关于解直角三角形问题的探究与思考

［摘  要］ 解直角三角形是中考常见的应用型问题，类型多样，解析突破需经历几何建模、转化构建等思维过程. 理解对应的概念，合理构建模型是解题的关键. 文章以一道解直角三角形考题为例，解析问题，总结方法，并结合实例进行多类型拓展探究.

［关键词］ 解直角三角形；模型；角度；概念；数形结合

基金项目：江苏省教育科学“十四五”规划2021年度课题“高质量教学视域下初中课堂新教学样态的构建研究”（GH14-21-L161）.

作者简介：李超（1982—），本科学历，中小学一级教师，从事初中数学教学与研究工作，曾获江苏省“优秀科技辅导员”、徐州市“彭成恩师”称号.

解直角三角形是中考必考内容，问题难度不高，但类型多样，涉及几何、三角函数等知识，需要通过构造模型、数形结合、转化分析来推导线段或角度关系. 因此，对该部分知识进行探究总结十分必要，下面以真题引例为切入点，逐步拓展探究.

真题解析

真题引例 （2022年连云港市中考卷第24题）我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔——阿育王塔，是苏北地区现存最高和最古老的寶塔. 小明与小亮要测量阿育王塔的高度. 如图1所示，小明在点A处测得阿育王塔最高点C的仰角∠CAE=45°，再沿正对阿育王塔方向前进至B处测得最高点C的仰角∠CBE=53°，AB=10 m. 小亮在点G处竖立标杆FG，小亮的所在位置点D、标杆顶F、最高点C在一条直线上，FG=1.5 m，GD=2 m. （注：结果精确到0.01 m，参考数据：sin53°≈0.799，cos53°≈0.602，tan53°≈1.327）.

（1）求阿育王塔的高度CE；

（2）求小亮与阿育王塔之间的距离ED.

分析：本题目为解直角三角形问题，涉及仰角与俯角知识. 题设两问，给出了相应的测量条件，求塔高CE的长度，以及人与塔之间的距离ED的长度. 问题模型已经构建，通过数形结合理解题意，提取其中的直角三角形即可求解.

过程与解：（1）在Rt△CAE中，因为∠CAE=45°，则CE=AE. 结合AB=10 m，可得BE=AE-10=CE-10.

教学思考

1. 理解概念，灵活运用

解直角三角形问题是初中数学典型题，问题的应用性极强，理解相关概念定义是探究的关键. 问题类型多样，涉及俯角、仰角、方位角、坡度等概念，教学中教师需要指导学生掌握角度概念. 对于较为抽象的定义，教师可以结合示意图，引导学生理解定义内涵，灵活运用. 解题教学中，教师应让学生重新回顾概念，结合概念理解问题中的角度条件.

2. 数形结合，数学建模

数形结合、构建模型是解直角三角形问题的关键，学生解题时需要采用数形结合的方法理解图形，并根据几何条件构建模型. 该过程中学生需完成“实际图形”向“几何模型”的转化，掌握转化思想，以及辅助线的添加技巧. 转化思想的核心是结合实物构建复合图形，故学生需要关注图形中的垂直以及平行等位置关系，合理连接形成特殊图形. 具体构图时学生可以结合俯角、仰角、方位角的构建方法，作水平线、垂线、延长线，实现图形的闭合.

3. 技巧总结，策略生成

解直角三角形的类型多样，但解题的总体思路是一致的，学生需要完成条件解析、几何建模、转化构建等思维过程，教学中教师可指导学生生成“程序性”的解题步骤. 第一步，题意理解，让学生通过数形结合分析；第二步，构建模型，让学生掌握建模的方法；第三步，提取直角三角形，引导学生掌握特性分析的思路；第四步，结论推导，让学生结合实际图形分析数值. 在策略分析过程中，教师应引导学生总结解题的关键点，并结合实例帮助学生积累经验，强化思维.