于勾股定理的发现，数的集合由有理数扩展到了实数，推动了开方术、割圆术、方程术、天元术的产生与发展. 我国对勾股定理的研究更多的是关注勾股定理解决实际问题的利用，如发明了勾股计算尺用来测量计算，从而有了勾股算法，这些理论都是运用勾股进行测量的基础.

勾股定理及其逆定理，为后续研究几何图形，学习三角函数奠定了基础. 学生对勾股定理的认识，应超出对定理本身的理解与应用，应关注勾股定理背后的文化价值，让学生在润物细无声中感受数学的人文气息.

根据方向，确定目标

一节有意义的数学课的标准是什么？应给学生留下些什么？教师只有想清楚了这些问题，才能知道这节课需要做什么，教学目标也就随之确定.

（1）知识目标：勾股定理与其逆定理；勾股定理的应用.

（2）技能目标：掌握勾股定理的证明方法，培养学生的数形结合思想，发展学生的空间观念.

（3）情感目标：了解文化背景，感受数学文化，培养学生的爱国情怀.

把脉问题，确定教学重难点

限于目前所学，学生研究几何图形的经验比较少，数学学习缺少整体观念与系统观念. 因此，确定本节课的教学难点：理解几何图形的研究思路，发展学生的几何直观与逻辑推理能力.

教师给学生创设有关勾股定理的背景材料，可以让学生对数学产生情感，所以本节课的教学关键在于展现有关勾股定理的历史文化，从中找出有关勾股定理的育人元素；通过几何图形的面积关系证明勾股定理，从而提升学生的学习能力，落实教育部提出的“立德树人”终极目标.

立足课堂，培养数学素养

1. 梳理勾股定理知识框架

师：对于勾股定理，我们学习了哪些内容？请用知识框图的形式予以说明.

师生活动：教师引导，学生回答，复习有关勾股定理的内容“直角三角形斜边的平方”“等于两直角边的平方之和”“如果一个三角形的三边存在一边的平方等于另外两边平方之和，那么这个三角形是直角三角形”“已知直角三角形两边的长，运用勾股定理，可以求出最后一边的长”“画长度分别为、、、的线段，在实际问题中求线段的长”“勾股数，如3，4，5；6，8，10；5，12，13”等. 使学生形成系统的知识结构，实现运用勾股定理解决问题能力的提升. 由于学生对于勾股定理的发展历程没有一定的认识，因此，需要教师进一步引导.

2. 寻找勾股定理的起源

师：我们现在学习的勾股定理是如何被发现的呢？

设计意图  通过了解勾股定理的形成、发展与演变，感受勾股定理发展的曲折经历与无限魅力，感受数学知识来自生活又服务于生活的抽象本质，以提高学生的学习积极性，树立学生学好数学的信心.

师生活动：以视频的形式向学生展示勾股定理的发展历史. 《周髀算经》中商高对周公说：“……故折矩，勾广三，股修四，经隅五. ”即当直角三角形的两条直角边分别为3和4时，弦则为5. 也就是常说的“勾三股四弦五”，因此，此定理被称为勾股定理或商高定理. 三国时期的赵爽在《九章算术》中说“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，赵爽还创制了一幅“勾股圆方图”，证明了勾股定理. 在西方最早提出并证明勾股定理的是公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，所以这个定理又被称为“毕达哥拉斯定理”. 不难发现，学生对于勾股定理的来源比较感兴趣，表现出了探究的欲望与需求.

3. 证明勾股定理

如何证明勾股定理呢？千百年来，人們乐此不倦，上至国家总统，下至黎民百姓，证明勾股定理的方法已达500多种. 教师可列举几种典型的勾股定理证法，引导学生发现证明方法的思路以及特殊之处.

方法一：邹元治的证明方法.

如图1所示，以a，b为直角边，以c为斜边作四个全等的直角三角形，按图1所示的方式拼成一个大正方形，因为Rt△HAE≌Rt△EBF，所以∠AHE=∠BEF. 因为A，E，B共线，所以∠HEF=90°. 根据有一个角是直角的菱形是正方形，得四边形EFGH为正方形，观察图形可以发现，外围大正方形的面积等于外围四个直角三角形面积与中间小正方形面积之和，即（a+b）2=4×ab+c2，整理得a2+b2=c2.

设计意图  邹元治是我国著名数学家，其利用图形整体与部分的关系，巧妙证明了勾股定理，图形直观简洁，数形结合，是东方无字证明勾股定理的代表作之一，在图形结论的推导与证明中有积极的引导作用.

方法二：加菲尔德总统的证明方法.

如图2所示，将两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形，易得△DCE是等腰直角三角形，因为梯形ABCD的面积等于两个直角三角形面积与等腰直角三角形面积之和，即（a+b）（a+b）=2×ab+c2，整理得a2+b2=c2.

设计意图  加菲尔德总统的证明方法简洁明了，通过部分图形与整体图形的关系，证明勾股定理，身为总统的他仍痴迷于数学. 由此，激发学生乐于探究数学的精神.

4. 勾股定理有何用途呢？

问题1：如果直角三角形的两边长分别是5和12，那么其第三边的长度为多少呢？

问题2：现将一支长16 cm的金属筷子（粗细忽略不计）放入一个底面长和宽分别为8 cm，6 cm的长方体水槽中，要使水完全淹没筷子，则水槽中的水深至少为多少厘米？

问题3：已知圆柱的底面周长为10 cm，高AB为12 cm，BC是底面的直径，一只蚂蚁沿着圆柱侧面从点C爬到点A觅食，则蚂蚁爬行的最短路程为多少？

设计意图  第1个问题考查基础知识，第2个问题侧重于考查学生的识图能力，第3个问题考查学生的空间想象能力，能否把空间问题转化为平面问题，培养学生解决实际问题的能力及创新能力，体现立德树人的育人理念.

5. 勾股定理的拓展延伸

问题4：从勾股定理的内容可以看出，分别以任何直角三角形的两条直角边为边向外作正方形，再以斜边为边向外作正方形，两个小正方形的面积和等于大正方形的面积. 向外作三个正方形变为向外作三个等边三角形，这三个等边三角形的面积有何数量关系呢？正六边形呢？半圆呢？

问题5：直角三角形的三边之间的数量关系是两直角边的平方和，恰好等于斜边的平方，如果将锐角三角形的三边长也分别平方，这三条边长的平方有何数量关系呢？如果将钝角三角形的三边长分别平方，这三条边长的平方又有何数量关系呢？

设计意图  此环节旨在拓展学生的视野，让学生学会多角度思考问题，学会数学抽象与归纳，学会类比，发展学生的探究意识与能力，培养学生的理性思维.

关注勾股定理的产生与发展，以上五个步骤为学生提供了有效的学习途径与方法，帮助学生建构知识体系，形成数形结合思想. 在感受数学文化的过程中，发展学生的数学思维，提升学生的数学素养，培养学生的爱国情怀.