利用通俗教法，发展数学思维

朱俊杰

［摘  要］ 通俗教法是指利用与学生生活或认知经验相贴近的情境，引导学生更快、更好地达成学习目标的一种教学方式. 这种方法能让学生在通俗易懂的情境中，激发学习兴趣、获得知识与技能、发展数学思维. 文章从培养学生反证法的逻辑思维、符号意识与换角度思考问题三方面，具体展开阐述.

［关键词］ 数学思维；教学方法；通俗教法

数学是思维的体操. 数学思维对学生的学习具有举足轻重的影响，一个充满学习动力的学生，具有积极、主动的数学思维［1］. 实践发现，创设合适的情境，用通俗易懂的教学方式进行教学引导，常常能达到较好的教学效果. 为此，本文结合笔者教学中的几个真实案例，对利用通俗教法，发展学生的数学思维谈几点拙见.

反证法的逻辑思维

牛顿曾经提出，反证法是最精当的数学武器. 这是一种从逻辑学定律中提炼出来，从事物的反面，对问题进行证明的基本方法. 从理论上来看，这种方法具有高抽象性，初中学生很难从本质上理解并熟练应用. 尽管有些学生在学习过程中，通过模仿能顺利地写出反证法证明问题的基本过程，但很少有学生能从真正意义上理解反证法所蕴含的实际意义.

于初中生而言，不仅仅要掌握反证法的基本形式，还要明确这种证明方法的逻辑实质. 这就给教学带来了难度，究竟该如何通俗易懂地设计教学，才能让学生从本源上掌握这种方法呢？执教过程中，笔者经过几轮尝试，在以下教学活动中获得了较好的成效.

案例1  “三角形内角和”的教学

课前，教师准备了三顶不同颜色的帽子，指定三名学生到讲台上来，給他们分别戴上一顶帽子（戴帽时闭眼，戴完睁眼），要求学生说说自己所戴的帽子是什么颜色.

生1：我戴的是一顶黑色的帽子.

师：你是根据什么来判断自己所戴帽子颜色的？

生1：我看到你拿进来三顶帽子的颜色分别为黑、黄、红，其他两位同学头上现在分别戴了黄、红两种颜色的帽子，那我头上的帽子必然为黑色了.

师：非常好！在座的各位同学，若你是这位戴黑色帽子的学生，会采取怎样的推理方式呢？

生2：想要证明我戴的帽子是黑色的，只要证明我不可能戴着黄色或红色帽子就行. 如红、黄帽子都只有一顶，旁边两位同学已经戴在头上了，那么我戴的帽子必然不可能是这两种颜色，由此可确定我戴的帽子是黑色的.

生3：如果我头上戴了一顶红色的帽子，但我旁边这位同学也戴着一顶红色的帽子，岂不是出现了两顶红色帽子？显然这是不现实的. 同理，如果我头上是一顶黄色帽子，就出现了两顶黄色帽子，这也是不现实的. 而老师一共就带来了三种颜色的帽子，排除红、黄两色，剩下的只有黑色了.

师：非常好！逻辑很清晰. 分析这三位同学的推理过程，他们的思维存在怎样的共性特征？

生4：这三位同学都没有直接说自己戴了什么颜色的帽子，而是通过对别的同学所戴帽子的颜色进行分析，获得自己所戴帽子的颜色.

生5：他们三个人都是从事情的反面来说明理由的.

师：说到点子上了，这里所说的“反面”是指什么？

生6：就是从与自己所戴帽子不同颜色的角度来分析问题.

师：为什么不直接说自己戴了什么颜色的帽子，而要从别人所戴帽子的颜色来分析呢？

生7：因为看不见自己所戴帽子的颜色，只能从别人所戴帽子的颜色来推导自己所戴帽子的颜色.

师：很好，这就是我们生活情境背后所蕴藏着的一种数学逻辑——反证法. 现在我们一起来看下面这道题.

例  求证：三角形的三个角中，不可能同时有两个钝角存在.

生8：这个题目貌似和之前做的证明题不太一样.

师：哦？哪里不一样？

生8：一般证明题中没有否定词，总觉得怪怪的.

生9：是不是和戴帽子的问题差不多，从问题的反面去思考？

师：确实，遇到证明题中出现否定词时，我们可以尝试从命题的反面去求证.

生10：那么本题就可以这么考虑，三角形中存在两个钝角，这是不可能存在的一个命题.

师：为什么不可能？

生10：一个三角形中若存在两个钝角，内角和就大于180°了，这与内角和定理不相符.

……

反证法的本质，随着以上互动过程自然而然地形成. 在此基础上，教师引导学生规范该命题的证明过程，让学生对反证法形成一个系统的认识. 通俗易懂的戴帽子游戏与三角形内角和问题看似毫无关联，却有异曲同工之妙. 此过程将抽象的反证法转化成学生主动参与的互动活动，使得学生能更加准确地理解并掌握这种数学方法的内涵.

培养符号思想

符号思想是学习数学的重要思想方法之一，它是指用符号化的语言来描述数学内容. 这种思想方法的应用，可以准确、清晰地将数学概念、思想、方法与逻辑关系等表达出来，避免表达过程繁杂、冗长与模糊不清等弊端.

案例2  “用字母表示数”的教学

用字母表示数是学生思维从具体到抽象的一次飞跃. 其实，在小学阶段也碰到过类似问题，但没有深入探究. 为了帮助学生形成良好的符号思想，笔者设计了以下教学过程.

用PPT展示：

招领启事

今日课间操时，李敏同学在操场拾到人民币x元，请遗失者到学校政教处认领.

政教处

2022年1月15日

师：观察这则招领启事，为什么要以x代替具体金额？

生1：为了防止有人冒领.

师：看来这里的x有一定的现实意义，那么我们一起来分析下，这个x是一个怎样的数呢？

生2：整数.

生3：不够准确，应该是正数，因为捡到的金额不可能为负数或0.

师：你们同意这种说法吗？

（学生沉默）

师：拾到的金额大于0是不错，那会不会是10.00001元呢？

生众：当然不可能.

生4：我们目前流通的人民币最小币种为1分，最少应为0.01元，因此x的取值只能为正整数、正的一位或两位小数.

师：不错，这就要求我们在应用字母表示数时，要根据问题的实际情况来分析其取值范围.

设计意图  招领启事在学校常见，学生对这个生活情境异常熟悉，故易产生亲近感. 以此作为教学素材，不仅能拉近学生与知识的距离，还能使学生对字母的取值范围产生探究欲. 这对培养学生思维的严谨性、广阔性与周密性具有重要作用，为学生更好地应用数学知識解决实际问题夯实基础.

师：现在我们来换个话题（用PPT展示数青蛙的儿歌，一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿；两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿……），你们能将这个儿歌转化成简洁的数学语言吗？结合以上招领启事来思考.

生5：可以这么转化：x只青蛙x张嘴，2x只眼睛4x条腿.

师：非常好！那么此处的x取值是怎样的？可以用其他字母表示青蛙数量吗？

生6：x的取值是正整数，可以用a，b等其他字母表示.

设计意图  鼓励学生自主地用字母表示数来表达生活实际，感知数学符号的用处与便捷，体验由“特殊—一般—特殊”的数学思想.

师：若青蛙跳进了一个长a m，宽3 m的水池，求水池的周长.

生7：该水池的周长为2（a+3）m.

师：这里a的取值范围是什么？

生8：a表示的是长方形的长，它可以是大于3的任意数.

生9：不对，谁说长方形的长必须大于宽的，a可为大于0的任意数.

师：非常好！确实，长方形的概念中并没有限定长与宽的范围. 现在，我们一起来观察式子2（a+3），当a的值发生变化时，必然会引起结论的变化，这种变化关系在数学中非常重要，也是我们后期将要研究的重要内容之一. 其实，字母表示数的变化是将复杂的问题简单化.

设计意图  此设计，让学生感知“用字母表示数”实际应用的普遍性，当遇到解决实际问题时，能习惯性地想到用字母代替数，并关注到字母的取值范围. 同时，变量观念的渗透，为学生后期函数学习奠定基础.

问题情境均源自学生所熟悉的生活，可有效地增强学生的学习动力. 同时，因为获得了用字母表示数的符号思想，可让学生更好地理解并领悟其中的内涵. 这种数学思想将贯穿学生的数学学习生涯，为他们后期更深入学习夯实基础.

换个角度思考问题

数学是一门系统性的学科，具有较强的灵活性. 有时，从一个角度思考问题行不通，而换一种角度去分析与思考，极有可能就柳暗花明了. 换一种角度思考问题的思维方式源自哲学中的运动观，展示的是思维的灵活性特征［2］.

教师常引导学生从一个新的角度去分析与思考问题，不仅能提高学生的解题能力，还能促进学生思维品质的提升. 为此，笔者在执教过程中，尤为注重对学生这方面能力的培养，收获颇丰.

案例3  “勾股定理”的教学

用PPT展示：《司马光砸缸》的故事

提问：司马光在救人时，应用了什么策略？

生1：不断尝试新的方法，或许有一种方法能行.

生2：既然人无法离开缸里的水，那就让缸里的水离开人，应该属于一种逆向思维吧.

生3：司马光所选择的策略应该就是“水、人分离”的策略.

师：大家分析得都不错. 的确，司马光在救人的过程中，遇到无法将人救出水的情形时，就变化了一种思维方式，何不让“水离开人”呢？思维方式转变了，问题就迎刃而解了. 这个故事，带给你们什么启发？

生4：当用一种思路解决某个数学问题行不通时，可以换一种视角去分析与思考，切忌钻牛角尖. 比如常用的逆向思维，就是一种不错的解题方法.

师：太棒了！你总结得很到位. 下面我们就来着手解决以下问题：

已知荷塘里的莲叶所覆盖的面积第二天比第一天多1倍，若17天能铺满整个池塘，求铺满半个池塘需要几天.

（学生沉思）

师：司马光的故事，对你们是否有什么启发？

生5：我知道了，从常规思维出发，解决本题确实有点难，但换个角度思考，第二天比第一天多1倍，岂不是倒数第二天就铺满半池？因此，本题的答案应该是16天.

师：很好！这就是数学独有魅力所在，换个角度来思考，有可能让问题变得简单. 现在大家来做一个证明题：

已知△ABC的三条边分别为a，b，c，且c2=a2+b2，求证：该三角形是一个直角三角形.

显然，这是证明勾股定理的一个逆命题，我们该怎么去证明呢？

师：结合以上两个例子，大家思考一下，我们是否能直接解决这个问题？如果不能，该怎么办呢？

生6：通过以上两个例子，我明白当一条道行不通时，应换个角度去分析. 本题我们无法从直接证明的角度来说明这个三角形是一个直角三角形，但我们可以从特殊情况出发.

师：哦？说说你们的想法.

生7：假设一个三角形的三条边分别为3、4、5，即52=32+42满足本题条件，我们可以尝试证明这个三角形是直角三角形.

师：太棒了！你们是怎么想到边长为3、4、5的三角形的呢？

生8：在学习勾股定理时，我们对这个三角形已经非常熟悉了，遇到此题自然而然地就想到并画出了这个三角形.

师：不错，现在我们就以边长为3，4，5的三角形为例，来证明这个三角形为直角三角形，即证明图1中的∠C是一个直角.

设计意图  为了让学生对勾股定理的一般形式有所了解，笔者选择了一道逆命题供学生思考. 面对一个不能直接证明的一般性问题，是否可以试着从特殊问题着手呢？基于这样的思考，学生选择了用三条边分别为3、4、5的三角形进行尝试. 这样的教学设计使学生学会从不同的角度去思考与分析问题，同时又符合从特殊到一般的基本规律，有效地促进了学生思维的发展.

此教学过程，教师先从学生熟悉的司马光砸缸出发，引出生活中的荷塘问题，再过渡到勾股定理的逆定理的证明，看似毫无关联的几件事，却蕴含相同的道理. 学生的思维随着通俗的生活事物到抽象的数学证明，整个过程自然、丰富、流畅，学生的思维也随之获得发展.

总之，自然、通俗、朴实的教学过程，让学生在情感上更容易接受，这对培养学生的数学思维具有深远的影响［3］. 而学生的思维越灵活，对知识的掌握程度就越高，越容易实现知识的正迁移，为发展学生数学思维夯实了基础.

参考文献：

［1］鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程［M］. 上海：上海教育出版社，2009 .

［2］关成志. 数学思维概论［M］. 沈阳：辽宁教育出版社，1993.

［3］约翰·杜威. 我们怎样思维·经验与教育［M］. 北京：人民教育出版社，2005.